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2017


3.3.1 双曲线及其标准方程 1.理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线的焦点、焦距. 2.掌握双曲线的标准方程,能利用定义求标准方程并会分析解决 有关问题.掌握用待定系数法求轨迹方程及分类讨论的数学思想方 法的运用. 1.双曲线的定义 我们把平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大 于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线. 定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的 焦距. 说明:(1)在双曲线定义中“常数要大于0且小于|F1F2|”这一限制条 件十分重要,不可去掉. (2)如果定义中常数改为等于|F1F2|,此时动点轨迹是以F1,F2为端 点的两条射线(包括端点). (3)如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. (4)如果定义中常数改为大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. (5)若把定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉,点的轨迹就成为 双曲线的一支. 【做一做1】 下列命题是真命题的是 .(将所有真命题 的序号都填上) ①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|-|PF2|= 2 的点P的轨迹 为双曲线; ②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足||PF1|-|PF2||=4的点P的轨迹为 两条射线; ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为 双曲线; ④若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之差的绝对值等于点M(1,2) 到点N(-3,-1)的距离,则点P的轨迹为双曲线. 解析 :① 2<2,故点 P 的轨迹是双曲线的一支;②因为 2a=|F1F2|=4,所以点 P 的轨迹是分别以 F1,F2 为端点的两条射线 ;③ 到定点 F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于 7,而 7>6,故点 P 的轨 迹不存在 ;④点 M(1,2)到点 N(-3,-1)的距离为 (-3-1 )2 + (-1-2 )2 =5<8, 故点 P 的轨迹是以 F1(-4,0),F2(4,0)为焦点的双曲线 . 答案 :②④ 2.双曲线的标准方程 2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 2 ? 2 2=1(a>0,b>0),焦 点坐标为(-c,0)和(c,0),这里有 c 2-a2=b2(b>0). 2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 2 ? 2 2=1(a>0,b>0).焦 点坐标为(0,-c)和(0,c),这里有 c 2-a2=b2(b>0). 说明 :(1)双曲线标准方程中的两个参数 a,b 是双曲线的定形条 件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定. (2)对称轴为坐标轴的双曲线方程可设为 Ax2+By 2=1(AB<0)或 2 2 2 2 2 + =1(AB<0),即方程 Ax +By = 1 或 2 + =1 表示双曲线的充要 条件为 AB<0. 【做一做 2-1】已知点 F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 6,则曲线方程为( ) 2 2 A. ? =1(x>0) 9 7 2 2 B. ? =1 9 7 2 2 C. ? =1(y>0) 9 7 2 2 D. ? =1 9 7 答案 :A 【做一做 2-2】 范围是( ) 2 2 已知方程 ? =1 表示双曲线,则 1+ 1- k 的取值 A.-1<k<1 B.k>0 C.k≥0 D.k>1或k<-1 解析:方程表示

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