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江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编6 函数的应用问题 苏教版


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 6:函数的应用问题

一、解答题 1 . (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)某单位设计的两 种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层中空玻璃,厚度均为 4 mm,中间留有 厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识 ,对于厚度为 d 的均匀介质,两侧的温度差为 ?T ,单位时间内, 在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其中 k 为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一 d 层玻璃及空气隔层的热量相等 .( 注 : 玻璃的热传导系数为 4 ? 10?3 J ? mm/ ? C , 空气的热传导系数为
2.5 ? 10?4 J ? mm/ ?C .)

(1) 设 室 内 , 室 外 温 度 均 分 别 为 T1 , T2 , 内 层 玻 璃 外 侧 温 度 为 T1? , 外 层 玻 璃 内 侧 温 度 为 T2? , 且

T1 ? T1? ? T2? ? T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内 ,在单位面积上通过的热量(结果用
T1 , T2 及 x 表示);

(2)为使双层中空玻璃单位时间内 ,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应如何设计 x 的大 小? 墙 T1 8 室内 墙 图1
(第 17 题)

墙 T2 T1 4 室外 室内 墙 图2
T1? T2?

T2 4 室外

x

【答案】解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为 Q1 , Q2 , 则 Q1 ? 4 ? 10?3 ?
Q2 ? 4 ? 10?3 ?

T1 ? T2 T1 ? T2 , ? 8 2 000

T1 ? T1? T ? ? T2? T ? ? T2 ? 2.5 ? 10?4 ? 1 ? 4 ? 10?3 ? 2 4 x 4

?

T1 ? T1? T ? ? T2? T ? ? T2 ? 1 ? 2 4 x 4 ?3 ?4 4 ? 10 2.5 ? 10 4 ? 10?3

1

?

T1 ? T1? ? T1? ? T2? ? T2? ? T2 4 ? x ? 4 4 ? 10?3 2.5 ? 10?4 4 ? 10?3

?

T1 ? T2 4 000 x ? 2 000

(2)由(1)知 当

Q2 ? 1 , Q1 2 x ? 1

1 ? 4%时,解得 x ? 12 (mm). 2x ? 1

答:当 x ? 12 mm 时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的 4% 2 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)如图所示 ,有两条道路 OM 与

ON , ?MON ? 600 ,现要铺设三条下水管道 OA , OB , AB (其中 A , B 分别在 OM , ON 上),若下
水管道的总长度为 3km ,设 OA ? a(km) , OB ? b(km) . (1)求 b 关于 a 的函数表达式,并指出 a 的取值范围; (2) 已知点 P 处有一个污水总管的接口 , 点 P 到 OM 的距离 PH 为

3 km , 到点 O 的距离 PO 为 4

7 km ,问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P ?若能,求出 a 的值,若不能,请说明理由. 4
N B b P

O
【答案】

a

H A

M

2

3 . (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示), 用长为 a 的围栏设置一个运动器材储 存区域,已知 B 是墙角线 AM 上的一点,C 是墙角线 AN 上的一点. (1)若 BC=a=10,求储 存区域三角形 ABC 面积的最大值; (2)若 AB=AC=10,在折线 MBCN 内选一点 D,使 DB+DC=a=20,求储存区域 四边形 DBAC 面积的最大值.

3

M B D

A
(第 17 题图)

C

N

【答案】(1)因为三角形的面积为

1 倍 AB·AC,所以当 AB=AC 时其值才最大,可求得为 25 2

(2)求四边形 DBAC 面积可分为 ABC 跟 BCD 两个三角形来计算,而 ABC 为定值可先不考虑,进而只考虑三 角形 BCD 的面积变化,以 BC 为底边,故当 D 点 BC 的距离最长时面积取得最 大值.因为 DB+DC=a=20 总成 立,所 以点 D 的轨迹是一个椭圆,B.C 是其两交点,结合椭圆的知识可以知道只有当 D 点在 BC 的中垂线 上时点 D 到 BC 的距离才能取得最大值 ,再结合题意四边形 DBAC 刚好是一个边长为 10 的正方形,其面 积为 100 4 . (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)某人 2002 年底花 100 万元买了一套住房,其中首付 30 万元, 70 万元采用商业贷款.贷款的月利率为 5 ?,按复利计算,每月等额还贷一次, 10 年还清,并从贷 款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价 ,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的 20% 缴税. 如果这个人现在将住房
150 万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据: (1 + 0.005)120 ? 1.8 )

