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广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编3:三角函数 Word版含答案]


广东省 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 3:三角函数
一、选择题 1 . (广东省茂名市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)已知函数 y ? sin x ? cos x ,

则下列结论正确的是(

)





A.此函数的图象关于直线 x ? ? C.此函数在区间 ( ?
【答案】C

?
4

对称 B.此函数的最大值为 1 D.此函数的最小正周期为 ?

? ?

, ) 上是增函数 4 4

2 . ( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

?? ? f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ( A ? 0, ? ? 0 , x ? ? ??, ?? ? ) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且 6? ?
? ? ?? f ? 0 ? ? 3 ,则函数 y ? f ( x) 在 ? ? , ? 上的最小值是 ? 4 4?
A. ? 6 B. ?2 3 C. ?3 D. 2 3 ( )

【答案】C 解析: A ? 2 3, ? ? 2 ? f ( x) ? 2 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

由?

?
4

?x?

?
4

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? ? ?? 得 f min ( x) ? 2 3 sin ? ? ? ? ?3 3 ? 3?

3 . (2013 届广东省高考压轴卷数学理试题)函数

f ( x) ? x ? sin x ( x ? R)
B.是偶函数,且在





A.是偶函数,且在 (??, ??) 上是减函数;

(??, ??) 上是增函数;
C.是奇函数,且在 (??, ??) 上是减函数; D.是奇函数,且在

(??, ??) 上是增函数;
【答案】D

f ? ? x ? ? ? x ? sin ? ? x ? ? ? x ? sin x ? ? f ? x ? ,得 f ? x ? 为奇函数

f / ? x ? ? 1 ? cos x ? 0 得 f ? x ? 在 R 上为增函数
4 . (广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析) )当 x ?

?
4

时, ( )

函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

3? ? x) 4

A.是奇函数且图像关于点 (

?
2

, 0) 对称

B.是偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称

C.是奇函数且图像关于直线 x ?
【答案】C

?
2

对称 D.是偶函数且图像关于直线 x ? ? 对称

解析:依题意可得 y ? f (

3? ? x) ? ? A sin x ,故选 C. 4

5 . ( 广 东 省 海 珠 区 2013 届 高 三 上 学 期 综 合 测 试 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 要得 到函数

?? ?? ? ? y ? sin ? x ? ? 的图象可将函数 y ? sin ? x ? ? 的图象上的所有点 6? 6? ? ?
? 个长度单位 6 ? C. 向右平行移动 个长度单位 3
A. 向右平行移动
【答案】C 6 . ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 10 月 第 二 次 调 研 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

B. 向左平行移动

? 个长度单位 6 ? D. 向左平行移动 个长度单位 3

a ? ? cos a, ?2 ? , b ? ? sin a,1? ,且 a // b ,则 tan(a ?
A. 3 B. ? 3 C.

?
4

) 等于
D. ?





1 3

【答案】 【解析】 由 a // b ,得 cos ? ? 2sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ?

1 ? ,所以 tan(? ? ) ? ?3 , 2 4
)函数

1 3

故选 B
7 .( 广 东 省 汕 头 一 中 2013 年 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题

(?3 ? x ? 0) ?kx ? 1, ? y?? 8? 的图象如下图,则 2 sin(?x ? ? ), (0 ? x ? ) ? 3 ?





1 1 ? ,? ? ,? ? 3 2 6 1 ? C. k ? ? , ? ? 2, ? ? 3 6
A. k ? (一)必做题(9~12 题) 【答案】A

B. k ?

1 1 ? ,? ? ,? ? 3 2 3

D. k ? ?3, ? ? 2, ? ?

?
3

8 . (广东省 “ 六校教研协作体 ”2013 届高三第二次( 11 月)联考数学(理)试题) 已知

f(x)=sin(ωx+

? )(ω>0)的图象与 y=-1 的图象的相邻 3

两交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)

的图象,只需把 y=cos2x 的图象





? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 12
A.向左平移
【答案】

? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 12
B.向右平移

B.

