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【课堂新坐标】16-17学年高中数学苏教版必修三第二章统计-2.4


阶 段 1

阶 段 3

2.4 线性回归方程
阶 段 2 学 业 分 层 测 评

1.理解线性回归的基本思想和方法,体会变量之间的相关关系.(难点) 2.会画出数据的散点图,并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系. (重点) 3.会求数据的线性回归方程,并根据线性回归方程做出合理的判断. (重点、难点)

[基础· 初探] 教材整理1 变量间的关系

阅读教材P74的内容,并完成下面的问题. 1.变量间的关系 (1)函数关系:变量之间的关系可以用 函数 表示,是一种 确定性函数关系. (2)相关关系:变量之间有 一定的联系 ,但不能完全用 函数 来表达.

2.散点图 从一个统计数表中,为了更清楚地看出x与y是否有相关关系,常将x的取值作 为

横坐标

,将y的相应取值作为 纵坐标 ,在直角坐标系中描点(xi,yi)(i=

1,2,3,?),这样的图形叫做散点图.

判断正误: (1)相关关系是一种不确定关系,而函数关系是一种确定关系.( (2)商品的销售收入与广告支出经费是函数关系.( (3)散点图越集中,则相关关系越强.( ) ) )

【解析】 (1)√.由函数关系及相关关系的定义知正确. (2)×.是相关关系,而不是确定关系,故错误. (3)×.只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系.故错误.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

教材整理2

线性回归方程

阅读教材P75~P76“例1”上边的内容,并完成下列问题. 1.线性相关关系 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线的附近 ,我们用直线 ^ y =bx+a拟合散点图中的这些点,像这样能用直线 ^ y =bx+a近似表示的相关关系叫 做线性相关关系.

2.线性回归方程 设有n对观察数据如下: x x 1 x2 x3 ? xn y y 1 y2 y3 ? yn 当a,b使Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+?+(yn-bxn-a)2取得 最小值 时,就称 ^ y =bx+a为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为 回归直线.

3.用回归直线进行数据拟合的一般步骤 (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; (2)如果散点在一条直线附近,用公式 ? n n ? x ??yi-- y? ?xiyi-n x y] ? ?xi-- ? i=1 ? i=1 = ?b= n n ? - 2 2 x ?2 ? ?xi -n x ? ?xi-- i=1 i=1 ? ? ? ?a= y -b x 求出a,b,并写出线性回归方程.

填空: (1)有一个线性回归方程为 ^ y =2-1.5x,则变量x增加一个单位时,y平均

________1.5个单位.(填“增加”或“减少”)
【解析】 ∵b=-1.5,∴x每增加一个单位时y减少1.5个单位. 【答案】 减少

(2)过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是________.

【解析】 代入系数公式得b=1.75,a=5.75. 代入直线方程. 求得^ y=5.75+1.75x.
【答案】 ^ y=5.75+1.75x

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑:

[小组合作型]

相关关系的判断

(1)在下列两个变量的关系中,具有相关关系的是________.(填序号) ①正方形边长与面积之间的关系;②作文水平与课外阅读量之间的关系;③ 人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.

(2)如图241所示,表示两个变量不具有相关关系的有________.(填序号)

图241

【精彩点拨】 (1)根据相关关系的定义判断. (2)观察散点是否分布在一条曲线(直线)附近,否则不具有相关关系.

【自主解答】

(1)①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②作文水平

与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关 系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年 龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与 交通事故的发生率之间具有相关关系.故填②④. (2)①是确定的函数关系;②中的点大都分布在一条曲线周围;③中的点大都 分布在一条直线周围;④中点的分布没有任何规律可言,x,y不具有相关关系.故 填①④.

【答案】 (1)②④ (2)①④

1.函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系. 函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系. 2.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的方法是绘制散点图, 如果散点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就具有线性相 关关系,判断时注意不要受个别点的位置的影响.