【答案】⑴设每月应还贷 x 元,共付款 12 ? 10 ? 120 次,则有

x[1 + (1 + 0.005) + (1 + 0.005)2 + ? + (1 + 0.005)119 ] ? 700000(1 + 0.005)120 ,
所以 x ?

700000 ? 0.005 ? (1 + 0.005)120 ? 7875 (元) (1 + 0.005)120 ? 1

答:每月应还贷 7875 元 ⑵卖房人共付给银行 7875 ? 120 ? 945000 元, 利息 945000 ? 700000 ? 245000 (元), 缴纳差额税 (1500000 ? 1000000) ? 0.2 ? 100000 (元), 500000 ? (245000 + 100000) ? 155000 (元). 答:卖房人将获利约 155000 元 5 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成 的总面积为 19.5(米 ),其中 ABCD 是一个矩形,EFCD 是一个等腰梯形,梯形高 h= 设 AB=x 米,BC=y 米. (Ⅰ)求 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ)如何设计 x,y 的长度,才能使所用材料最少?
2

1 3 AB, tan ∠FED= , 2 4

4

【答案】

6 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知一块半径为 r 的残缺的半圆形材料

1 r ,残缺部分位于过点 C 的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个 2 直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以 BC 为斜边;如图乙,直角顶点 E 在线段 OC 上,且另一个顶点
ABC ,O 为半圆的圆心, OC ?

AB 上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三 D在 ?
角形面积的最大值. D D A A

B

O

C

B

O

EC

(第 17 题甲图)

(第 17 题乙图)

【答案】如图甲,设 ?DBC ? ? , 则 BD ?

3r 3r cos? , DC ? sin ? , 2 2
5

所以 S△BDC ?

9 2 r sin 2? 16

9 ≤ r2 , 16
当且仅当 ? ?

π 时取等号, 4 3 4

此时点 D 到 BC 的距离为 r ,可以保证点 D 在半圆形材料 ABC 内部,因此按照图甲方案得到直角三 角形的最大面积为

9 2 r 16
D A A

D

B

O

C

B

O

EC

(第 17 题甲图)

(第 17 题乙图)

如图乙,设 ?EOD ? ? ,则 OE ? r cos ? , DE ? r sin ? ,

π π 3 2 1 1 设 f (? ) ? r 2 (1 ? cos? )sin ? ,则 f ?(? ) ? r 2 (1 ? cos? )(2cos? ? 1) , 2 2 π π π 当 ? ?[ , ] 时, f ?(? ) ≤ 0 ,所以 ? ? 时,即点 E 与点 C 重合时, 3 2 3 3 3 2 △ BDE 的面积最大值为 r 8 3 3 2 9 2 r ? r , 因为 8 16 3 3 2 r 所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为 8
所以 S△BDE ? r 2 (1 ? cos? )sin? , ? ?[ , ]

1 2

7 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小 岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A、B 两个报名点,满足 A、B、C 中任意两点间的距离为 10 千 米.公司拟按以下思路运作:先将 A、B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A、B 两点),然后乘同一艘游轮前往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千 米耗费 2 元,游轮每千米耗费 12 元.设∠ CDA ? ? ,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元. ⑴写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; ⑵问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

【答案】解: (1)由题在 ?ACD 中, ?CAD ?

?
3

, ?ADC ?

?
3

, AC ? 10, ?ACD ?