9 . (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题)把函数 y=cos2x+l 的图像

上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍〔纵坐标不变),然后向左 平移 l 个单位长度.再向下平移 1 个单位长度.得到的图像是

【答案】A 10 . (广东省深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题) 如图所示为函数

f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ( ? ﹥0,
5 ,那么 f ? ?1? ?
y A
2 1

? ﹤ ? ﹤ ? )的部分图像,其中 A, B 两点之间的距离为 2

O
?2

x B B. 3 C. 2 D. ?2 ( )

A. ? 3
【答案】C

11. (广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学 (理) 试题) 在 ?ABC 中,内角 A 、

B 、 C 所对的边分别是 a、b、c ,已知 b ? 2 , B ? 30o , C ? 15o ,
则a ? A. 2 2
【答案】A 12. (广东省广州市 2013 届高三调研测试数学 (理) 试题)函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

( B. 2 3 C. 6 ? 2 D. 4



? 单 6

位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合, 则 y ? f ( x) 的解析式是 A. f C. f ( )

? x? ? x?

? cos( 2 x ? ? cos( 2 x ?

?

?

3

)

B. f D. f

? x? ? x?

? cos( 2 x ? ? cos( 2 x ?

?

6

)

?

6

)

3

)

【答案】B

分析:逆推法,将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 即

? 个单位即得 y ? f ( x) 的图象, 6

f ( x) ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] ? cos( ?2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 6 3 2 3 6 6
13. (广东省汕头市东厦中学 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题 )已知点 P (sin ? –

?

?

?

?

?

?

cos ? ,tan ? )在第一象限,则在[0,2 ? ]内 ? 的取值范围是





5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? C. ( , ) ? ( , ) 2 4 4 2
A. (

? 3?
,

) ? (? ,

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? ? 3? D. ( , ) ? ( , ? )
B. (
4 2 4

? ?

【答案】B 二、填空题 14. (广东省汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题(详解) )在△ABC 中,

用 a、 b、 c 和 A、 B、 C 分别表示它的三条边和三条边所对的角,若 a=2, b ? 2 , A ? 则角 B=______.
【答案】

? , 4

? . 6

15 . ( 2010 年高考(广东理) ) 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边 , 若

a=1,b= 3 ,A+B=2B,则 sinC=_____.
【答案】由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,

1 3 , ? sin A sin 60

即 sin A ?

1 .由 a ? b 知, A ? B ? 60 ,则 A ? 30 , 2

C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 30 ? 60 ? 90 , sin C ? sin 90 ? 1
16. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )已知

? 为锐角,且

?? 3 ? cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? _______. 4? 5 ?

【答案】

2 10

17 . ( 广 东 省 珠 海 一 中 等 六 校 2013 届 高 三 5 月 高 考 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知

f ( x ) ? 2 si n( x ? ? ) ? (| ? | ,若 ) x ? 1 是它一条对称轴,则 ? ? ________. 3 2
【 答 案 】【 解 析 】 由 已 知 得

?

?

?
3

x ? ? ? k? ?

?
2

, k ?Z , 由 x ? 1 代 入 得

? ? k? ?
又 | ? |?

?
6

,k? Z ,

? ? ? ,所以 ? ? .答案: . 2 6 6

18 . ( 广 东 省 揭 阳 市 2013 届 高 三 3 月 第 一 次 高 考 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 解 析 ) )计

算: log 1 sin15o ? log 1 cos15o =________.
2 2

【答案】2; 19. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)若点 (a, ?1) 在函数

y ? log 1 x 的图象上,则 tan
3

4? 的值为________. a

【答案】依题意得 a ? 3 ,则 tan

4? 4? ? 3. = tan a 3
4 ,则 cosα =_______. 5

20. (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)如图所示,在平面直

角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标为

【答案】 ?

3 5

21. (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)在 ?ABC ,角

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 2, c ? 3, A ? 45? ,则角 C ? ________.
【答案】 60 ? 或 120? 三、解答题 22 . ( 广 东 省 汕 头 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 统 一 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函数

1 ? f ( x) ? tan( x ? ) 3 6
(I)求 f(x)的最小正周期; (II)求 f ( ? ) 的值; (皿)设 f (3? ?

3 2

7 1 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ) ? ? ,求 的值. ? 2 2 2 sin(? ? ) 4

【答案】解:(1) f ( x) 的最小正周期为 T=

?

