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3.2.1 古典概型


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3.2 古典概型 3.2.1 古典概型 整体设计 教学分析 本节课是高中数学 3(必修)第三章概率的第二节古典概型的第一课时,是在随机事件的概率之后,几 何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的.古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率 模型,在概率论中占有相当重要的地位. 学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础 ,同时有利于理解概率的概念 ,有利于计算一些事件的 概率,有利于解释生活中的一些问题.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典 概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,归纳总结出古典概 型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、 分类讨论的思想解决概率的计 算问题. 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义 ,加强与实际生活的联系 ,以科学的态度评 价身边的一些随机现象.适当地增加学生合作学习交流的机会 ,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古 典概型有关的实例 .使得学生在体会概率意义的同时 ,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的 科学态度和锲而不舍的求学精神. 三维目标 1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和 每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点;树立从具体到抽象、 从特殊到一般的辩证唯物主义观点 ,培养学生用随机的观点来理性地理解世界 ,使得学生在体会概率意义 的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神. 2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算 公式,掌握古典概型的概率计算公式;注意公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 的使用条件——古典 总的基本事件个数

概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思 维情趣,形成学习数学知识的积极态度. 重点难点 教学重点:理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 教学难点:如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数 和试验中基本事件的总数. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 1 (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件. (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,…,10,从中任取一球,只有 10 种不同的结果,即标 号为 1,2,3,…,10. 思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 为此我们学习古典概型,教师板书课题. 推进新课 新知探究 提出问题 试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少 完成 20 次(最好是整十数),最后由学科代表汇总; 试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和“6 点”的次数,要求每个数学

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小组至少完成 60 次(最好是整十数),最后由学科代表汇总. (1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么? (2)根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点? (3)什么是基本事件?基本事件具有什么特点? (4)什么是古典概型?它具有什么特点? (5)对于古典概型,应怎样计算事件的概率? 活动: 学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同汇 总方法、结果和感受. 讨论结果: (1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是 把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差. (2) 上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是 0.5. 上述试验二的 6 个结果是“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和“6 点”,它们也都是随机事件,出现的概率是相等 的,都是

1 . 6

(3) 根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件; 上述试验二的 6 个结果“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和“6 点”,它们都是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件 (elementary event) ;它是试验的每一个可能结果. 基本事件具有如下的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. (4)在一个试验中如果 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) ②每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型. 向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗? 为什么? 因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点 ,试验的所有可能结果数是无限的 ,虽然每一个试验结果 出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件. 如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中 10 环、命中 9 环……命中 5 环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有 7 个,而命中 10 环、命中 9 环……命中 5 环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件. (5)古典概型,随机事件的概率计算时,应该注意: ①要判断该概率模型是不是古典概型; ②要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的 总数. 下面我们看它们的应用. 应用示例 例 1 从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? 活动:师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来. 解:基本事件共有 6 个: A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}. 点评:一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法. 分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举. 变式训练 用不同的颜色给下图中的 3 个矩形随机地涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:

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(1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率. 分析:本题中基本事件比较多,为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画图枚举如下: (树形图)

解:基本事件共有 27 个. (1) 记 事件 A=“3 个 矩形涂 同一 种颜色 ”, 由 上图可 以知 道事件 A 包 含的 基本 事件有 1× 3=3 个 , 故 P(A)=

3 1 ? . 27 9 6 2 ? . 27 9

(2)记事件 B=“3 个矩形颜色都不同”,由上图可以知道事件 B 包含的基本事件有 2× 3=6 个,故 P(B)= 答:3 个矩形颜色都相同的概率为

1 2 ;3 个矩形颜色都不同的概率为 . 9 9

例 2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握 了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多 少?(解题过程略) 点评:古典概型解题步骤: (1)阅读题目,搜集信息; (2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件; (3)求出基本事件总数 n 和事件 A 所包含的结果数 m; (4)用公式 P(A)=

m 求出概率并下结论. n

变式训练 1.两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率. 2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率. 例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? 例 4 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,2,…,9 十个数字中的任意一个.假设一个人完 全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少? 例 5 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中随机抽出 2 听,检测出不合格产品的概 率有多大? 跟踪训练 1 一个口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球,从中一次摸出两个球, (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的两个都是白球的概率是多少? 活动:可用枚举法找出所有的等可能基本事件. 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取 出的两件产品中恰有一件次品的概率. 活动:学生思考或交流,教师引导,每次取出一个,取后不放回,其一切可能的结果组成的基本事件是等可能

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发生的,因此可用古典概型解决. 解: 每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即 (a1,a2) 和 (a1,b2) , (a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则 A=[ (a1,b1),(a2,b1),(b1,a1), (b1,a2) ],事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = . 6 3

思考 在上例中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,求取出的两件中恰 好有一件次品的概率. 有放回地连续取出两件,其一切可能的结果有: (a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1), (b1,a2),(b1,b1),由 9 个基本事件组成,由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的 出现是等可能的.用 B 表示“恰有一件次品”这一事件,则 B=[ (a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2) ], 事件 B 包含 4 个基本事件,因而,P(B)=

4 . 9

点评: (1)在连续两次取出过程中,(a1,b1)与(b1,a1)不是同一个基本事件,因为先后顺序不同. (2)无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的. 知能训练 本节练习 1、2、3. 拓展提升 一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成 1 000 个同样大小的小正方体,将这些正方体混合后,从中任取一 个小正方体,求: (1)有一面涂有色彩的概率; (2)有两面涂有色彩的概率; (3)有三面涂有色彩的概率. 解: 在 1 000 个小正方体中,一面涂有色彩的有 82× 6 个,两面涂有色彩的有 8× 12 个,三面涂有色彩的有 8 个,∴

384 =0.384; 1000 96 (2)有两面涂有色彩的概率为 P2= =0.096; 1000 8 (3)有三面涂有色彩的概率为 P3= =0.008. 1000
(1)有一面涂有色彩的概率为 P1= 答: (1)一面涂有色彩的概率为 0.384; (2)有两面涂有色彩的概率为 0.096; (3)有三面涂有色彩的概 率为 0.008. 课堂小结 1.古典概型 我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 2.古典概型计算任何事件的概率计算公式 P(A)= A所包含的基本事件的个数 .
基本事件的总数

3.求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法(画树状图和 列表),应做到不重不漏. 作业 习题 3.2 A 组 1、2、3、4. 设计感想 本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念 ,由两 个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解;再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计 算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 在解决概率的计算上,教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本事件个数的一般方法,从 而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.由此,整个教学设计可以在教师的期盼中实施.


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