2? ?? . 3
6

? 2? ? 10sin ? ?? ? 5 3 CD AD 10 ? 3 ? , AD ? ? ? 由正弦定理知 ,得 CD ? ? sin ? sin ? 2? ? sin ? sin sin ? ?? ? 3 ? 3 ? ? 2? ? 60 3 ? 40sin ? ?? ? ? 3 ? ? 80 ? S ? 4 AD ? 8BD ? 12CD ? 12CD ? 4 AD ? 80 ? sin ?

? 20 3
'

3 ? cos ? 2? ? ?? ? 60 ? ? x ? ? sin ? 3 ? ?3

1 ? 3cos ? 1 ' ,令 S ? 0 ,得 cos ? ? 2 sin ? 3 1 1 1 ' ' 当 cos ? ? 时, S ? 0 ;当 cos ? ? 时, S ? 0 ,? 当 cos ? ? 时 S 取得最小值 3 3 3
(2) S ? 20 3 此时 sin ? ?

2 2 5 3 cos ? ? 5sin ? 5 6 , , AD ? ? 5? 3 sin ? 4 20 ? 5 6 千米时,运输成本 S 最小 4

? 中转站距 A 处

8 . (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)如图,一个半圆和长方形组成的铁 皮,长方形的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆的圆心, AB ? 1, BC ? 2 ,现要将此铁皮剪出一个等腰三角 形 PMN ,其底边 MN ? BC . (1)设备 ?MOD ? 30? ,求三角形铁皮 PMN 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形 PMN 面积的最大值.

【答案】(1)设 MN 交 AD 交于 Q 点 ∵∠MQD=30°,∴MQ=

1 3 ,OQ= (算出一个得 2 分) 2 2

S△PMN=

1 1 3 3 6?3 3 MN·AQ= × ×(1+ )= 2 2 2 2 8

(2)设∠MOQ=θ ,∴θ ∈[0,

? ],MQ=sinθ ,OQ=cosθ 2
7

∴S△PMN= =

1 1 MN·AQ= (1+sinθ )(1+cosθ ) 2 2

1 (1+sinθ cosθ +sinθ +cosθ ) 2

1 t2 ?1 令 sinθ +cosθ =t∈[1, 2 ],∴S△PMN= (t+1+ ) 2 2
θ =

? 3? 2 2 ,当 t= 2 ,∴S△PMN 的最大值为 4 4

9 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板, 其周长为 4 米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿 AC 折 叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形 ACB?PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

B?
D P C

A
(第 17 题)

B

【答案】解:(1)由题意, AB ? x , BC ? 2 ? x .因 x ? 2 ? x ,故 1 ? x ? 2 设 DP ? y ,则 PC ? x ? y . 因△ ADP ≌△ CB?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 由
PA2 ? AD 2 ? DP 2 ,得

( x ? y ) 2 ? (2 ? x) 2 ? y 2 ? y ? 2(1 ? 1 ) , 1 ? x ? 2 x

(2)记△ ADP 的面积为 S1 ,则
S1 ? (1 ? 1 )(2 ? x) x ? 3 ? (x ? 2) ? 2 ? 2 2 , x

当且仅当 x ? 2 ∈(1,2)时,S1 取得最大值 故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,节能效果最好 (3)记△ ADP 的面积为 S2 ,则
S2 ? 1 x(2 ? x) ? (1 ? 1 )(2 ? x) ? 3 ? 1 ( x 2 ? 4 ) , 1 ? x ? 2 2 x 2 x

8

3 于是, S2? ? ? 1 (2 x ? 42 ) ? ? x 2? 2 ? 0 ? x ? 3 2 2 x x

关于 x 的函数 S2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减. 所以当 x ? 3 2 时, S2 取得最大值 故当薄板长为 3 2 米,宽为 2 ? 3 2 米时,制冷效果最好 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力 .试题以常见的图形为载体,再现对基本 不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生 克服解决应用题时的畏惧心理,在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心. 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值情况. 10. (2012 年江苏理)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 20

【答案】解:(1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 . 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 . ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号. 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米. (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根. 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 .
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根).