3? 3? ? ? ) ? tan( ? ) ? tan ? 3 2 6 6 3 7? 1 1 7? ? 1 1 (3)由 f (3? ? ) ? ? 得 tan[ (3? ? ) ? ] ? ? 即 tan(? ? ? ) ? ? 2 2 3 2 6 2 2 1 所以 tan ? ? ? 2 ? cos ? ? 0 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin ? ? cos ? . ? ? sin ? ? cos ? 2 sin(? ? ) 4 tan ? ? 1 ? tan ? ? 1 1 ? ?1 ? 2 ? ?3 1 ? ?1 2 另解:先求 sin ? 和 cos ? 再求得最后正确答案这步也得 3 分
(2) f (
23. (广东省汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题(详解) )(本小题满

1 3

? 3?

分 12 分) 设函数 f ? x ? ? A sin ? 2 x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)已知 f ?

? ?

?? ? 7? ? , ?2 ? . ? ( x ? R )的图象过点 P ?
3? ? 12 ?

? 3? ? ? ? ? 10 ? ? ? ? , ? ? ? ? 0 ,求 cos ? ? ? 2 4 ? 2 12 ? 13 ?
? 7? ? , ?2 ? , ? 12 ?

? ? 的值. ?

【答案】(本小题满分 12 分)

【答案】解(Ⅰ)∵ f ( x ) 的图象过点 P ?

7? ? 3? ? 7? ? ? ∴f? ? ? ? A sin ? ?2 ? ? ? A sin ? 2 ? 2 ? 12 ? ? 12 3 ?

∴A?2 故 f ( x ) 的解析式为 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

(Ⅱ) ∵ f ? 即 cos ? ?

? ?? ? ? ? ? ?? 10 ?? ? ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? ? 2? 13 ? 2 12 ? ? ? ? 2 12 ? 3 ?
5 , 13
2 2

12 ?5? ∵ ? ? ? ? 0 ,∴ sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 13 ? 13 ?

?

3? ? cos ? ? ? 4 ? ∴
f (x)= sin (2 x +

17 2 3? 3? 5 ? 2 ? 12 2 ? ? ?? ? ? ? ?? ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? ? 26 4 4 13 ? 2 ? 13 2 ?

24. (广东省云浮市 2012-2013 新兴县第一中学高三阶段检测试题数学(三)(理) )已知函数

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ).求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ).求函数 f (x) 在区间 [ ?
【答案】(1) f (x)= sin (2 x +

? ?

?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 3 4 2? ?? 函数 f (x) 的最小正周期为 T ? 2
(2)

? 2sin 2 x cos

?

3

)+sin(2 x ?

?

?

3

)+2cos 2 x ? 1

?

?
4

?x?

?
4
?

??

?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 2 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? ?1 ? f ( x) ? 2 4 2 4

当 2x ? 当 2x ?

?

?
2

?

4

(x ?

?
8

) 时, f ( x)max ? 2 ,

4

??

?

( x ? ? ) 时, f ( x)min ? ?1 . 4 4

?

25. (2011 年高考(广东理) )已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

(1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

) , x? R .

(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

5? 1 5? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? 2 4 3 4 6 4 5 ? 1 ? ? 10 (2) f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ,即 sin ? ? 13 2 3 2 6 13 1 ? ? 6 3 f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? ,即 cos ? ? 3 6 2 5 5
【答案】解:( 1) f (

∵ ? , ? ? ?0,

12 4 ? ?? 2 2 ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? ? 13 5 ? 2?
12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

26. (广东省汕头市东厦中学 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题 )设向量

3 m ? (cos? ,sin ? ) , n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos? ) , ? ? (? ? ,?? ) , 2
若 m ? n ? 1,求: (1) sin(? ?

?
4

) 的值;

(2) cos( ? ?

7 ? ) 的值. 12

【答案】解:(1)依题意, m ? n ? cos? (2

2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos? )

? 2 2(sin ? ? cos? )
又 m?n ?1

? 4sin(? ?

?
4

)

∴ sin(? ?

?
4

)?

1 4

(2)由于 ? ? (? ? ,?? ) ,则 ? ? 结合 sin(? ?

3 2

?

5 3 ? ( ? ? ,? ? ) 4 4 4

?
4

)?

