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广东省“四校”2016届高三数学上学期第二次联考试题 理


“四校”2015—2016 学年度高三第二次联考 理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它题为必 考题。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh (其中 S 为底面面积, h 为高) 锥体体积公式: V ?

1 Sh 3

(其中 S 为底面面积, h 为高)
2

球的表面积、体积公式: S ? 4?R , V ?

4 3 ?R (其中 R 为球的半径) 3

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 z ?

?1 ? 2i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 i
B. 第二象限
2

( D. 第四象限 ( D. {x|1<x<2}



A. 第一象限 2.已知集合 M={x|y=lg A. {x|0<x<1}

C. 第三象限

},N={y|y=x +2x+3},则(?RM)∩N= B. {x|x>1} C. {x|x≥2}



3、采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随机编号为 1,2 ...960,分组后在第一 组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号 落人区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 ( ) A. 15 B. 10 C. 9 D. 7 4.设{ an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,且 a1a2 a 3 ? 80 ,则 a11 ? a 12 ?a 13 等于( A.120
2



B. 105

C. 90

D.75 ( )

5.由 y ? 2 x 和 y ? 3 ? x 所围成图形面积是 A. B. C. D.

6.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x +

2

的离心率为





A.

B.

C.



D.



1

5? ?1? 7.定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如图所示,则 (2 tan ) ? ln e ? lg100? ? ? 的值为 ( 4 ? 3?
A.15 B.13C.8 D.4

?1



第 7 题图 8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.54 B.27

第 8 题图 ( C.18 D.9 )

AM MP → → 9. .如图,已知△ABC 中,点 M 在线段 AC 上,点 P 在线段 BM 上且满足 = =2,若|AB|=2,|AC|=3, MC PB → → ∠BAC=120°, 则AP·BC的值为 A.-2 B.2 2 C. 3 11 D.- 3 ( )

第 9 题图 第 10 题图 10.如图,在平行四边 ABCD 中, 的外接球的表面积为 A. 4?
2

=90.,2AB +BD =4,若将其沿 BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥 A—BCD ( B. 8? C. 12? D. 16? )

2

2

11. 抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 A. B. 1 的最大值为 C. D. 2 ( )

12.已知定义在 ? 0, ?? ? 上的单调函数 f ? x ? ,对 ?x ? ? 0, ?? ? ,都有 f ? ? f ? x ? ? log 3 x ? ? ? 4 ,则函数

g ? x ? ? f ? x ?1? ? f ' ? x ?1? ? 3 的零点所在区间 是





2

A . ? 4,5?

B . ? 3, 4 ?
第Ⅱ卷

C.

? 2,3?

D . ?1, 2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. ( x ?
3

1 x x

) 9 的展开式中的常数项为________.
a a1 a 2 ? ? . ? n ? _____. 2 3 n ?1

14.若数列 ?an ? 是正项数列, a1 ? a2 ? ... ? an ? n 2 ? 3n(n ? N ? ) , 则

9 15. 若 m∈(0,3), 则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积小于 的概率为_______. 8 16.在 ?ABC中,内角A、B、C对边分别为a、b、c,若其面 S= a ? (b ? c) , 则Sin
2 2

A ? _______. 2

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小;(2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.

1 c?b. 2

18、(本小题满分 12 分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全 知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将所有参 赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表. 分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计 频数(人数) 频率

9

x
0.38 0.32

y
16

z
p

s

1

(1)求出上表中的 x, y, z , s, p 的值; (2)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知 高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率; ②记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O , E 为线段 PC 上一点,且 AC ? BE , (1)求证: PA // 平面 BED ;
3

(2)若 BC // AD , BC ?

2 , AD ? 2 2 , PA ? 3 且 AB ? CD

求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值。

20. (本小题 12 分)已知抛物线 C : x ?
2

1 y ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 M 、 N 两点, Q 是线段 MN 的 2

中点,过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T 。 (1)证明:抛物线 C 在点 T 处的 切线与 MN 平行; (2)是否存在实数 k 使 TM ? TN ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 21.(本小题 12 分)设函数 f ? x ? ? 1 ? e? x . (1)证明:当 x ? ?1 时, f ? x ? ? (2)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?
?? ??

y 2
N O T Q

M

x

x ; x ?1

x ,求实数 a 的取值范围. ax ? 1

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22、(本小题满分 1 0 分)选修 4 — 1 :几何证明选讲. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,AE⊥CD 于点 E,DA 平分∠BDE. (1)证明:AE 是⊙O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆 M 的极坐标方程为 ? ? 坐标系。 (1)求圆 M 的标准方程; (2)过圆心 M 且倾斜角为

2 sin(? ?