9

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标. 11. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB,其中 O 为扇形所在圆的圆心, ?AOB ? 60? ,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在 ? AB 上选一点 C,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD,与 OA 平行的小路 CE,问 C 应选在何处,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总 长最大,并说明理由.

【答案】

10

12. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)某部门要设计一种如图所示的灯架, 用来安装球心为 O ,半径为 R (米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形

? , EB ? , EC ? 所在圆的圆心都是 O 、半径都是 R (米)、圆弧的圆心角都是 ? (弧度);灯杆 ? , ED 灯托 EA
EF 垂直于地面 , 杆顶 E 到地面的距离为 h ( 米 ), 且 h ? R ; 灯脚 FA1 , FB1 , FC1 , FD1 是正四棱锥

F ? A1 B1C1 D1 的四条侧棱,正方形 A1 B1C1 D1 的外接圆半径为 R (米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角
都为 ? (弧度).已知灯杆、灯脚的造价都是每米 a (元),灯托造价是每米 数.设该灯架的总造价为 y (元) . (1)求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)当 ? 取何值时, y 取得最小值?

a (元),其中 R , h , a 都为常 3

11

O
D

A B
E

C

F

D1

C1 B1

A1
【答案】

13. (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题)随着机构改革开作的深入进行,各单位要
12

减员增效,有一家公司现有职员 2 a 人(140< 2 a <420,且 a 为偶数 ) ,每人每年可创利 b 万元. 据评估, 在经营条件不变的前提下,每裁员 多创利 0.01 b 万元,但公司需付下岗职员 ...1 人,则留岗职员每人每年 .... 每人每年 0.4 b 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 济效益,该公司应裁员多少人? 【答案】解答:设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则

3 ,为获得最大的经 4

y ? (2a ? x)( b ? 0.01bx ) ? 0.4bx ? ?
依题意

b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] ? 2ab 100

2a ? x ?

3 a ? 2a ? 0 ? x ? . 又140 ? 2a ? 420, 70 ? a ? 210. 4 2

a , 即70 ? a ? 140时, x ? a ? 70, y 取到最大值; 2 a a (2)当 a ? 70 ? , 即140 ? a ? 210时, x ? , y 取到最大值; 2 2
(1)当 0 ? a ? 70 ? 答:当 70<a<140,公司应裁员为 a - 70,经济效益取到最大值 当 140 < a < 210,公司应裁员为

a ,经济效益取到最大值 2

14. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)如图,两座建筑物 AB, CD 的 底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在 线 段 BC 上 取 一 点 P ( 点 P 与 点 B , C 不 重 合 ), 从 点 P 看 这 两 座 建 筑 物 的 视 角 分 别 为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A

?
B P

?
第 17 题图

C

【答案】⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) ? 9 6 1? ? x x
答: BC 的长度为 18m
13

⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) t 18 ?t ? tan(? + ? ) ? ? 2 2 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t ? , , 令 f ?(t ) ? 0 , 因为 0 ? t ? 18 , 得 t ? 15 6 ? 27 , 当 f ( t ) ? (t 2 ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135
时 , f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函

t ? (0,15 6 ? 27) 时 , f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数 ;当 t ? (15 6 ? 27,18)
数, 所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,

因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值 15. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办,展 览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形 ABCD, BC ? a , CD ? b .a,b 为常数且满足 b ? a .组 委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建游客休息区(点 E,F 分别在线段 AB,AD 上), 且该直角三角形 AEF 的周长为( l ? 2b ),如图.设 AE ? x ,△ AEF 的面积为 S . (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值. A F D

? 2

? 2

E

b

B

a

C

【答案】解:(1)设 AF ? y ,则 x ? y ?
S? 1 x(l 2 ? 2lx) , x ? (0, b ? xy ? 2 4(l ? x)

x 2 ? y 2 ? l ,整理,得 y ?

l 2 ? 2lx 2(l ? x)

(2) S ' ?

