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人教版高中数学全套试题第三章 3.3.1

§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标 1.了解二元一次不等式表示的平面区域. 2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
1.二元一次不等式(组)的概念 含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式. 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 2.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧 所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. 3.二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点的坐标(x,y)代入 Ax+By+C 所得的符都相同. (2)在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符可以断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.
一、选择题
1.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )

??y≥-2 A.?3x-2y+6>0
??x<0

??y≥-2 B.?3x-2y+6≥0
??x≤0

??y>-2 C.?3x-2y+6>0
??x≤0

??y>-2 D.?3x-2y+6<0
??x<0

答案 C

解析 可结合图形,根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行.由图

知所给区域的三个边界中,有两个是虚的,所以 C 正确.

2.已知点(-1,2)和(3,-3)在直线 3x+y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( )

A.(-1,6)

B.(-6,1)

C.(-∞,-1)∪(6,+∞)

D.(-∞,-6)∪(1,+∞)

答案 A

解析 由题意知,(-3+2-a)(9-3-a)<0, 即(a+1)(a-6)<0,∴-1<a<6. 3.如图所示,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在的区域为( )

答案 B 解析 不等式(x-y)(x+2y-2)>0 等价于不等式组

(Ⅰ)?????xx+-2y>y-0,2>0

或不等式组(Ⅱ)?????xx+-2y<y-0,2<0. 分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域,再求并 集,可得正确答案为 B.

??4x+3y≤12, 4.不等式组?x-y>-1, 表示的平面区域内整点的个数是( )
??y≥0

A.2 个

B.4 个

C.6 个

D.8 个

答案 C

解析 画出可行域后,可按 x=0,x=1,x=2,x=3 分类代入检验,符合要求的点有

(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共 6 个.

??x+y≥0, 5.在平面直角坐标系中,不等式组?x-y+4≥0,
??x≤a

(a 为常数)表示的平面区域的面积

是 9,那么实数 a 的值为( )

A.3 2+2 C.-5 答案 D

B.-3 2+2 D.1

解析 区域如图, 易求得 A(-2,2),B(a,a+4), C(a,-a). S△ABC=12|BC|·|a+2|=(a+2)2=9,由题意得 a=1.

??x≥0, 6.若不等式组?x+3y≥4,
??3x+y≤4

所表示的平面区域被直线 y=kx+43分为面积相等的两部

分,则 k 的值是( )

7

3

4

3

A.3

B.7

C.3

D.4

答案 A

解析 不等式组表示的平面区域如图所示.

由于直线 y=kx+43过定点??0,43??.因此只有直线过 AB 中点时,直线 y=kx+43能平分平面
区域.
因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 M??12,52??. 当 y=kx+43过点??12,52??时,52=2k+43,
所以 k=73. 二、填空题 7.△ABC 的三个顶点坐标为 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则△ABC 的内部及边界所 对应的二元一次不等式组是________________.
??x+2y-1≥0 答案 ?x-y+2≥0
??2x+y-5≤0
解析

如图直线 AB 的方程为 x+2y-1=0(可用两点式或点斜式写出). 直线 AC 的方程为 2x+y-5=0, 直线 BC 的方程为 x-y+2=0, 把(0,0)代入 2x+y-5=-5<0, ∴AC 左下方的区域为 2x+y-5<0.
??x+2y-1≥0 ∴同理可得△ABC 区域(含边界)为?x-y+2≥0 .
??2x+y-5≤0
8.已知 x,y 为非负整数,则满足 x+y≤2 的点(x,y)共有________个. 答案 6

解析

??x∈N 由题意点(x,y)的坐标应满足?y∈N
??x+y≤2

(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6 个.

,由图可知,整数点有(0,0),(1,0),

9.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x-y+a>0 表示的平面区域内,则 a 的取值 范围为________.
答案 -1<a≤0 解析 根据题意,分以下两种情况:

①原点(0,0)在该区域内,点(1,1)不在该区域内.

则?????aa>+01≤0 .无解. ②原点(0,0)不在该区域内,点(1,1)在该区域内,

则???a≤0 ??a+1>0

,∴-1<a≤0.

综上所述,-1<a≤0.

??x≤0, 10.若 A 为不等式组?y≥0,
??y-x≤2

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直

线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________.

答案

7 4

解析

如图所示,区域 A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当 a 从-2 连 续变化到 1 时扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域.
又 D(0,1),B(0,2),
E??-12,32??,C(-2,0).
S 四边形 ODEC=S△OBC-S△BDE=2-14=74. 三、解答题

??x≥3 11.利用平面区域求不等式组?y≥2
??6x+7y≤50

的整数解.

解 先画出平面区域,再用代入法逐个验证.

把 x=3 代入 6x+7y≤50,得 y≤372,又∵y≥2, ∴整点有:(3,2)(3,3)(3,4); 把 x=4 代入 6x+7y≤50, 得 y≤276, ∴整点有:(4,2)(4,3). 把 x=5 代入 6x+7y≤50,得 y≤270, ∴整点有:(5,2); 把 x=6 代入 6x+7y≤50,得 y≤2,整点有(6,2); 把 x=7 代入 6x+7y≤50,得 y≤87,与 y≥2 不符. ∴整数解共有 7 个为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2). 12.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 P、Q 两点,且 P、Q 关于直

??kx-y+1≥0 线 x+y=0 对称,则不等式组?kx-my≤0
??y≥0

表示的平面区域的面积是多少?

解 P、Q 关于直线 x+y=0 对称,故 PQ 与直线 x+y=0 垂直,直线 PQ 即是直线 y= kx+1,故 k=1;
又线段 PQ 为圆 x2+y2+kx+my-4=0 的一条弦,故该圆的圆心在线段 PQ 的垂直平分 线上,即为直线 x+y=0,又圆心为(-2k,-m2 ),
∴m=-k=-1,

??x-y+1≥0

∴不等式组为?x+y≤0



??y≥0

它表示的区域如图所示,直线 x-y+1=0 与 x+y=0 的交点为(-12,12),∴S△=12×1×12 =14.故面积为14.
能力提升

??x+y-11≥0, 13.设不等式组?3x-y+3≥0,
??5x-3y+9≤0

表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax 的图象上存在

区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( )

A.(1,3]

B.[2,3]

C.(1,2]

D.[3,+∞)

答案 A 解析 作出不等式组表示的平面区域 D,如图阴影部分所示.

由???x+y-11=0, ??3x-y+3=0,

得交点 A(2,9).

对 y=ax 的图象,当 0<a<1 时,没有点在区域 D 上.

当 a>1,y=ax 恰好经过 A 点时,由 a2=9,得 a=3.

要满足题意,

需满足 a2≤9,解得 1<a≤3.

x-y≥0,
?? 2x+y≤2, ? 14.若不等式组 y≥0,
??x+y≤a

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是

______________. 答案 0<a≤1 或 a≥43 解析

不等式表示的平面区域如图所示,
当 x+y=a 过 A??23,23??时表示的区域是△AOB,此时 a=43;
当 a>43时,表示区域是△AOB; 当 x+y=a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB,此时 a=1; 当 0<a<1 时可表示三角形; 当 a<0 时不表示任何区域,当 1<a<43时,区域是四边形.故当 0<a≤1 或 a≥43时表示的 平面区域为三角形.
1.二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域,该区域内每一个点的坐标 均满足不等式(组).常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分.
2.画平面区域时,注意边界线的虚实问题. 3.求平面区域内的整点个数时,要有一个明确的思路不可马虎大意,常先确定 x 的范 围,再逐一代入不等式组,求出 y 的范围最后确定整数解的个数.