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山西省太原市2012年高三年级第三次模拟数学试题(理科)


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山西省太原市 2012 年高三年级第三次模拟

数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.回答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 3.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 4.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效。 5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一、选择题;本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符 合题目要求的.
x 1.已知集合 A = {x | lg x ≤ 1}, B = {x | 2 ≤ 4}, 则A I B =

A. (?∞, 2]

B. (0, 2]

C. ( ?∞,1]

D. [2,10)

2.已知复数 z1 = m + 2i, z2 = 2 + i, 若z1 ? z2 为纯虚数,则实数 m 的值为 A.1 3.函数 y = 2 sin (
2

B.—1

C.4

D.—4

π
4

? x) ? 1 是
B.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为

π
2

的奇函数

π
2

的偶函数

4.过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2+ y2—4y =0 所截得的弦长为 A. 3 B.2 C. 6 D. 2 3

5.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S 2 n = 4( a1 + a3 + L + a2 n ?1 ), a1 a2 a3 = 8 ,则 a5 = A.16 B.18 6.下列说法中错误的个数是 .. C.54 D.162

①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②命题“ ?x ∈ R , x 2 ? x ≤ 0 ”的否定是“ ?x ∈ R , x 2 ? x ≥ 0 ” ; ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题; ④“ x ≠3”是“| x |≠3”成立的充分条件. A.1 B.2 C.3

D.4

2 2 2 7.若将圆 x + y = π 内的正弦曲线 y=sirix 与 x 轴围成的区域记为 M,则区域 M 的面积

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是 A.2 B.4 C.2π 8.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直径为 2, 则该几何体的体积为 A. 24 ? B. 24 ?

D.4π

π

3 π 2 3

C. 24 ? π D. 24 ?

π
2

9.已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值是 A.

1 3

B.2 C.—3 D. ?

1 2

10.今有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担, 现从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选派方法有 A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种

D.5054 种

11.已知经过点(-2,0)的直线 l 与抛物线 y 2 = 8 x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线的焦点, 若|FA|=2|FB|,则直线 l 的斜率的绝对值等于 A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

12 . 已 知 函 数

f ( x + 1)是偶函数, 且x > 1时, f ′( x) < 0恒成立, 又f (4) = 0 , 则

( x + 3) f ( x + 4) < 0 的解集为
A. (?∞, ?2) U (4, +∞ ) C. (?∞, ?6) U (4, +∞ ) B. ( ?6, ?3) U (0, 4) D. ( ?6, ?3) U (0, +∞)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 ( x ?
2

1 6 5 ) 的二项展开式中 x3 项的系数为 ,则实数 a= ax 2
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14.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a = 2,sin B + sin C = 且△ABC 的面积为

3 sin A ,

4 sinA,则角 A= 3



15.如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆内接正方形,将一颗豆子 随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ,B 表示确事件“豆子落在扇形 HOE(阴影部分)内” ,则 P(B |A) = 。 16.在三棱锥 A- BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积 为 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列{ an }中, a1 = 2, a1 + a2 + a3 = 12. (I)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)若 bn = an ? 3 ,求数列{ an }的前 n 项和 Sn.
n

18. (本小题满分 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学的成绩(百分制且均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题. (I)求分数在[70,80)内的频率,补全这个频率分布直方图,并从频率分布直方图中, 估计本次考试的平均分; (Ⅱ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100] 记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 x 的分布列和数学期望.

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19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 B1B⊥平面 ABC,底面△ABC 为等腰直角三 角形, ∠B = 90°,D 为棱 BB1 上一点,且平面 DA1C ⊥平面 AA1C1C. (I)求证:D 点为棱 BB1 的中点; (Ⅱ)若二面角 A-A1D-C 的平面角为 60°,求

AA1 的值 AB

20. (本小题满分 12 分) 已 知 两 定 点 F1 ( ? 2, 0), F2 ( 2, 0) , 点 P 的 轨 迹 是 曲 线 E , 且 满 足 条 件

uuuu r uuur | PF2 | ? | PF1 |= 2 ,直线 y= kx -1 与曲线 E 交于 A、B 两点.
(I)求实数是的取值范围; (Ⅱ)如果 | AB |= 6 3 ,且曲线 E 上存在点 C,使得 OA + OB = mOC ,求点 C 的坐 标。

uuu r

uuu r

uuur

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ?

?ax ? ln(? x), x ∈ [?e, 0) (a < 0, a ∈ R ). ?ax + ln x, x ∈ (0, e]

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(I)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求实数 a 的值; (Ⅱ)设 ? ( x) =

ln | x | 1 , x ∈ [?e, 0) U (0, e], 求证 : 当a = ?1时,| f ( x) |> ? ( x) + . |x| 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,图 O 的两条弦 AB//CD,BF//AC,BF 交 CD 于 E,交圆 O 于 F,过 A 点的 切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2。 (1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4,极坐标与参数方程 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 α = (I)写出直线 l 的参数方程; (II)设直线 l 与圆 x 2 + y 2 = 4 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

π
6

.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) =| x ? a | . (I)若不等式 f ( x) ≤ m的解集为{x | ?1 ≤ x ≤ 5}, 求实数a, m 的值; (II)当 a = 2时, 解关于x的不等式f ( x) + t ≥ f ( x + 2t )(t ≥ 0).

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