? l 2 x 2 ? 4lx ? l 2 2l 2? 2 ? ? 2? 2 ? ? ? x ? l ? x ? l? ? ? 2 2 ? ? ? ? , x ? (0, b ? 4 2 2 4? x ? l ? ? ?x ? l? ? ? ? ?

14

?当 b ?

bl ? 2b ? l ? 2? 2 ; l 时, S ' ? 0 , S 在 (0, b ? 递增,故当 x ? b 时, Smax ? 4 ?b ? l ? 2

当b?

? 2? 2 ? ?2? 2 ? 2? 2 ' ' 0, l x ? 上 , , 递增 , 在 S ? 0 l 时,在 x ?? S ? ? ? ? ? 2 l, b ? ? 上 , S ? 0 , S 递减 , 故当 2 2 ? ? ? ?

2? 2 3?2 2 2 l 时, Smax ? l . 2 4 16. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直, x?

灯杆 BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直 ,且 ?ABC ? 120? ,路灯 C 采用锥形灯罩,射出的光线如图 中 阴 影 部 分 所 示 , 已 知 ?ACD ? 60? , 路 宽

AD ? 24 米 , 设 灯 柱 高

AB ? h (米), ?ACB ? ? ( 30? ? ? ? 45? )
(1)求灯柱的高 h (用 ? 表示); (2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S ,求 S 关于 ? 的函数表达式,并求出 S 的最小值.

C B

A
【答案】

D

15

【编号】125

【难度】较难

17. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)将一张长 8cm,宽 6cm 的长方形的纸片沿着一 条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为 S1cm ,S2cm ,其中 S1≤S2.记折痕长为 lcm. (1)若 l=4,求 S1 的最大值; (2)若 S1∶S2=1∶2,求 l 的取值范围. 【答案】解 如图所示,不妨设纸片为长方形 ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点 A 在面积为 S1 的部分内. 折痕有下列三种情形: ①折痕的端点 M,N 分别在边 AB,AD 上; ②折痕的端点 M,N 分别在边 AB,CD 上; ③折痕的端点 M,N 分别在边 AD,BC 上.
D N C D N C D M N A M (情形①) B A M (情形②) B A (情形③) B C
2 2

(1)在情形②? ③中 MN≥6,故当 l=4 时,折痕必定是情形①. 设 AM=xcm,AN=ycm,则 x +y =16 因为 x +y ≥2xy,当且仅当 x=y 时取等号, 1 所以 S1= xy≤4,当且仅当 x=y=2 2时取等号. 2
16
2 2 2 2

即 S1 的最大值为 4 (2)由题意知,长方形的面积为 S=6×8=48. 因为 S1∶S2=1∶2,S1≤S2,所以 S1=16,S2=32. 1 32 当折痕是情形①时,设 AM=xcm,AN=ycm,则 xy=16,即 y= . 2 x

? ?0≤x≤8, 16 由? 32 得 ≤x≤8. ?0≤ ≤6, 3 ?
x
所以 l= x +y = 设 f(x)=x +
2 2 2

x2+

32 16 , ≤x≤8 x2 3
2 2

2

32

2

x

2

2×32 2(x +32)(x+4 2)(x-4 2) ,x>0,则 f ?(x)=2x- 3 = ,x>0.故 3

x

x

x f ?(x) f(x)

16 3

16 ( ,4 2) 3 -

4 2 0 64

(4 2,8) + ↗

8

4 64 9



80

所以 f(x)的取值范围为[64,80],从而 l 的范围是[8,4 5]; 1 16 当折痕是情形②时,设 AM=xcm,DN=ycm,则 (x+y)×6=16,即 y= -x. 2 3

? ?0≤x≤8, 16 由? 16 得 0≤x≤ . 3 0 ≤ - x ≤ 8 , ? 3 ?
所以 l= 6 +(x-y) =
2 2

8 2 16 2 6 +4(x- ) ,0≤x≤ . 3 3

2 145 所以 l 的范围为[6, ]; 3 1 当折痕是情形③时,设 BN=xcm,AM=ycm,则 (x+y)×8=16,即 y=4-x. 2
?0≤x≤6, 由? 得 0≤x≤4. ?0≤4-x≤6,

