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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:第八章 解析几何 50 含答案


课时作业 50 直线与圆锥曲线 1.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 2 y2 b A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 解析:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)设直线 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b . 2 A(x1,y1),B(x2,y2), y=x+c, ? ? 则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 x + 2=1. ? b ? 化简得(1+b )x +2cx+1-2b =0. -2c 1-2b 则 x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+b 1+b 因为直线 AB 的斜率为 1, 所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|. 3 8 2 则 =(x1+x2) -4x1x2= 9 所以 b= 2 . 2 -b 2 +b 2 2 2 2 2 2 - -2b 2 1+b 2 = 8b 2 +b 4 2 ,因为 0<b<1. 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 -1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3 x2 y2 a b 2 .直线 y=k(x 2 a=2, ? ?c 2 解析:(1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c , 2 2 2 解得 b= 2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 x2 y2 y=k x-1 , ? ? 2 2 (2)由?x y + =1, ? ?4 2 得(1+2k )x -4k x+2k -4=0. 2 2 2 2 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), x1+x2= 4k 2k -4 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k 2 2 所以|MN|= = = 2 +k 2 x2-x1 x1+x2 2 2 2 + 2 y2-y1 2 -4x1x2] +k +6k 2 1+2k . |k| 1+k , 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 1 所以△AMN 的面积为 S= |MN|·d 2 |k| 4+6k = , 2 1+2k 由 |k| 4+6k 10 = ,解得 k=±1. 2 1+2k 3 2 2 2 3.过椭圆 + =1 内一点 P(3,1),求被这点平分的弦所在直线方程. 16 4 解析:设直线与椭圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 由于 A、B 两点均在椭圆上, 故 + =1, + =1, 16 4 16 4 x2 y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 两式相减得 x1+x2 16 x1-x2 + y1+y2 4 y1-y2 =0. 又∵P 是 A、B 的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2, ∴kAB= y1-y2 3 =- . x1-x2 4 3 ∴直线 AB 的方程为 y-1=- (x-3). 4 即 3x+4y-13=0. 4.(2018·郑州市第二次质量检测)已知曲线 C 的方程是 mx +ny =1(m>

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