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2019学年高二数学下学期期中试题 理新版 -新人教版

2019 学年度德才高中高二年级下学期 期中考 试数学(理)试卷
时间:120 分钟 一、单选题:(每题 5 分,共 60 分) 1.已知复数 z ? A. 满分:150 分

1 ? 3i ,则 zz ? 1? i
B. 2 C.





2

5

D. 5

2. 观察图形: A. 59 颗

…, 则第 30 个图形比第 27 个图形中的“☆”多 B. 60 颗 C. 87 颗 D. 89 颗





3.命题:三角形的内角至多有一个是钝角,若用反证法证明,则下列假设正确的 是 (

) A. 假设至 少有一个钝角 C. 假设三角形的三个内角中没有一个钝角 B. 假 设至少有两个钝角 D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 ( )

4.下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 A. 大前提——无限不循环小数是无理数,小前提——π 是无限不循环小数, 结论——π 是无理数 B. 大前提——无限不循环小数是无理数,小前提——π 是无理数, 结论——π 是无限不循环小数 C. 大前提——π 是无限不循环小数,小前提——无限不循环小数是无理数, 结论——π 是无理数 D. 大前提——π 是无限不循环小数,小前提——π 是无理数, 结论——无限不循环小数是无理数

-1-

5 . 用 数 学 归 纳 法 证 明 : “ 两 两 相 交 且 不 共 点 的 n 条 直 线 把 平 面 分 为 f ? n? 部 分 , 则

f ? n? ? 1?

n ? n ? 1? 2

。 ”证明第二步归纳递推时, 用到 f ? k ?1? ? f ? k ? +

。 (



A. k ? 1

B. k

C. k ? 1

D.

k ? k ? 1? 2

3 6.设点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ?

3 上的任意一点,点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值 5
围 是

范 ( )

A. ?0, ? 3 7.由直线 x ? ? A.

? 2? ? ? ?

B. ?0, ? ? ? ,? ? ? 2? ? 3 ?

? ??

? 2?

?

C. ?

? ? 2? ? , ?2 3 ? ?

D. ? , ? ?3 3 ? )

? ? 2? ?

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? sinx 所围成的封闭图形的面积为(
B. 0 C. 1 D. 2

3

8.甲,乙,丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天 至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方案共有 A. 60 种 B.40 种 C.30 种 D.20 种 ( )

9.若函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,则下列说法正确的是

A. x1 是 f ( x ) 的一个极值点 C. x2 和 x3 都是 f ( x ) 的极值点

B. x1 和 x3 都是 f ( x ) 的极值点 D. x1 , x2 , x3 都不是 f ( x ) 的极值点

10.某联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序,则同 类节目不相邻的排法总数是. A.72 B.120 C.144 D.168 ( )

2 x ?1 11 . 若 x ? ?2 是 函 数 f ( x) ? ( x ? ax ?1)e 的 极 值 点 , 则 f ? x? 的 极 小 值 为

-2-




?3

A. ?2e

B. 1

C. 5e

?3

D. -1

12.已知函数 f ( x) ? 的取值范围为( A. (??, e]

ex 2 ? k ( ? ln x) ,若 x ? 2 是函数 f ? x ? 的唯一一个极值点,则实数 k 2 x x
) B.

?0, e?

C.

? ??, e?

D. ? ? 0, e ?

二、填空题:(每题 5 分,共 2 0 分) 13.猜想数列 , ?
?
3

1 3

4 9 16 25 36 , ,? , ,? 5 7 9 11 13

的通项公式 an ? ________________.

14.计算

? ? 2 x ? sinx ? dx =_________________.
0

15.已知函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 2ln x 则函数 f ? x ? 的单调递增区间是_________________. 16.已知函数 f ( x) ? sin x ? x ? 集为_________________.

1 ? 2 x ,则关于 x 的不等式 f (1 ? x2 ) ? f (5x ? 7) ? 0 的解 x 2

三、解答题: 17. (本小题 10 分) 已知复数 z ? ? 2 ? i ? m ? 3m(1 ? i) ? 2 ? 2i .当实数 m 取什么值时,复数 z 是:
2

(1)实数; (2)纯虚数; (3)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

18. (本小题 12 分) 已知数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,且 an ?

2 . n ?n
2

-3-

(1)试求出 S1 , S2 , S3 , S4 ,并猜想 Sn 的表达式. (2)用数学归纳法证明你的猜想.

