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48.用向量方法证明平行与垂直(理)


延津县第一高级中学

2016 届数学(理) 第一轮复习导学案

姓名

班级

组题:原学泰 董芳林 王素春

编号:48

用向量方法证明平行与垂直 【学习目标】 1、理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向 量语言表述直线与直线、 直线与平面、 平面与平面 的垂直、 平行关系. 能用向量方法证明有关直线和 平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 2、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题, 了解向量方法在研 究立体几何问题中的应用. 【预习案】 一、如何用空间向量解决立体几何问题 1.思考方向: (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要 用到哪些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已 知条件转化成的向量直接表示? (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的 向量表示, 则它们分别最易用哪个未知向量表示? 这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关 系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才 能得到需要的结论? 2.空间问题如何转化为向量问题

(1)平行问题→向量共线,注意重合; (2)垂直问题→向量的数量积为零,注意零向量; (3)距离问题→向量的模; (4)求角问题→向量的夹角,注意角范围的统一. 3.向量的分解与合成是用向量法解决立体几何问 题中经常遇到的问题, 确定合适的基向量或建立恰 当的空间直角坐标系是关键. 4.用空间向量解决立体几何问题的方法 (1)坐标法:如果所给问题的图形中存在互相垂直 的直线(或平面), 比较方便建立空间直角坐标系写 出点的坐标, 这种情况下, 一般是建立恰当的空间 直角坐标系,用坐标法通过坐标运算来解决. (2)基向量法 如果在所给问题中, 不好寻找交于一点的互相垂直 的三条直线, 或者其坐标难于求出, 这时常选图中 不共面的三条直线上的线段构造基底, 将所给问题 的条件和待解决的结论, 用基底线性表示, 通过向 量运算来解决. 5.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的 一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系; ②求出相关点的坐 标;③写出向量的坐标;④结合公式进行计算,论 证;⑤转化为几何结论.
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二、平面的法向量 1.如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直 于平面 α ,则称这个向量垂直于平面 α ,记作 a ⊥α ,如果 a⊥α ,那么向量 a 叫做平面 α 的法 向量. 2.求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量,AB、CD 是 M 内 → → 的两条相交直线,则 n·AB=0,n·CD=0.由此可 → → 求出一个法向量 n(向量AB及CD已知). 合作探究 例 1(2014·天津 红桥区二模) 如图,在 四棱锥 P-ABCD 中, 底 面 ABCD 为直角梯形, 且 AD∥BC,∠ABC=∠

PAD =90°,侧面 PAD
1 ⊥底面 ABCD.若 PA=AB=BC= AD. 2 (1)求证:CD⊥平面 PAC; (2)侧棱 PA 上是否存在点 E,使得 BE∥平面

PCD?若存在, 指出点 E 的位置并证明, 若不存在,
请说明理由; (3)求二面角 A-PD-C 的余弦值. [解析] ⊥AD. 解法一:因为∠PAD=90°,所以 PA

延津县第一高级中学

2016 届数学(理) 第一轮复习导学案

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组题:原学泰 董芳林 王素春

编号:48

又因为侧面 PAD⊥底面 ABCD,且侧面 PAD∩底 面 ABCD=AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. 又因为∠BAD=90°,所以 AB,AD,AP 两两垂 直. 分别以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系,如图. 设 AD=2, 则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0),

→ 1 所以 n·BE=1×(-1)+0+2× =0,所以 n 2 → ⊥BE. 因为 BE?平面 PCD,所以 BE∥平面 PCD. → (3)由已知,AB⊥平面 PAD,所以AB=(1,0,0) 为平面 PAD 的一个法向量. 由(2)知,n=(1,1,2)为平面 PCD 的一个法向 量. 设二面角 A - PD - C 的大小为 θ , cosθ = 1 6 | |=| |= , → 6 6×1 |n||AB| 即二面角 A-PD-C 的余弦值为 6 . 6

面 ABC,AC?平面 ABC,所以 PA⊥AC. 又因为 AB⊥AC,且 PA∩AB=A, 所以 AC⊥平面 PAB. 又因为 PB?平面 PAB, 所以 AC⊥PB. (2)证法一:因为 PA⊥平面 ABC, 所以 PA⊥AB,PA⊥AC. 又因为 AB⊥AC, 所以建立如图所示的空间直角坐标系 A -

D(0,2,0),P(0,0,1).
(1) AP = (0,0,1) , AC = (1,1,0) , CD = ( - 1,1,0), → → → → 所以AP·CD=0,AC·CD=0,所以 AP⊥CD, → → →

xyz.

n·AB



AC⊥CD.
又因为 AP∩AC=A,所以 CD⊥平面 PAC. (2)PA 的中点 E,使得 BE∥平面 PCD, 证明如下:设侧棱 PA 的中点为 E,则 E(0,0, → 1 1 ),BE=(-1,0, ). 2 2 设平面 PCD 的一个法向量是 n=(x,y,z),

例 2. (2014·北京朝阳期末)如图,在三棱锥

P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC.
(1)求证:AC⊥PB; (2)设 O,D 分别为 AC,AP 的中点,点 G 为△

AC=2a,AB=b,PA=2c,
则 A(0,0,0) , B(0 , b,0) , C(2a,0,0) ,

? ?n·CD=0, 则? → ? ?n·PD=0.
→ → → 因为CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1),
? ?-x+y=0, 所以? ? ?2y-z=0.