[再练一题] 1.如图242所示的五组数据(x,y)中,去掉点________后,剩下的四组数据 相关性增强.(填坐标)

图242

【解析】 去掉点(4,10)后,其余四个点大致在一条直线附近,相关性增强. 【答案】 (4,10)

线性回归方程的求法及应用
2016年元旦前夕,某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮 食支出的统计资料如下表: 年收入x(万元) 年饮食支出y(万元) (1)画出散点图; (2)从散点图判断年饮食支出(y)与年收入(x)是否具有线性相关关系?若有线性相关关 系,求出线性回归方程; 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10

0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3

? ? 10 10 2 (3)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.?参考数据: ?xiyi=117.7, ?xi =406? ? ? i=1 i=1 ? ?

【精彩点拨】

画散点图→判断具有线性相关关系

→求 b,a,得方程→进行预测

【自主解答】

(1)画出散点图如下图所示.

(2)由散点图知年饮食支出与家庭年收入具有线性相关关系. 依题意可计算得 - x =6, - y =1.83, - x =36, - x - y =10.98,又∵ ?x iyi=
2 i=1 10

117.7, ?x2 i =406,
i=1

10

x- y ?xiyi-10-
i=1

10

∴b=

2 2 - x - 10 x ?i i=1

10

≈0.17,a=- y -b- x =0.81,

∴^ y=0.17x+0.81. ∴所求的线性回归方程为^ y=0.17x+0.81.

(3)当x=9时,^ y=0.17×9+0.81=2.34(万元), 可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元.

1.求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: (1)计算平均数- x ,- y; (2)求和 ?xiyi, ?x2 i;
i=1 n i=1 n n

x ??yi-- y? ? ?xi--
i=1

x- y ?xiyi-n-
i=1

n

(3)计算b=

= x ?2 ? ?xi--
i=1 n

-2 ?x2 i -n x
i=1

n

,a=- y -b- x;

(4)写出线性回归方程^ y=bx+a. 2.利用线性回归方程可对变量进行预测,但要注意预测的结果只是一个估计值,而不是精确值.

[再练一题] 2.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资 料: 【导学号:90200057】 使用年限x 2 3 4 5 6

维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系,试求: (1)线性回归方程^ y=bx+a的回归系数a、b; (2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?

【解】

(1)由条件知

1 - x =5(2+3+4+5+6)=4, 1 - y =5(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,

?x =2 +3 +4 +5 +6 =90, ?x iyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+
2 i 2 2 2 2 2 i=1 i=1

5

5

6×7.0=112.3.

由公式可得 x- y ?xiyi-5-
i=1 5

b=

-2 ?x2 i -5 x
i=1

5

112.3-5×4×5 12.3 = = 10 =1.23. 90-5×42

a=- y -b- x =5-1.23×4=0.08.

(2)由(1)知回归直线方程为 ^ y =1.23x+0.08,当x=10时, ^ y =1.23×10+0.08= 12.3+0.08=12.38,即估计使用10年时,维修费用是12.38万元.

[探究共研型]

对线性回归方程的认识
探究1 对于任意一组样本数据,利用“最小平方法”是否都可以求得“回 归方程”?此时的“回归方程”是否都具有实际意义?
【提示】 对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回归方

程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回 归方程”是没有实际意义的.因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性 相关关系的前提下再求回归方程.

探究2 对于同一总体而言,由不同的样本数据得到的线性回归方程是否一 样?

【提示】

回归方程被样本数据唯一确定,各样本点大致分布在回归直线附

近.对同一个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随 机性.

探究3 在线性回归方程^ y=bx+a中,b的意义是什么?

【提示】 回归方程中的系数b反映了变量y随x的变化趋势及变化幅度,即当 x变化一个单位时,y随着变化|b|个单位.当b>0时,y随x的增大而增大,此时y与x具 有正相关关系;当b<0时,y随x的增大而减小,此时y与x具有负相关关系.