1 ? 15 ,可得 cos(? ? ) ? ? 4 4 4

则 cos(? ?

7 1 1 15 1 1 3 3 ? 15 ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? (? )? ? ? ?? 12 4 3 4 2 4 2 8

27 . ( 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 数 学 ( 理 科 ) 试 题 ( word 版 ) ) 已 知

f ( x) ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f ( x) 的零点. ?2 ? ?

【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ?

?
4

)

故T ? ?

(Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos(

?

?? ? ? 2 x) =0,又? x ? ? , ? ? 4 ?2 ?

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? 4 4 4 4 2 5? 5? 故x? 函数 f ( x) 的零点是 x ? 8 8

28 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 教 学 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函数

f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数.
(1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合; (2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求 tan( x ?

?
4

) 的值.

【答案】解:(1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,故 f '( x) ? cos x ? sin x ,

∴ g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? (sin x ? cos x )( cos x ? sin x )

? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ,
∴当 2 x ? ?? ? 2k? ( k ? Z ) ,即 x ? ? 相应的 x 值的集合为 { x | x ? ?

?
2

? k? ( k ? Z ) 时, g ( x) 取得最小值 ?1 ,

?
2

? k? , k ? Z }

评分说明:学生没有写成集合的形式的扣 1 分. (2)由 f ( x) ? 2 f ?( x) ,得 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2sin x , ∴ cos x ? 3sin x ,故 tan x ?

1 , 3

1 3 ?2 4 ? ∴ tan( x ? ) ? ? 1 4 1 ? tan x tan 1? 4 3

?

tan x ? tan

?

1?

29. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )已知 ?ABC

中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, sin(2C ? (1)求角 C 的大小;(2)求


?

1 ) ? ,且 a 2 ? b2 ? c2 . 2 2

a?b . c
答 案 】

30

. (

2010









广





) )









f ( x) ? A sin( 3x ? ? ), ( A ? 0, x ? (?? ,?? ), 0 ? ? ? ? )在x ?
(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的解析式;

?
12

时取得最大值 4.

12 , 求 sin ? . 12 5 2? 【答案】解:(1) T ? ; 3
(3)若 f ( ? ?

2 3

?

)?

(2)由 f ( x ) 的最大值是 4 知,A=4,

,

(3) f ( ? ? 即

2 3

2 ? ? 12 ) ? 4sin[3( ? ? ) ? ] ? , 12 3 12 4 5

?

sin(2? ?
sin 2 ? ?

?
2

)?

3 3 3 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , 5 5 5

1 5 , sin ? ? ? . 5 5

31. (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题)△ABC 中内角 A,B,C 的对

边分别为 a,b,c, 向量 m ? (2sin

A , 3) , 2

n ? (cos A, 2 cos 2
(I)求角 A 的大小; (II)若 a ?

A ? 1) ,且 m n . 4

7 且△ABC 的面积为
? ?

3 3 ,求 b 十 c 的值. 2

A A (2 cos 2 ? 1) 2 4 A A A A ? 3 cos A ? 2 sin (2 cos 2 ? 1) ? 2 sin cos ? sin A 2 4 2 2
【答案】解:(1)? m// n

? 3 cos A ? 2 sin

? tan A ? 3
(2) ? S ?ABC ?

又 A ? (0, ? )

?A?

?

? bc ? 6

1 1 ? 3 bc sin A ? bc sin ? 3 2 2 3 2

3

由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
3

? (b ? c) 2 ? 7 ? 3bc ? 25

?b ? c ? 5
32. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)在平面直

角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为
【答案】⑴解法 1、

4 ,求 S ?AOB . 5

由题可知: A(?1,3) , B (cos ? ,sin ? ) ,

OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? )

OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0
∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ?

1 3

解法 2、 由题可知: A(?1,3) , B (cos ? ,sin ? )

kOA ? ?3 ,

kOB ? tan ?

∵ OA ? OB ,∴ K OA ? K OB ? ?1

?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ?

1 3

解法 3、 设 B ( x , y ) ,(列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ OA ? ∴ sin ? ? ∵ OB ? 1

? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2
3 3 10 ?1 10 , cos ? ? (每式 1 分) ? ?? 10 10 10 10

cos ? ?

