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青海省平安县第一高级中学2015-2016学年高一入学考试数学试题


平安一中 2016 届高一 8 月入学考试

数学试卷
本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷组成,共 4 答题卷共4 页.满分100 分,考试时间90 分钟.考试结束后将答题卡和答题卷一并交回. 页;

第Ⅰ卷(选择题,共40 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后 ,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 ,用橡皮擦擦 干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

1. 函数 f ?x ? ? ?x ?1?? ? 1 是(
0

??



x

1

A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数。 2.已知A ? {?1, 0,1, 2, 3}, B ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1}, 则 A I B 的元素个数为( ) A.0 B.2 C.3 D.5 3.下列四个命题: ①若a // b ,则a ? b ; ②若 a ? b , 则a ? b ; ③若 a ? b , 则a // b ; ④ 若a ? b ,则 a ? b ,其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ? ? 1 ??
y ?7

4.函数

? x? tan?? ? 的最小正周期是( ? 3 ?? 2

) D . ??
2

A . 4??

B . 2??

C .?

5.已知a ? 0, 且a ? 1 ,函数y ? log a x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可 能是( )

6.已知幂函数y A.?- ?, 0 ??

? ? 1? ?? f ( x) 的图像过点? 2,? ,则它的单调递增区间是( ?? 4 ?? D.?- ?, ? ? ?? B.?0, ? ? ?? C.?- ?, 1?? ? ? ?? 1 ? ? 1 ?



7.要得到函数y ? sin ? ?? x ? 的图像,只需将函数y ? sin ? ? x ?? ? 的图象(
? 3 ?? ? 3 6?



A.向左平移

?

个单位
2

B.向右平移

?
2

个单位 个单位。 )

C.向左平移

?
6

个单位

D.向右平移

?
6

8.已知2a ? 3b ? k (k ? 1) ,且2a ? b ? ab ,则实数k 的值为( A.6 B.9 C.12 D.18 x 9.函数 f ( x) ? 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是 ( )
A.(-2,-1) B.(-1,0) 5 13 56 65 C.(0,1) D.(1,2) 3

10.△ABC 中,已知cosA= A、
16 65

,sinB=

,则cosC 的值为( C、
16 65

) D、?
16 65

5

B、



56 65

第Ⅱ卷(非选择题,共60 分)
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上. 2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚. 二.填空题(本大题共5 小题,每小题4 分,共20 分)

11.如果一扇形的圆心角是72? ,半径是20cm,则扇形的面积为 cm2 . 12.若函数 f ( x) ? log 2 (2 ? ax) 在 [0,1] 上为减函数,则实数a 的取值范围
x2 ? 2 x

13.已知 f ( x ) 为定义在(?1,1) 上的奇函数, 当x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 时, f ( x) ? ? 。 tan(2? ? ? ) cos( 14.化简: 3? 2 tan(? ? ? ) sin(? ? 3? ) cos(? ? 3? 2 ② ④
?
12

.当x ? ( ?1, 0)

? ? ) cos(6? ? ? ) ?? ) . 函数y=tan x 在定义域内是增函数.
5?

2 15.下列命题中,正确命题的序号是 ① 函数y=sin x 不是周期函数. 1 ? ③ 函数 y=|cos2 x + |的周期是 . 2 2 ⑤ 函数 y=sin(2 x + )的图象关于点(
3

?

y=sin( x +
2

)是偶函数,

?

,0)成中心对称图形.

三.解答题(本大题共4 小题,共40 分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)

16.已知奇函数f(x)是 定义在 (-3,3)上的减函数,且满足不等 式 f(x-3 ) + f(x2 -3)<0,的解集为A, B=A∪{x| 1 ≤x≤5} , 求函 数 g(x) = -3x2+ 3 x-4(x∈B)的最大 值

17.已知函数 f ? x ? = a sin??2x ? ??? b ?a ? 0? 的最大值是1,最小值是0。
? ?? ?? 3 ??

(1)求实数a, b 的值. (2)求 f ?x ? 的对称中心和对称轴。

18.已知函数 f ( x) ? A sin( wx ? ? )( x ? R, w ? 0, 0 ? ? ?

?

