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必修一 2.2对数函数 习题课


必修一 2.2 对数函数
一、选择题

习题课
1 1

1、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(3)=0,则不等式 f(log8x)<0 的
解集为( ) 1 A.(0, ) 2 1 C.( ,1)∪(2,+∞) 2 1 B.( ,+∞) 2 1 D.(0, )∪(2,+∞) 2

2、若函数
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是(

)

3、若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,2)内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间为(
1 A.(-∞,- ) 4 C.(0,+∞) 1 B.(- ,+∞) 4 1 D.(-∞,- ) 2

1

)

4、设函数
A.0 B.-1

若 f(3)=2,f(-2)=0,则 b 等于( C.1 D.2

)

5、若 log37· log29· log49m=log4 ,则 m 等于( 2
1 A. 4 C. 2 2 2 D.4 B.

1

)

6、下列不等号连接错误的一组是(
A.log0.52.7>log0.52.8 C.log34>log56

) B.log34>log65 D.logπe>logeπ

二、填空题 7、设函数
1 若 f(a)= ,则 f(a+6)=________. 8

8、若 log236=a,log210=b,则 log215=________.

9、已知 loga(ab)=p,则 logabb=________.

1

a

三、解答题 10、已知函数 f(x)=loga(1+x),其中 a>1.
1 1 (1)比较 [f(0)+f(1)]与 f( )的大小; 2 2 x1+x2 1 (2)探索 [f(x1-1)+f(x2-1)]≤f( -1)对任意 x1>0,x2>0 恒成立. 2 2

11、设 a>0,a≠1,函数 f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,求不等式 loga(x-1)>0 的解集.

12、 抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则至少要抽几次?(lg 2
≈0.301 0)

13、已知集合 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|log4(x+a)<1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围.

以下是答案 一、选择题 1、C [∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(3)=0,
1 1 ? 1 ?3 在(0,+∞)上 f( log 1 x)<0?f( log 1 x)<f( )?0< log 1 x< ? log 1 1< log 1 x< log 1 ? ? 3 3 ?8?
8 8 8 8 8 8
1

1

1 ? <x<1; 2 1 同理可求 f(x)在(-∞,0)上是增函数,且 f(- )=0,得 x>2. 3 1 综上所述,x∈( ,1)∪(2,+∞).] 2

2、C [①若 a>0,则 f(a)=log2a,f(-a)= log 1 a,
2

1 ∴log2a> log 1 a=log2 a
2

1 ∴a> ,∴a>1. a ②若 a<0,则 f(a)= log 1 (-a),
2

f(-a)=log2(-a), 1 ∴ log 1 (-a)>log2(-a)= log 1 (- ), a
2 2

1 ∴-a<- , a ∴-1<a<0, 由①②可知,-1<a<0 或 a>1.]

3、D [令 y=2x2+x,其图象的对称轴 x=-4<0,
1 1 所以(0, )为 y 的增区间,所以 0<y<1,又因 f(x)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,所以 0<a<1. 2 2 1 f(x)的定义域为 2x2+x>0 的解集,即{x|x>0 或 x<- }, 2 1 1 1 由 x=- >- 得,(-∞,- )为 y=2x2+x 的递减区间, 4 2 2 1 又由 0<a<1,所以 f(x)的递增区间为(-∞,- ).] 2

1

4、A [∵f(3)=2,∴loga(3+1)=2, 解得 a=2,又 f(-2)=0,∴4-4+b=0,b=0.] 5、B [左边=lg 3·lg 2 · = , 2lg 7 lg 2
-lg 2 1 右边= =- , 2lg 2 2 1 2 ∴lg m=lg 2- =lg , 2 2 2 ∴m= .] 2 lg 7 2lg 3 lg m lg m

6、D [对 A,根据 y=log0.5x 为单调减函数易知正确. 对 B,由 log34>log33=1=log55>log65 可知正确. 4 6 6 对 C,由 log34=1+log3 >1+log3 >1+log5 =log56 可知正确. 3 5 5 对 D,由 π>e>1 可知,logeπ>1>logπe 错误.] 二、填空题 7、-3
1 - 解析 (1)当 a≤4 时,2a 4= , 8 解得 a=1,此时 f(a+6)=f(7)=-3; 1 (2)当 a>4 时,-log2(a+1)= ,无解. 8

8、2a+b-2
解析 因为 log236=a,log210=b, 所以 2+2log23=a,1+log25=b. 1 即 log23= (a-2),log25=b-1, 2 1 1 所以 log215=log23+log25= (a-2)+b-1= a+b-2. 2 2

1

9、2p-1
解析 ∵logaba=p,logabb=logab a ∴logab =logaba-logabb b =p-(1-p)=2p-1. ab =1-p, a

三、解答题 10、解 (1)∵2[f(0)+f(1)]=2(loga1+loga2)=loga 2,
1 3 3 3 又∵f( )=loga ,且 > 2,由 a>1 知函数 y=logax 为增函数,所以 loga 2<loga . 2 2 2 2 1 1 即 [f(0)+f(1)]<f( ). 2 2 (2)由(1)知, 当 x1=1,x2=2 时,不等式成立. 接下来探索不等号左右两边的关系: 1 [f(x -1)+f(x2-1)]=loga x1x2, 2 1 x1+x2 x1+x2 f( -1)=loga , 2 2 因为 x1>0,x2>0, x1+x2 ? x1- x2?2 所以 - x1x2= ≥0, 2 2 x1+x2 即 ≥ x1x2. 2 又 a>1, x1+x2 所以 loga ≥loga x1x2, 2 x1+x2 1 即 [f(x1-1)+f(x2-1)]≤f( -1). 2 2 1 1

综上可知,不等式对任意 x1>0,x2>0 恒成立.

11、解 设 u(x)=x2-2x+3,则 u(x)在定义域内有最小值.
由于 f(x)在定义域内有最小值,所以 a>1. 所以 loga(x-1)>0?x-1>1?x>2, 所以不等式 loga(x-1)>0 的解集为{x|x>2}.

12、解 设至少抽 n 次才符合条件,则
a· (1-60%)n<0.1%· a(设原来容器中的空气体积为 a). 即 0.4n<0.001,两边取常用对数,得 n· lg 0.4<lg 0.001, lg 0.001 所以 n> . lg 0.4 -3 所以 n> ≈7.5. 2lg 2-1 故至少需要抽 8 次,才能使容器内的空气少于原来的 0.1%.

13、解 由 log4(x+a)<1,得 0<x+a<4, 解得-a<x<4-a, 即 B={x|-a<x<4-a}. ? ?-a≥-2, ∵A∩B=?,∴? 解得 1≤a≤2, ?4-a≤3, ? 即实数 a 的取值范围是[1,2].


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