4 3 2 ,得 sin ? ? 1 ? cos ? ? (列式计算各 1 分) 5 5
3 10 4 10 3 3 10 (列式计算各 1 分) ? ? ? ? 10 5 10 5 10

sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ?

∴ S ?AOB ? 解法 2、

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 2 10

由题意得: AO 的直线方程为 3 x ? y ? 0 则 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

3 5

即 B ( , ) (列式计算各 1 分)

4 3 5 5

4 3 3 ? ? 3 5 5 5 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? ? 10 (列式计算各 1 分) 10 10
又 OA ? 分) 解法 3、

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S ?AOB ?

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 2 2 10 2

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

3 5

即 B ( , ) (每式 1 分)

4 3 5 5

即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) ,

4 3 5 5

OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10

,

OB ? 1

,

4 3 ?1? ? 3 ? OA ? OB 5 5 ? 10 cos ?AOB ? ? 10 10 ?1 OA OB
(模长、角的余弦各 1 分) ∴ sin ?AOB ? 1 ? cos ?AOB ?
2

3 10 10

则 S ?AOB ?

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 10 2

解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个内 角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分) 33. (广东省梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检数学(理)试题)已知△ABC 的内角 A,B, C 的 对边分别为 a,b,c,满足 3 sin C cos C ? cos 2 C ? (1)求角 C (2)若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,且 c=3,求 a、b 的值.
【答案】

1 . 2

34 . ( 广 东 省 湛 江 一 中 等 “ 十 校 ”2013 届 高 三 下 学 期 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设

f ( x) ? 6 cos 2 x ? 3 sin 2 x .
(1)求 f ( x) 的最小正周期、最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合; (2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan
【答案】(本小题满分 l2 分)

4 ? 的值. 5

(1)解: f ( x) ? 6 ?

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3
? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 ??3 2 ? ?
?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 6? ?
故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;此时 2 x ? 最小正周期 T ?

?
6

? 2k? , x ? k? ?

?
12

,k ? Z

2? ?? 2

(2)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ?

? ?

?? ??3 ? 3? 2 3 , 6?

故 cos ? 2? ?

? ?

?? ? ? ?1 , 6?

? ? ? ? ? 5 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? ? 2 6 6 6 6 12 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 5 3
又由 0 ? ? ?
35 . ( 广 东 省 珠 海 市 2013 届 高 三 5 月 综 合 考 试 ( 二 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

? | ? | f ( x) ? A s i n ? ( x ?? ( )A ? 0,? ? 0,
(1)求 f ( x) 的解析式; (2) g ( x) ? 3 f ( x ?

?
2

) ( x ? R ) 的部分图像如图所示 ,

?
4

) ? f ( x) 且 tan ? ? 3 ,求 g (? ) .

【答案】解:(1)由图像知 A ? 1 ,

T ? ? ? ? ? (? ) ? ,∴ T ? ? 2 3 6 2 2? ?2 ∴? ? T
又 2 ? (?

?

6

) ? ? ? 0 得? ?

?

∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

3

)

(2)∵ f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)

∴ g ( x) ? 3 sin[2( x ?

?

? 3 sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) 6 3 ? 3(sin 2 x cos
= 2 sin 2 x ∵ tan ? ? 3 ∴ g (? ) ? 2sin 2? ?

?

) ? ] ? sin(2 x ? ) 4 3 3

?

?

?

?

? cos 2 x sin ) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 6 6 3 3

?

?

?

4sin ? cos ? 4 tan ? 12 6 ? ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 10 5

36. (广东省海珠区 2013 届高三上学期综合测试(一)数学(理)试题)(本小题满分 12 分)

在 锐 角 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 向 量

m ? ?1, c o B s ?, n ? s i n B,? 3 ,且 m ? n .

?

?

(1)求角 B 的大小; (2)若 ?ABC 面积为

3 3 2 , 3ac ? 25 ? b ,求 a , c 的值. 2

【答案】(本小题主要考查向量数量积、三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三

角形 1 等知识,考查化归与转化、方程的数学思想方法,以及运算求解能力) 解(1) : (1) m ? n ? ?1, cos B? ? sin B,? 3

?

?

? 1? sin B ? cos B ? ? 3

?