?
4

) ,现以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角

? x2 ? y 2 ? 1 交于 A,B 两点,求 | MA | ? | MB | 的值。 的直线 l 与椭圆 4 2

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式:f(x)+f(x﹣1)≤2; (2)当 a>0 时,不等式 2a﹣3≥f(ax)﹣af(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. “四校”2015—2016 学年度高三第二次联考 理科数学评分标准 一. 选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分)
4

题号 答案

1 A

2 C

3 D

4 B

5 C

6 D

7 B

8 C

9 A

10 A

11 A

12 C

二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 14. 2n ? 6n .
2

13.

84

.

15.

2 . 3

16.

17 17

.

三、解答题(解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 解(1)由 a cos C ?

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

????2 分

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? ? cos A sin C ,? sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2 ?0 ? A ? ? 2? ?A? 3
(2)由正弦定理得: b ?

????4 分

????6 分

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

????8 分

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3
????10 分

? 1?
?A?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) 2 3 3 2 3

2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) , 3 3 3 3 3

? 3 ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2
故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

2 3 ? 1] . 3

????12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知, x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50 (2)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人, ????3 分 ????4 分
5

①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A , 则 P( A) ?
1 1 C5 +C1 7 4C4 ? 2 A6 10

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 ②随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2

7 . 10

????-6 分 ????7 分

3 2 1 1 2 C4 C4 C2 3 C4 C 1 1 , , P( X ? 0) ? 3 ? P( X ? 1) ? ? P( X ? 2) ? 3 2 ? , 3 C6 5 C6 5 C6 5

????10 分

随机变量 X 的分布列为:

X
P

0 1 5

1 3 5

2 1 5
????11 分

1 3 1 ? 1? ? 2 ? =1 , 5 5 5 所以随机变量 X 的数学期望为 1 .
因为 EX ? 0 ?

????12 分

19. (本小题满分 12 分) (1)? AC ? BD, AC ? BE, BD ? BE ? B ,

? AC ? 平面BDE ,连接 OE ,
所以 AC ? OE ,又 PA ? 平面ABCD ,

????1 分

? AC ? PA ,又 OE, PA 都是平面 PAC 中的直线,

? OE∥ PA ,
且 OE ? 平面BDE , PA ? 平面BDE ,

????3 分

? PA ∥ 平面BDE
(2)? BC // AD , BC ?

????4 分

2 , AD ? 2 2 且 AB ? CD
????5 分

? 在等腰梯形中 OB ? OC ? 1, OA ? OD ? 2

由(1)知 OE ? 平面ABCD ,分别以 OB, OC , OE 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 B(1,0,0), C (0,1,0), D(?2,0,0), P(0, ?2,3) ????6 分

6

? ??? ? ? ? n ? CD ?0 ??2 x ? y ? 0 ? 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则 ? ? ??? ,所以 ? ? ?3 y ? 3z ? 0 ? ?n ? PC ? 0 ? 取 x ? 1 ,则 y ? z ? ?2 , n ? (1, ?2, ?2) ,
又 PB ? (1, 2, ?3) ,

????9 分

??? ?

??? ? ? ??? ? ? PB ? n 14 cos PB, n ? ??? ? ? ? 14 PB n
所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 20、 (本小题满分 12 分) 解: (1)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x0 , y0 ) ,

????11 分

14 14

????12 分

????1 分

? y ? 2 x2 2 联立 ? 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ? y ? kx ? 2
k , x1 ? x2 ? ?1 , 2 x ?x k ? x0 ? 1 2 ? , 2 4
所以 x1 ? x2 ?

????2 分

????3 分 ????4 分

? y ? 2 x2 ,
所以 y '
x ? x0

?k
????6 分

所以抛物线 y ? 2 x2 在 T 点处的切线与 MN 平行。

k k2 (2)由(1)可得 T ( , ) ,则 4 8 ???? ??? ? k k k2 k2 TM ? TN ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? ( y1 ? )( y2 ? ) 4 4 8 8 7 k3 k2 k2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? ( k ? )( x1 ? x2 ) ? ? (2 ? ) 2 4 8 16 8
3 2 (k ? 4)(k 2 ? 16) ? 0 64 ???? ??? ? 解得 k ? ?2 ,所以存在 k ? ?2 满足 TM ? TN ? 0 ??