所以 l= 8 +(x-y) = 8 +4(x-2) ,0≤x≤4. 所以 l 的取值范围为[8,4 5]. 综上,l 的取值范围为[6,4 5] 18. (2013 届江苏省高考压轴卷数学试题)如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE ? 4 米,CD ? 6 米.为了合理利用这块钢板,将在五边形 ABCDE 内 截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. (Ⅰ)设 MP ? x 米,PN ? y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析 式及定义域; (Ⅱ)求矩形 BNPM 面积的最大值.

2

2

2

2

17

A
M

E P

F D

B
【答案】

N

C

19. (南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的 工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正 常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 . 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电 费 C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平方米)之间的函数关系是

C ( x) ?

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数). 记 F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消

耗的电费之和. (1)试解释 C (0) 的实际意义, 并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元? 【答案】解: (1) C (0) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费

C (0) ?


k ? 24 100 ,得 k ? 2400

18

F ? 15 ?
所以

2400 1800 ? 0.5 x ? ? 0.5 x, x ? 0 20 x ? 100 x?5

F?
(2)因为

1800 ? 0.5( x ? 5) ? 0.25 ? 2 1800 ? 0.5 ? 0.25 ? 59.75 x?5

1800 ? 0.5( x ? 5) 当且仅当 x ? 5 ,即 x ? 55 时取等号
所以当 x 为 55 平方米时, F 取得最小值为 59.75 万元 (说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分) 20. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)为稳定房价,某地政府决定建 造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地,在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区,每 幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第 x 层楼房

每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) .经测算,若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的平 均综合费用为 1 270 元. 购地费用+所有建筑费用 (每平方米平均综合费用= ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方米的平 均综合费用为多少元? 【答案】 【解】(1)如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10×1 000×5 平方米,所有建筑费用为 [(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以, 1270= 16 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 ,解之 10×1 000×5

得:k=50 (2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知

f (n) =
=

16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)]×1 000×10 10×1 000×n

1 600 +25n+825≥2 1 600×25+825=1225(元)

n

1 600 当且仅当 =25n,即 n=8 时等号成立

n

答:该小区每幢建 8 层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为 1 225 元 21.(连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)某单位决定对本单位职工实行年医疗 费用报销制度,拟制定年医疗总费用在 2 万元至 10 万元(包括 2 万元和 10 万元)的报销方案,该方案要 求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加;②报销的医 疗费用不得低于医疗总费用的 50%;③报销的医疗费用不得超过 8 万元. (1)请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x +4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x?2lnx+a(a 为常数)作为报销方案,请你确定整数 a 的值.(参考数 据:ln2?0.69,ln10?2.3)
19
2

【答案】 【解】(1)函数 y=0.05(x +4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, 当 x=10 时,y 有最大值 7.4 万元,小于 8 万元,满足条件③ 29 3 x 但当 x=3 时,y= < ,即 y? 不恒成立,不满足条件②, 20 2 2 故该函数模型不符合该单位报销方案 2 x-2 (2)对于函数模型 y=x?2lnx+a,设 f(x)= x?2lnx+a,则 f ?(x)=1? = ?0.

2

x

x

所以 f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①, 由条件②,得 x?2lnx+a? ,即 a?2lnx? 在 x?[2,10]上恒成立, 2 2

x

x

x 2 1 4-x 令 g(x)=2lnx? ,则 g?(x)= - = ,由 g?(x)>0 得 x<4, 2 x 2 2x
?g(x)在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数. ?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2 由条件③,得 f(10)=10?2ln10+a?8,解得 a?2ln10?2 另一方面,由 x?2lnx+a?x,得 a?2lnx 在 x?[2,10]上恒成立, ?a?2ln2, 综上所述,a 的取值范围为[4ln2?2,2ln2], 所以满足条件的整数 a 的值为 1

20


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