?

? sin B ? 3 cos B
m ? n,?m ? n ? 0
? sin B ? 3 cos B ? 0
?ABC 为锐角三角形,? cos B ? 0

? tanB ? 3 ,
0?B? ?B ?

?
2

?
3

2 2 2 2 2 2 (2)由 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b ? a ? c ? ac , 2 2 2 代入 3ac ? 25 ? b 得 3ac ? 25 ? a ? c ? ac ,得 a ? c ? 5

S?ABC ?

1 1 ? 3 ac sin B ? ac ? sin ? ac 2 2 3 4

由题设

3 3 3 ,得 ac ? 6 ac ? 4 2

联立 ?

?a ? c ? 5 , ?ac ? 6 ?a ? 2 ? a ? 3 ,或 ? . ?c ? 3 ?c ? 2
1 . 2

解得 ?

37. (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)

在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、b、c,a ? 2 3,b ? 2 , cos A ? ? (1)求角 B 的大小;
2 (2)若 f ( x) ? cos 2 x ? c sin ( x ? B) ,求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

【答案】解:(Ⅰ) sin A ?

3 2
1 2
, (没指出 B 范围扣 1 分)



a b ? sin A sin B

得 sin B ?

又 A 为钝角,故 B 为锐角 (Ⅱ)

B?

?
6

c?2

f ( x) ? cos 2 x ? 2sin 2 ( x ? ) 6
= cos 2 x ? cos(2 x ?

?

?

3

) ?1

1 3 ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2
? sin(2 x ? ) ? 1 6

?

所以,所求函数的最小正周期为 ? 由 2 k? ? 得 k? ?

?

?
3

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

? x ? k? ?

?
6

2

,k ?Z

,k ?Z

所以所求函数的单调递增区间为 [k? ? 扣 1 分)

?

, k? ? ], k ? Z (没写区间及指出 K 为整数 3 6

?

38 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [ ?


? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3
答 案 】



解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos2 x ? sin 2 x

? ?2 sin( 2 x ?

?
3

).

? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)∵ x ? [ ?

? ?
3 3 ,

] , ??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

??

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 3

? f ( x) 的值域为 [?2, 3]

? 当 y ? sin( 2 x ?
?

?
3

) 递减时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

? ? ,即

?
12

?x?

?
3

.

故 f ( x ) 的递增区间为 ?

?? ? ? , ? ?12 3 ?

39( .广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题) ?ABC 的三个内角 A,B,C

对应的三条边长分别是 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C ? 0 (1)求 C 的值; (2)若 cos A ?

3 , c ? 5 3 ,求 sin B 和 b 的值. 5

【答案】解:(1)因为 c sin

A ? 3a cos C ? 0 由正弦定理得:

2 R sin C sin A ? 2 R 3 sin A sin C ? 0
由 sin A ? 0 所以 tan C ? ? 3 , C ? (0, ? ) ;? C ? (2)由 cos A ?

3 ? 4 , A ? (0, ) 则 sin A ? 1 ? cos 2 A ? , 5 2 5

2? 3

sin B ? sin(? ? A ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?


4 1 3 3 3 3?4 ? (? ) ? ? ? 5 2 5 2 10
b c c sin B ,b ? ? ?3 3?4 sin B sin C sin C
正 半 轴 的 交 点 , 点 B,P 在 单 位 圆 上 , 且

40. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版) )如图,A是单位圆与x



B( ( ? , ) , ?AOB ? ? , ?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP .设四边形OAQP的 面积为S, (1) 求 cos(? ?

3 4 5 5

?
6

) ;求 f (? ) = OA ? OQ ? S 的单调递增区间.

【答案】 41. (2009高考(广东理)) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直, 其中 ? ? (0,

?
2

).

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值.w.w.w..c.o.m 10 2
os ? , ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 c

【答案】解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ?

? ?c o s ? ? 1 得 sin ? ? ? 代 入 s i n
2 2

? 2 5 5 , cos? ? ? , 又 ? ?( 0 , 2 5 5

) ∴ ,

sin ? ?
( 2

2 5 5 , cos? ? . 5 5
) ∵

0?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2





?

?
2


? ? ?? ?

