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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题12 概率(教师版)


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2012 年高考试题分项解析数学(理科) 专题 12 概率(教师版)
一、选择题: 1. (2012 年高考广东卷理科 7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位 数为 0 的概率是( A.
4 9


2 9

B.

1 3

C.

D.

1 9

3. (2012 年高考福建卷理科 6)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点
P 恰好取自阴影部分的概率为(



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4.(2012 年高考辽宁卷理科 10)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长 分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为( (A)
1 6

) (D)
4 5

(B)

1 3

(C)

2 3

5. (2012 年高考湖北卷理科 8)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为 直径 作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

A. 1 ?

2

?

B.

1 2

?

1

?

.

C.

2

?

D.

1

?

【答案】A 【解析】设以 OA,OB 为直径作两个半圆的半径为 r ,则扇形 OAB 的半径为 2 r ,则左下方

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的 阴 影 区 域 面 积 为 2( ? r ?
2

1

1 2

r )?(
2

1 2

? ? 1) r

2

,右上 方阴影区域 面积为

4 1 4 1 4

? ? 4r 2

1 2

?r 2

? r -[
2

1 2

r ?(
2

1 4

?r ?
2

1 2

r )] =

2

1 2

? r ? r ,所以阴影部分的面积为 ? r ? 2 r ,又因为扇形
2 2

2

2

OAB 的面积为 ? ? 4 r ? ? r ,所以阴影部分的概率为
2 2

1

? r ? 2r
2

2

4

?r

2

? 1?

2

?

,故选 A.

【考点定位】本小题考查几何概型,对文科来说, 几何概型与古典 概型是概率部分的重点内 容,是高考的热点内容,年年必考,熟练这两种模型是解答好本类题目的关键.

二、填空题:

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1. (2012 年高考江苏卷 6)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ? 3 为公比的等比 数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数, 则它小于 8 的概率是 【答案】
3 5



【解析】 组成满足条件的数列为:1, ? 3 ,9 . ? 27 ,81 , ? 243 , 729 , ? 2187 , 6561 , ? 19683 . 从中随机 取出一个数共有取法 10 种, 其中小于 8 的取法共有 6 种, 因此取出的这个数小于 8 的概率为

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3 5

.

【考点定位】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时,关键弄清基本事件数和 基本事件总数,本题要注意审题,“一次随机取两个数”,意味着这两个数不能重复,这一 点要特别注意. 2.(2012 年高考上海卷理科 11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选 择其 中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 分数表示). (结果用最简

3.(2012 年高考新课标全国卷理科 15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或 元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N (1 0 0 0, 5 0 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为
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2

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4. (2012 年高考湖南卷理科 15)函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ? ( x ) 的部分图像如 图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低 点. (1)若 ? ?
?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 2

),则 ? ?

;

A (2)若在曲线段 ? B C 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率



.

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5.(2012 年高考重庆卷理科 15)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文 化课和其他三门艺术课个 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概 率为 (用数字作答).

三、解答题: 1.(2012 年高考江苏卷 22)(本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,? ? 0 ;当两条 棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P (? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

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2. (2012 年高考广东卷理科 17) 本小题满分 13 分) ( 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 x 的值; (2)从成 绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ,求 的数学期望.

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3.(2012 年高考北京卷理科 17)(本小题共 13 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了 该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾” 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物” 箱 100 240 20 “其他垃圾” 箱 100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分 别 为 a , b , c 其中 a>0, a ? b ? c =600。当数据 a , b , c 的方差 s 最大时,写出 a , b , c 的值(结
2

论不要求证明),并求此时 s 的值。

2

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(注: s ?
2

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1 , x 2 , ? , x n 的平均数)
2 2 2

4.(2012年高考湖北卷理科20)(本小题满分12分) 根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量X 工期延误天数Y X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料表明, 该工程施工期间降水量X小于300, 700, 900的概率分别为0.3, 0.7, 0.9,求: (I)工期延误天数Y的均值与方差; (Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率。

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5. (2012 年高考福建卷理科 16)(本小题满分 13 分) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现 故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该 厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概 率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X 1 ,生产一辆 乙品牌轿车的利润为 X 2 ,分别求 X 1 , X 2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产 其中一种品 牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种 品牌的轿车?说明理

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由.

6.(2012 年高考浙江卷理科 19) (本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且 规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到 的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

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7.(2012 年高考山东卷理科 19)(本小题满分 12 分) 现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 3 ,命中得 1 分,没有命中得
4

0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该
3

射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E X .

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9. (2012 年高考新课标全国卷理科 18)(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰 花, 然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
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以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差;
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(ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。

10.(2012 年高考天津卷理科 16)(本小题满分 13 分)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活 动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加
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趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数 为 1 或 2 的人去 参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? = | X ? Y | ,求随机变 量 ? 的分布列与 数学期望 E ? .

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11. (2012 年高考江西卷理科 18)(本题满分 12 分) 如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2) 这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体” 的体积为随机变量 V (如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内, 此时“立体”的体积 V=0) 。

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(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望。

12.(2012 年高考安徽卷理科 17)(本小题满分 12 分) 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使 用后该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库, 此次调题工作结束;若调 用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有 n ? m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试题库 中 A 类试题的数量。 (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率;

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(Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望)。

13. (2012 年高考四川卷理科 17) (本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为
1 10

和p。
49 50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

,求 p 的值;

(Ⅱ) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? , ? 的概率分布 求 列及数学期望 E ? .

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14. (2012 年高考湖南卷理科 17)(本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;
[&%中国教育出~版 网*#]

(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾 客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... (注:将频率视为概率)
[中%#国教*育︿ 出版网 ~]

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15. (2012 年高考陕西卷理科 20)(本小题满分 13 分) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟, 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频 率 从第一 个顾客 开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

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16. (2012 年高考全国卷理科 19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续 发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球, 发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率 ; (Ⅱ) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。

17. (2012 年高考重庆卷理科 17)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获

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胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率 为 为
1 2

1 3

,乙每次投篮投中的概率

,且各次投篮互不影响.

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(Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望

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