????7 分

????9 分

????11 分 ????12 分

21、 (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0 ,
7

f ? x? ?

x x x 1 ,即 1 ? e? x ? ?1? ? e? x ? ? e? x ? e x ? 1 ? x . x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
????2 分

令 g ? x ? ? ex ? ?1 ? x ? , x ? ? ?1 ,? ? ? .

g? ? x ? ? ex ?1,
令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 .

令g ' ? x ? ? 0得x ? 0; 令g' ? x ? ? 0得 ?1 ? x ? 0.
所以当 x ? ?1 时, gmin ? g ? 0? ? e0 ? ?1 ? 0? ? 0 , 故当 x ? ?1 时, g ? x ? ? 0 ,即 e x ? 1 ? x ,即 f ? x ? ? (2)解:由 x ? 0 时, 0 ? 1 ? e? x ? 设 h? x? ?

x ,且当且仅当 x ? 0 时等号成立.????4 分 x ?1
????5 分

x 恒成立,故 a ? 0 . ax ? 1

x ? ? ? ,则 +e? x ? 1, x ??0 , ax ? 1
2

h? ? x ? ?

ax ? 1 ? ax

? ax ? 1?

? e? x ?
2

1

? ax ? 1?

2

? e? x ?

?e x ? ? ax ? 1?2 ? . ? ? ax ? 1? ?
2

e? x

????6 分 ????7 分 ????8 分

设 k ? x ? ? ex ? ? ax ? 1? , x ??0 , ? ?? , 则 k ? ? x ? ? ex ? 2a ? ax ? 1? ? e x ? 2a2 x ? 2a . k ? ? 0 ? ? 1 ? 2a 当 1 ? 2 a ? 0 ,即 0 ? a ?

1 时, 2 1 ,故 k ?? ? x ? ? 0 . 2

k ?? ? x ? ? e x ? 2a2 , x ? 0 时, e x ? 1 , 2a2 ?
所以 k ? ? x ? 单调递增, k ? ? x ? ? k ? ? 0? ? 0 ,

故 k ? x ? 单调递增, k ? x ? ? k ? 0? ? 0 恒成立,符合题意. 当 1 ? 2 a ? 0 ,即 a ?

????10 分

1 时, 2

存在 ? ? 0 , x ? ? 0, ? ? 时, k ? ? x ? ? 0 , k ? x ? 单调递减,

k ? x ? ? k ? 0? ? 0 ,与 k ? x ? ? 0 恒成立矛盾.
? 1? 综合上述得实数 a 的取值范围是 ? 0, ? . ? 2?

????11 分 ????12 分

22、 (本小题满分 10 分) (1)证明:连结 OA,在△ADE 中,AE⊥CD 于 点 E, ∴∠DAE+∠ADE=90°
8

∵DA 平分∠BDC. ∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD ∴∠BDA=∠OAD ∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90° 即:AE 是⊙O 的切线 (2)在△ADE 和△BDA 中, ∵BD 是⊙O 的直径 ∴∠BAD=90° 由(1)得:∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED

????5 分

∵AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60° 进一步求得:CD=2 23、 (本小题满分 10 分) 解: (1)由 ? ?
2

????10 分

2 ? sin(? ? ) ? ? sin ? ? ? cos ? , 4 2 2 得x ? y ? y?x, 1 2 1 2 1 即 (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2 1 1 (2)点 M ( , ) , 2 2 ? 1 2 t ?x ? ? 2 2 (t为参数) 直线 l 的参数方程为: ? ? ?y ? 1 ? 2 t ? ? 2 2
代入椭圆方程整理得:

?

????3 分

????6 分

t 2 ? 2t ?

5 ?0 6 5 。 ????10 分 6

????8 分

故 | MA | ? | MB |?| t1 ? t2 |? 24.(本小题满分 10 分)

解(1)当 x≤1 时,﹣2x+3≤2,即

≤x≤1.

当 1<x≤2 时,1≤2,即 1<x≤2. 当 x>2 时,2x﹣3≤2,即 2<x≤ . 综上所述,原不等式的解集为{x| ≤x≤ }. (2)当 a>0 时,
9

????5 分

f(ax)﹣af(x) =|ax﹣1|﹣|ax﹣a| =|ax﹣1|﹣|a﹣ax| ≤|ax﹣1+a﹣ax| =|a﹣1|, 所以,2a﹣3≥|a﹣1|,解得 a≥2. 所以实数 a 的取值范围为 ? 2, +? ? ????10 分

10


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