?
2





cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10



c

? ? cos[? ? (? ?o ? )] ? c ? c

s) ? s o ? ?? ?s o ? ? ?) ?

2 i. s i 2

s

n

n

(

42 . ( 广 东 省 揭 阳 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的一系列对应值如下表:

x

?

?
4

0

? 6
1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

y

0

1

(1)求 f ( x ) 的解析式;

1 (A 为锐角),求 ?ABC 的面积. 2 3? ? ? ?? , 【答案】解:(Ⅰ)由题中表格给出的信息可知,函数 f ( x ) 的周期为 T ? 4 4 2? ?? ?2 所以.
(2)若在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 3 , f ( A) ? ? 注意到, sin(2 ? ( ?

?
4

?

) ? ? ) ? 0 也即 ? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,由 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

所以函数的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ)∵ f ( A) ? cos 2 A ? ?

?
2

) (或者 f ( x) ? cos 2 x )

? 1 ,且 A 为锐角,∴ A ? 3 2
3

2? BC AC AC ? sin A 2 ? 3, ? 在 ?ABC 中,由正弦定理得, ,∴ sin B ? ? sin A sin B BC 3 3
∵ BC ? AC ,∴ B ? A ?

?
3

,∴ cos B ?

6 , 3
3 6 1 3 3 2? 3 , ? ? ? ? 2 3 2 3 6

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

43. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学 (理) 试题) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C

所对边的边长分别是 a,b,c . (1)若 c ? 2 , C ?

? 且 △ ABC 的面积等于 3 ,求 cos( A ? B ) 和 a,b 的值; 3 3 12 (2)若 B 是钝角,且 cos A ? ,sin B ? ,求 sin C 的值. 5 13 ? 【答案】解:(1)∵ A ? B ? C ? ? , C ? , ∴ A? B ?? ?C 3

∴ cos( A ? B ) ? cos(? ? C ) ? ? cos C ? ? cos 由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b 2 ? ab ? 4 , 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

?
3

??

1 2

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? ?ab ? 4,
解得 a ? 2 , b ? 2 . (2) ∵ B 是钝角,且 cos A ?

3 12 ,sin B ? 5 13

∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? ?
2

?3? ?5?

2

4 5

5 ? 12 ? cos B ? ? 1 ? sin B ? ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?
2

∴ sin C ? sin ?? ? ( A ? B) ? ? sin( A ? B)

4 ? 5 ? 3 12 16 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 13 65
44 . ( 广 东 省 增 城 市 2013 届 高 三 毕 业 班 调 研 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) (1)求 f ( x) 的最小正周期及最大值; (2)用五点法画出 f ( x) 在一个周期上的图像.
【答案】(1)

f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x
= 1 ? 2 (sin 2 x cos = 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
4
)

? sin

?
4

cos 2 x)

?
4

? f ( x) 的最小正周期是 ? ,最小值是 2 ? 1
【D】6.列表 画图 特征点 坐标系
45. (广东省广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一)数学(理)试题)已知函数

f ( x) ? A sin(? x ?
期为 8 .

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 若函数 f ( x ) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点 , 求△ POQ 的 面积.
【答案】(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、

两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为 2,且 A ? 0 , ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ∴ f ( x) ? 2sin( ∴T ? ∴A?2

2?

?
4

x? ) 4

?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2

∴ cos ?POQ ?

OP ? OQ ? PQ 2 OP OQ

2

2

2

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 2

2

2 6 ?3 2

?

3 3

∴ sin ?POQ ? ∴△

1 ? cos2 ?POQ ?

6 3
面 积 为

POQ



S ?

1 2

sin O?

?

P ?

6?

1 ?O 2

33 2. Q ?

2

6 3

P

解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2)

∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ??

OP ? OQ OP OQ

?

6 6 ?3 2

?

3 3

∴ sin ?POQ ? ∴△

1 ? cos2 ?POQ ?

6 3
面 积 为

POQ



S ?

1 2

sin O?

?

P ?

6?

1 ?O 2

33 2. Q ?

2

6 3

P

解法 3:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴直线 OP 的方程为 y ?

2 x ,即 x ? 2
4? 2 3

2y ? 0
? 2 3

∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ? ∵ OP ?