) 的部分图像如图所示。 2

y 1
5? 11?? 12

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 求函数g ( x) ?? f ( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) 的单调递增区间。 12 12

12

x

19.已知函数 f ( x) ? log4 (4 x ? 1) ? kx (k ? R) 是偶函数. (1)求实数k 的值; (2)设g ( x ) ? log4 (a g2 x ? a ) , 若 f ( x ) ? g ( x) 有且只有一个零点 ,求实数a 的取值范 围.

高一数学参考答案
一、选择题
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 C 6 A
2

7 A

8 D

9 B

10 A

二、填空题
11、 ? ?2 x 80
?2 x

12、 (0,2) 13、f ( x) 14、1

15、 ①④

三、解答题
有 16、解:不等式f(x-3 ) + f(x2-3)<0,可 以 转 化 为 f ( x ? 3) ?? f (3 ? x 2 ) 则 ?x ? 3 ? 3 ? x 2 ?? 解得,A={ x | 2 ? x ?? 6 } ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3
1 2 9 单 调 递 减 [1, 6 ) 上 ? B={ x | 1 ? x ?? 6 },g ( x ) ? ?3( x ? ) ? 在 2 4 ? g(x)max=g( 1 ) = -4. ?a ? b ? 1 1 17、解:由题可知?? 解得a ? b ?? 。 2 ?? a ? b ? 0

? ? 5? k? ,k ? Z . (2)由2 x ? ? ? ? k? 得对称轴方程为x ? ? ? 2 3 2 12 ?? ?? k ? 1 2 x ? ? k? 得对称中心为( ? , ). 3 6 2 2

T 11? 5? 5? 18、解: (1) 由图可知 ? ,可得 T ? ? , w ? 2, 又图像经过( ,0) 故有 ? 2 12 12 12 5? 5? ? ? 。过(0,1) 2 ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,得 ? ? ? ? ? k? , k ? Z . 又0 ? ? ? ? ,取 ? ? 12 6 2 6 点,所以A sin ? ? 1 ,可得A=2. ? 得 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) 。 6 ? ? (2) g ( x ) ?? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 12 12 ? ? ? ? ? ? g ( x) ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 2 sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 12 6 12 6 3 ? sin 2 x ?? ? ? ? 2 sin 2 x ? 2 sin 2 x cos ? 2 cos 2 x sin ?

3 cos 2 x 3 3

? ? 2 sin(2 x ? ) 3 ? ? ? 由? ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? ? 2k? , k ? Z 得 ? ? k ?? 2 3? ? 2 12

?

x

? ? k? , k ? Z 5 ?? 12

5? ? 所以g ( x ) 的单调递增区间为 [ ? ? ? k? , ? ? k? ], k ? Z . 12 12

19、解: (1)由函数 f ( x) 是偶函数可知: f ( x ) ? f (? x) ,

………1 分
x

∴log (4x ? 1) ? kx ? log (4? x ? 1) ? kx
4 4

,化简得log 4
4

?1 ?1

? ?2kx ,

4

?x

即x ? ?2kx 对一切x ? R 恒成立,∴k ? ? .
2

1

………………………3 分

(2)函数 f ( x) 与g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 即方程log4 (4 x ? 1) ?? 1
x ? log 4 ( a ? 2
x

? a ) 有且只有一个实根…………4 分

2 x x 1 化简得:方程2 x ? ? a ? 2 ? a 有且只有一个实根,且a ? 2 ? a ? 0 成立, 则a ? 0 2x 令t ? 2 x ? 0 ,则(a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根…………………6 分 设g (t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ,注意到g (0) ? ?1 ? 0 ,所以

①当a ? 1 时, 有t ? 1 , 合题意; ②当0 ? a ? 1 时, g (t ) 图象开口向下,且g (0) ? ?1 ? 0 ,则需满足
a ?? ? ?? t ?0 ? 对称轴 2( a ? 1) ,此时有a ? ?2+2 ?? ? ??? ? 0 2 ; a ? ?2 ? 2 2 (舍去)

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③当a ? 1 时,又g (0) ? ?1 ,方程恒有一个正根与一个负根. 综上可知, a 的取值范围是{ ?2+2
2 }∪[1,+∞).………………………10 分

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