OAB 内一点,且满足OG= (OA+OB),求证:DG∥
平面 PBC; (3)若 AB=AC=2, PA=4, 求二面角 A - PB - C 的余弦 值. 取 x =1 , 则 n=(1,1,2). [解析] (1)因为 PA⊥平
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1 → → 3

P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),
→ 1 → → 又因为OG= (OA+OB), 3 所以 G( , ,0). 3 3

a b

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→ → 于是DG=( , ,-c),BC=(2a,-b,0),PB 3 3



a b

=(0,b,-2c). 设平面 PBC 的一个法向量 n=(x0,y0,z0), → ? ?n·BC=0, 则有? → ? n · ? PB=0,
? ?2ax0-by0=0, 即? ? ?by0-2cz0=0.

(1)求证:平面 PBD⊥平面 PBC; (2)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值; (3)在线段 BD 上是否存在一点 F, 使得 EF⊥平 面 PBC?若存在,请确定点 F 的位置;若不存在, 请说明理由. [解析] (1)证明: ∵直二面角 P-DC-B 的平 2), 设平面 PBC 的法向量 n=(x,y,z), → → ∵BC⊥n,PC⊥n,
? ?-2x+2y=0, ∴? ? ?4y-2z=0.

2c c 不妨设 z0=1,则有 y0= ,x0= ,

b

a

→ → → 则AB=(0,2,0),BC=(-2,2,0),PC=(0,4,-

c 2c 所以 n=( , ,1). a b
→ c 2c a b c a 因为 n·DG=( , ,1)·( , ,-c)= · a b 3 3 a 3 → 2c b + · +1·(-c)=0,所以 n⊥DG.又因为 DG? b 3 平面 PBC,所以 DG∥平面 PBC. 例 3. (2014·天津和平区三模)如图,已知平 面四边形 ABCP 中,D 为 PA 的中点,PA⊥AB,CD∥

面角为∠PDA=90° ,且 PD⊥DC,DA∩DC=D, ∴PD⊥平面 ABCD. ∵BC?平面 ABCD, ∴PD⊥BC. 易求 BC=BD= AB2+AD2=2 2, 在△BCD 中,则有 BC2+BD2=CD2, ∴BD⊥BC. ∵PD∩BD=D, ∴BC⊥平面 PBD. ∵BC?平面 PBC, ∴平面 PBD⊥平面 PBC. (2)由(1)可知,PD、DA、DC 两两垂直,如图, 以 D 为原点建立空间直角坐标系,依题意,得

取 x=1,则 y=1,z=2,

即 n=(1,1,2). → → AB· n 2 6 ∴cos〈AB,n〉= = = . → 2× 6 6 |AB|· |n| 设直线 AB 与平面 PBC 所成角为 θ,则 θ 与 → 〈AB,n〉互余. ∴直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 sinθ = 6 . 6 (3)∵F∈BD,故可设 F(m,m,0),而 PB 的中 点 E(1,1,1), → ∴EF=(m-1,m-1,-1).

AB,且 PA=CD=2AB=4.将此平面四边形 ABCP 沿 CD 折成直二面角 P-DC-B,连接 PA、PB,设 PB
的中点为 E.

A(2,0,0) , B(2,2,0) , C(0,4,0) , D(0,0,0) , P(0,0,2)

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组题:原学泰 董芳林 王素春

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→ → → → ∵EF· BC=0,EF· PC=0,
? ?-2?m-1?+2?m-1?=0, ∴? ? ?4?m-1?+?-1?×?-2?=0,

1 解得 m= . 2

1 1 ∴线段 BD 上存在着点 F( , ,0),使得 EF 2 2 ⊥平面 PBC. 名师点睛 一个要点 用向量法解决几何问题的关键是选取基向量 或建立恰当的直角坐标系,通过向量运算解决. 四个思考方向 用向量解决立体几何问题的基本思考方向 (1)求两点间距离或某一线段长度,用向量的 模解决; (2)解决线线平行、面面平行、线面垂直、共 线问题,一般考虑共线向量定理; (3)解决线线垂直、面面垂直、线面平行,可 考虑转化为向量的数量积为零. (4)解决线面平行、面面平行可以考虑平面向 量基本定理.

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