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3.2.1用向量讨论平行


平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
思考1:立体几何问题研究的基本对象是什么? 点、直线、平面以及由它们组成的空间图形

复习回顾
1.线面垂直的判定定理: 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交 直线,则该直线与词平面垂直。

2.面面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线, 则这两个平面垂直。

3.线面平行的判定定理: 如果平面外一条直线平行于平面内的 一条直线,则这条直线平行于这个平面。

4.面面平行判定定理: 若一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,则这两个平面平行。

法向量
l

作直线l ? ? ,

取直线l的方向向量 a 则向量a叫做平面?的 法向量
记作:

a

?

A

a ??

思考:给定一点 A和一个向量a, 那么过点A且以 向量a为法向量的平面是唯一 确定的吗?
法向量的特点: 1.法向量一定是非零向量;
2.平面的法向量有无数多个 3.一个平面的所有法向量都互相平行;

空间直线、平面间的平行、 位置关系的向量表示。

线线平行 l

m

? a

? b

? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

线面平行

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

面面平行

? u ? v

?
?

? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等 位置关系的向量表示。 a l 平行 v m b

u

?

?
设直线l, m的方向向量分别是 a, b, 设平面?,?的法向量分别是 u, v,

1.l // m ? a // b ? a ? ? b, ? ? R 2.l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 3.? // ? ? u // v ? u ? ? v, ? ? R

典型例题
1.在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,M , N分别是C1C , B1C1的中点,求证:MN // 平面A1 BD

z

D1 A1

N
B1

C1

M
D

O
B

C

y

A

问题:如何求平面的法向量?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
? ?n ? a ? 0 组? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

(一)用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E

B
N D

C

且FM ? AN .求证:MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, BE ? AB, FM ? AN , FB ? AC , ?存在实数?, 使FM ? ? FB, AN ? ? AC.

? MN ? MF ? FA ? AN ? ? BF ? EB ? ? AC ? ? ( BE ? BA ? AB ? AD) ? EB ? ? ( BE ? AD) ? EB ? ? ( BE ? BC ) ? BE ? (? ? 1) BE ? ? BC.

E

F

M

B
N

C

? MN、 BE、 BC共面. M ? 平面EBC ,? MN // 平面EBC
A

D

评注: 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。

例2.在正方形ABCD - A 中, 1B 1C1 D 1 求证 : 平面A 1 BD // 平面CB 1D 1
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0), C (0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1 D ? (?1, 0,1), B1C ? (?1, 0,1)
X Z
D

证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D

C

B
D 1

C1
B1

A1

Y

? A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C, 则A1 D // 平面CB1D1.同理右证:A1B // 平面CB1D1.

? 平面A1 BD // 平面CB1 D1.

A

评注: 1 A B 1 由于三种平行关系可以相互转化, 所以本题可用逻辑推理来证明。 X 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化, 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系, 方能减少运算量。本题选用了坐标法。

D 1

Z
D

C

B
C1

Y

例3:在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1的边长为4,M , N , E , F分别是棱A1 D1 , A1 B1 , D1C1 , B1C1的中点。 求证:平面AMN // 平面EFBD

z

M
A1

D1

E
B1

C1

F

N

D

O
B

C

y

A

三、小结

利用向量解决平行与垂直问题
向量法:利用向量的概念技巧运算解决问 题 。 坐标法:利用数及其运算解决问题。

两种方法经常结合起来使用。


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