19. (本小题 12 分) 3 名男生、3 名女生站成一排: (1)女生都不站在两端,有多少不同的站法? (2)三名男生要相邻,有多少种不同的站法? (3)三名女生互不相邻,三名男生也互不相邻,有多少种不同的站法? (4)女生甲,女生乙都不与男生丙相邻,有多少种不同的站法?

20. (本小题 12 分) 设 f ? x ? ? ? 2 ? x ?? x ? 2 ? .
2

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)求 f ? x ? 在[-5,

3 ]的最大值 与最小值. 2

21 . (本小题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? axlnx ? b , g ? x ? ? x ? kx ? 3 ,曲线 y ? f ? x? 在 1, f ?1? 处的切
2

?

?

线方程为 y ? x ? 1 . (1)若 f ? x ? 在 ?b, m? 上有最小值,求 m 的取值范围;

-4-

(2)当 x ? ? , e ? 时,若关于 x 的不等式 2 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 恒成立,求 k 的取值范围. e 22.(本小题 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e (1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?
x ?1

?1 ?

? ?

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

-5-

高二数学(理)参考答案 一.选择题: D C B A C 二.填空题: 13 . B C D A B D A

(?1) n ?1 n 2 2n ? 1

14.

?2 1 ? 9 2

? ?) 15. (0, )和( 2,

1 2

16.(2,3)

三.解 答题: 17.试题解析:

z ? 2m 2 ? 3m ? 2 ? m 2 ? 3m ? 2 i
1分 (1) z 为实数,则 m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ,则 m ? 1 或 m ? 2 分 (2) z 为 纯虚数,则 { 分
2 2 (3)2m ? 3m ? 2 ? m ? 3m ? 2 ? 0 ,则 m ? 0 或 m ? 2

?

?

﹎﹎﹎﹎﹎﹎

﹎﹎﹎﹎﹎﹎4

2m2 ? 3m ? 2 ? 0 m2 ? 3m ? 2 ? 0

,则 m ? ?

1 . 2

﹎﹎﹎﹎﹎﹎7

?

?

﹎﹎﹎﹎﹎﹎

10 分 18.试题解析: (1) S1 ? a1 ?

2 2 4 ? 1, S 2 ? S1 ? a2 ? 1 ? ? , 2 6 3 4 1 3 3 2 8 S3 ? S 2 ? a3 ? ? ? , S 4 ? S3 ? a4 ? ? ? , 3 6 2 2 10 5 2n 猜测 S n ? . n ?1 2 ?1 ? 1 ,等式成立, 1?1 2k 假设当 n ? k 时,等式成立,即 S k ? , k ?1
则当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? Sk ? ak ?1 ?

﹎﹎﹎

﹎﹎﹎4 分 (2)证明:当 n ? 1 时, S1 ?

2k 2 ? 2 k ? 1 ? k ? 1? ? ? k ? 1?

?

2k 2 2k (k ? 2) ? 2 ? = k ? 1 ? k ? 1?? k ? 2 ? (k ? 1)(k ? 2)

-6-

=

2 ? k ? 1? 2(k ? 1) 2 ( 2 k ? 1) , ? ? (k ? 1)(k ? 2) k?2 ? k ? 1? ? 1

即当 n ? k ? 1 时,等式也成立, 故对一切 n ? N * , S n ? ﹎﹎12 分 19.试题解析:
3 (1).中间的 4 个位置任选 3 个排女生,其余 3 个位置任意排男生: A 3 4 ? A 3 ? 144 (种);

2n . n ?1

﹎﹎﹎﹎

﹎﹎﹎﹎﹎﹎3 分 (2).把 3 名男生当作一个元素,于是对 3 个元素任意排,然后和 3 个女生做全排列:
4 A3 3 ? A 4 ? 144(种);

﹎﹎﹎﹎﹎﹎6 分

(3).把男生任意全排列,在产生的四个空中连 续地插入 3 名女生有 2 种方法:
3 2A3 3 ? A 3 ? 72 (种);

﹎﹎﹎﹎﹎﹎9 分

(4).按男生丙在两端和不在两端分类, 第一类,男生丙在两端时,从除甲乙丙外的三人中选择一人填充男生丙邻位,其
1 4 余 4 人做任意排列 : A1 2 A3 ? A 4 .