6,

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6?2 3? 3 2

46. (广东省珠海一中等六校 2013 届高三 5 月高考模拟考试数学(理)试题)已知函数

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x? R . 2 2 (1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; f ( x) ?
(2)设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若

sin B ? 2sin A ,求 a , b 的值.
【答案】 【解析】(1)

f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 2 2 6
2? ?? ; 2

则 f ( x ) 的最小值是 ? 2 ,

最小正周期是 T ?

(2) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6 ?

) ?1 ? 0, 11? , 6

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?

?
6

? 2C ?

?
6

所以 2C ?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

,

因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a ,① 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

,即 c ? a ? b ? ab ? 3 ②
2 2 2

由①②解得: a ? 1 , b ? 2
47 . (广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题( word 版) ) 已知函数

f ( x) ? 2 sin 2x ? 2 cos 2x, x ? R .(1) 求 f ( x) 的 最 大 值 和 最 小 正 周 期 ;(2) 若
3 ?? ? ? , ? 是第二象限的角,求 sin 2? . f ? ? ?? ?2 8? 2
【答案】解(1)∵ f ( x) ? 2 ?

? 2 ? 2 ? ? ? ? cos sin 2 x ? sin cos 2 x ? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ? 2? 4 4 ? ? ? ?

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 4? ?
∴ f ( x ) 的最大值为 2, ,最小正周期为 T ? (2)由(1)知, f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

2? ?? 2

? ?

??
? 4?

所以 f ?

3 3 ?? ? ? ,即 sin ? ? ? ? ? 2sin ? ? 4 2 ?2 8?
2 2

? 3? 13 又 ? 是第二象限的角,所以 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ?
所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ?

3 ? 13 ? 39 ?? ? ? ? ? ? 4 ? 8 ? 4 ?

48.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))如图,已知平面

上直线 l1//l2,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一定点,C 到 l1 的距离 CM = 1 ,

C 到 l2 的距离 CN= a.cosA

3 ,Δ ABC 内角 A、B、C 所对 边分别为 a、b、c,a > b ,且 b.cosB =

(1) 判断三角形 Δ ABC 的形状; (2)记 ?ACM ? ? , f (? ) ?

1 1 ? ,求 f(θ )的最大值. AC BC









49. (广东省惠州市2013届高三第三次(1月)调研考试数学(理)试题)(本小题满分12分)已

知 函 数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? ( 其 中 x ? R , 0 ? ? ? ? ), 且 函 数

? ?? ? y ? f ? 2 x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称. 6 4? ?
(1)求 ? 的值;

(2)若 f (? ?

2? 2 ,求 sin 2? 的值. )? 3 4

【答案】(1)解:∵

f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,

∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? ∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? , 4? 4 ? ?
?
2
( k ? Z ),

又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? 令 2x ? 将x?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

,

?

6

代入,得 ? ? k? ?

?
12

( k ? Z ).

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? (2)解: f (? ?

11? 12

2? 2 2? 11? ? 2 )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) , 3 4 3 12 4 2
1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? 2 4 4

sin ? ? cos ? ?

50. (广东省惠州市 2013 届高三一调(理数))已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? )

为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2? . (1)求 f ( x ) 的解析式 ; (2)若

3 2 3 3 3 【答案】解:(1)? 图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2? , 2? ? T ? 2? , 则 ? ? ? 1 .? f ( x) ? sin(x ? ? ) T ? ? ? f ( x) 是偶函数, ? ? ? k? ? (k ? Z ) , 又 0 ? ? ? ? ,? ? ? . 2 2
则 f ( x) ? cos x (2)由已知得 cos( ? ? 则 sin(? ?

? ? ? 1 5? ? ? (? , ), f (? ? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值.

?
3

)?

1 ? ? ? 5?   ,  ? ? ? (? , ) ,? ? ? ? (0, ) . 3 3 2 3 6

?
3

)?

2 2    3

? sin(2? ?

5? 2? ? ? 4 2 ) ? ? sin(2? ? ) ? ?2 sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? 3 3 3 3 9

51. (广东省云浮市 2012-2013 新兴县第一中学高三阶段检测试题数学(三)(理) )已知 a , b, c

分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1).求 A ; (2).若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .
【答案】(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4


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