(1)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相 关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方 程为^ y=0.85x-85.71,则下列结论中正确的是________.(填序号) ①y与x具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本点的中心(- x ,- y ); ③若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg; ④若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg.

(2)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万 元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x 的回归直线方程: ^ y =0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万 元,年饮食支出平均增加________万元.
【精彩点拨】 (1)根据回归直线中系数b的含义逐一判断. (2)根据方程中系数0.254的含义解答.

【自主解答】

(1)①中,由于0.85>0,故y与x有正相关关系,故正确;②

中,由公式a= - y -b - x 知- y =b - x +a,因此回归直线 ^ y =bx+a一定过点( - x , - y ),所以正确;③中,由0.85>0知正确;④中,回归方程的预测值只是一个估计 值,故不正确. (2)由回归方程 ^ y =bx+a中系数b的意义知,年收入每增加1万元,年饮食支出 平均增加0.254万元,故填0.254.

【答案】 (1)①②③ (2)0.254

由样本数据得到的回归方程^ y=bx+a不一定经过散点,但回归直线一定经过 样本中心,即点(- x ,- y ).

[再练一题] 3.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)得到的回归直线方程为 ^ y= bx+a,那么下列说法不正确的序号是________.(填序号) ①直线^ y=bx+a必经过点(- x ,- y ); ②直线^ y=bx+a至少经过点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)中的一个点; x- y ?xiyi-n- ③直线^ y=bx+a的斜率为
i=1 n


2 2 - x - n x ?i i=1 n

④直线^ y =bx+a和各点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的偏差 ?[yi-(bxi+a)2]
i=1

n

是该坐标平面上所有直线与这些点偏差中最小的.

【解析】

回归直线不一定经过散点,故②的说法不对;对一组观测值(xi,

yi)而言,只有当散点集中分布在一条直线附近时,所反映的变量y和x才是线性相 关关系,此时的回归直线才能真实反映y和x的线性相关关系;否则,当散点图不 是集中分布在某一条直线附近时,则表示的不是线性相关关系,此时的回归方程 是毫无意义的.①③④都正确.

【答案】 ②

[构建· 体系]

1.下列具有相关性的是________.(填序号) ①某地区的降水量与地下水位; ②人的年龄与血压; ③某天的天气情况与股市的涨跌情况; ④学生的学习时间与学习成绩.

【解析】 某天的天气情况与股市的涨跌无任何关系,不具有相关性. 【答案】 ①②④

2.工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为 ^ y =80x+50,下列判断 正确的是________.(填序号) ①劳动生产率为1 000元时,工资为130元; ②劳动生产率提高1 000元时,工资平均提高80元; ③劳动生产率提高1 000元时,工资提高130元; ④当月工资为210元时,劳动生产率为2 000元.

【解析】 回归直线斜率为80,所以x每增加1,y增加80,即劳动生产率提高 1 000元时,工资平均提高80元.
【答案】 ②

3.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归 直线方程,分别得到以下四个结论: ①y与x负相关且^ y=2.347x-6.423; ②y与x负相关且^ y=-3.476x+5.648; ③y与x正相关且^ y=5.437x+8.493; ④y与x正相关且^ y=-4.236x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是________.

【解析】 ①中y与x负相关而斜率为正,不正确;④中y与x正相关而斜率为 负,不正确.
【答案】 ①④

4.已知回归直线方程为^ y=4.4x+838.19,则可估计x与y增长速度之比约为 ________. 【导学号:90200058】
1 5 【解析】 由题意知x与y增长速度之比为4.4=22. 5 【答案】 22

5.要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响,在高一 年级学生中随机抽选10名学生,分析他们入学的数学成绩(x)和高一年级期末数学 考试成绩(y). 编号 x y (1)画出散点图; (2)分析x和y是否有相关关系; (3)若近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75

【解】

(1)散点图如图所示:

(2)由散点图知x和y有线性相关关系.入学成绩高的同学期末成绩一般也较高. (3)所画直线如散点图中直线所示.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)


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