第二类,男生丙不在两端时,从除甲乙丙外的三人中选择 2 人填充男生丙邻位,
2 3 其余三人做任意排列: A1 4 A3 ? A3 , 1 4 1 2 3 共有方法: A1 2 A 3 ? A 4 + A 4 A 3 ? A 3 =2 88(种).

﹎﹎﹎﹎﹎﹎12 分

20.试题解析: (1) f ?( x) ? ?( x ? 2)(3x ? 2) , 列表如下:

x
f ' ( x)

(-∞,-2)

-2

(-2,

2 ) 3

2 3



2 ,+∞) 3
?

?
单调递减

0
极小值 0

?
单调递增

0
极大值

f ( x)

256 27

单调递减

∴单调增区间为(-2,

2 2 ) ,单调减区间为(-∞,-2)和( ,+∞) ; 3 3
﹎﹎﹎﹎﹎﹎6 分 , f ( x ) 极大 ? f ( ) ?

(2)由单调性可知, f ( x) 极小 ? f (?2) ? 0

2 3

256 27

-7-

又, f (-5) ? 63 ?

256 3 49 f( )? ?0 27 2 8 3 ∴ f ? x ? 在[-5, ]的最大值为 63, 最小值 0. 2
﹎﹎﹎﹎﹎﹎12 分

21.试题解析: (1) f ? ? x ? ? a ?lnx ?1? , 由题意可知, {

f ?1? ? 0 a ?1 ,解得 { , f ? ?1? ? 1 b?0
1 时, f ? x ? 递增; e

所以 f ? ? x ? ? lnx ?1 ,当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 当 f ? ? x ? ? 0 ,即 0 ? x ?

1 时, f ? x ? 递减. e

因为 f ? x ? 在 ? 0, m? 上有最小值,所以 m 的取值范围为 ? , ?? ? . ﹎﹎﹎﹎﹎﹎6 分 (2)关于 x 的不等式 2 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 在 x ? ? , e ? 上恒成立等价于不等式 e

?1 ?e

? ?

?1 ?

? ?

k??

2 xlnx ? x 2 ? 3 ?1 ? 在 x ? ? , e ? 恒成立, x ?e ? 2 xlnx ? x 2 ? 3 x2 ? 2x ? 3 ,则 h? ? x ? ? ? , x x2
1 ? x ? 1 时, h ? x ? 递增; e

设 h ? x? ? ?

当 h? ? x ? ? 0 ,即

当 h? ? x ? ? 0 ,即 1 ? x ? e 时, h ? x ? 递减, 则当 x ? ? , e ? e

?1 ?

? h( x)max ? h(1) ? ?4 ?,

有 k ? -4 即 k ?? ?4, ??? ﹎﹎﹎﹎﹎﹎12 分

22.试题解析:
x ?1 (1). f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ?

1 2 x ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

-8-

得: f ( x) ? e x ? x ?

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e x ? x ?

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) ﹎﹎﹎﹎﹎﹎ 6 分 (2). f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, b ? e x ? b ? 0 ③当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)
2 2

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x?

e 时, F ( x ) max ?

e 2 e 2
﹎﹎﹎﹎﹎﹎12 分

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

格 风 言 语 及 句 炼 ) 2 ( 赏 鉴 歌 诗

才 仕 李

】 明 说 纲 考 【 色 特 术 艺 会 领 于 重 侧 , . 2 。 巧 技 达 表 和 言 语 、 象 形 的 品 作 学 文 赏 鉴 : 求 要 纲 考 】 标 目 习 学 【 。 格 风 言 握 把 和 妙 之 句 语 的 歌 诗 典 古 会 体 . 1 。 力 能 解 高 提 , 巧 技 题 答 格 风 言 语 与 句 炼 歌 诗 典 古 握 掌 习 学 . 2 。 情 美 审 高 提 , 趣 兴 的 歌 诗 典 古 读 阅 发 激 . 3 习 学 主 自 】 导 指 法 学 【 。 术 格 风 言 语 的 典 古 记 识 , 歌 诗 读 熟 . 1 。 范 规 会 学 法 方 般 一 的 答 作 格 风 言 语 和 句 炼 握 掌 , 题 真 战 实 及 ” 析 剖 型 典 “ 合 结 . 2 】 析 剖 例 典 【 式 方 问 设 题 句 炼 ) 一 ( ) 义 含 释 解 ( 容 内 的 句 语 关 有 . 1 ) 讨 探 旨 主 对 ( 感 情 的 句 语 要 重 . 2 ) 赏 鉴 面 层 术 艺 ( 法 手 的 句 语 键 关 . 3 : 式 模 题 答 用 作 或 果 效 达 表 点 特 的 出 指 → 句 语 释 解 隅 举 术 格 风 言 语 ) 二 ( 》 遇 不 者 隐 寻 《 岛 贾 。 人 近 易 刻 深 切 真 得 显 描 白 用 或 , 述 陈 接 直 然 自 素 朴 质 实 平 . 1 》 北 寄 雨 夜 《 隐 商 李 。 想 者 读 让 中 之 象 形 在 藏 是 而 , 来 出 说 接 直 思 意 把 不 藉 蕴 婉 委 永 隽 蓄 含 . 2 》 池 小 《 里 万 杨 。 情 感 悦 喜 然 怡 达 表 , 境 意 美 优 造 营 来 言 语 的 丽 用 致 雅 洁 简 快 明 新 清 . 3 》 坑 书 焚 《 碣 章 。 味 和 调 笔 的 辣 辛 或 趣 风 、 指 多 中 诗 判 批 刺 讽 默 幽 谐 诙 . 4 ) 卷 宁 辽 年 0 2 ( 】 1 例 示 【 初 耒 张 山 嵩 见 。 怀 我 豁 山 青 有 赖 , 埃 尘 困 马 鞍 来 年 。 来 云 出 瘦 清 峰 数 , 去 雨 吹 风 北 暮 日 谪 贬 遭 累 连 牵 轼 受 因 , 一 之 士 学 四 门 苏 。 人 诗 宋 北 , 耒 张 ] 注 [ ? 处 何 在 妙 句 一 ” 来 云 出 瘦 清 峰 数 “ ) 1 ( 深 掘 挖 更 义 层 既 涵 内 歌 诗 理 : 二 果 效 分 后 然 词 的 力 有 富 或 点 特 再 , 法 手 现 种 了 运 虑 时 。 巧 技 达 表 与 言 语 赏 鉴 、 用 作 考 要 主 ” 处 何 在 妙 “ 问 一 第 】 析 解 【 面 画 合 结 相 态 跃 、 阔 广 耸 尖 成 层 与 使 予 赋 静 写 动 字 个 。 奇 新 语 造 拔 挺 的 出 容 形 ” 瘦 清 “ 以 法 手 人 拟 了 用 运 者 作 感 观 种 这 于 基 , 现 突 中 云 积 片 一 在 峰 山 峻 高 ① 】 案 答 【 【 。 答 作 求 要 按 , 诗 的 面 下 读 阅 ) 卷 京 北 年 1 0 ( 】 2 例 示 耒 张 ① 秸 秬 示 闲 得 安 求 男 坚 当 志 卑 高 无 业 冷 单 忧 我 射 衣 吹 行 人 西 东 市 一 歌 户 出 盘 捧 绝 欲 声 更 楼 雪 如 霜 落 月 头 城 秸 秬 示 警 所 有 且 诗 作 为 因 。 也 差 少 略 时 而 废 不 风 烈 寒 大 虽 呼 街 绕 即 旦 未 鼓 五 每 , 儿 饼 卖 邻 北 卿 少 寺 常 太 官 曾 家 学 文 名 著 宋 北 , 。 、 子 二 耒 张 秸 秬 1 : 释 注 4 。 析 分 要 简 作 句 体 具 合 结 请 味 韵 有 富 而 实 平 , 事 叙 景 写 的 诗 首 这 ) 1 ( 语 之 饰 修 何 任 无 均 等 西 东 楼 市 ” 户 出 盘 捧 “ 例 举 。 显 浅 俗 通 话 如 白 明 藻 辞 丽 华 有 没 , 实 平 一 点 要 : 案 答 深 意 而 浅 语 均 表 态 心 忧 街 ” 行 未 人 “ 如 他 其 怀 关 情 同 遇 际 活 生 儿 饼 卖 对 者 作 露 透 色 的 寂 空 冷 清 了 出 画 描 面 方 个 听 和 觉 视 从 句 两 篇 开 例 举 。 富 丰 含 蕴 事 叙 、 景 写 , 味 韵 有 : 二 点 要

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