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1-8 《函数y=Asin(wx+¢)的图像课件_图文


1.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法,作函

数y=Asin(ω x+ ? )的图像.
2.会借助正弦函数、余弦函数研究函数y=Asin(ω x+ ? ) 的单调性及最值.

y=sinx y=sinx

横坐标不变

纵坐标变为原来 的A倍
向左或向右 平移| ? |个单位 纵坐标不变 横坐标变为原来的 1/ω 倍

y=Asinx y=sin(x+ ? ) y=sinωx

y=sinx

? x ) 例1 画出函数y=3sin(2 + 3的简图
2x ?

?
3

0
?

?
2

?
?
3
0

3? 2

2?

x

?

?
3

6 12

7? 12

5? 6

y

0

-3

0

3
y

y

2 1

? ? ? ? -1 12 3 6 -2 -3

7? 12

5? x 6

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 (2)横坐标缩短到原来的 2 倍

?

p y=sin(x+ ) 的图像 3 p y=sin(2x+ ) 的图像 3 p y=3sin(2x+ )的图像 3

纵坐标不变 (3)横坐标不变

纵坐标伸长到原来的3倍

y
3 2 1

方法1:先平移后伸缩演示 ? y=3sin(2x+ )③ 3

y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

-1

-2 -3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3

方法1:先平移后伸缩一般规律 函数 y=sinx
(1)向左(? >0)或向右(? <0) 平移| ? |个单位

y=sin(x+?)的图像 y=sin(?x+?) 的图像

(2)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 原来的 倍,(纵坐标不变)

1

?

(3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
到原来的A倍(横坐标不变)

y=Asin(?x+?)的图像

请思考:还有其它变换方式吗?

方法2:先伸缩后平移 (1)横坐标缩短到原来的 函数 y=sinx 纵坐标不变
p (2) 向左平移 6
1 2



y=sin2x的图像

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

p y=sin(2x+ ) 的图像 3 p y=3sin(2x+ )的图像 3

y
3 2 1

方法2:先伸缩后平移演示 ? y=3sin(2x+ )③ 3

y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

-1

y=sin2x①

-2

? y=sin(2x + )② 3

-3

方法2:先伸缩后平移一般规律
(1)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到

函数y=sinx

原来的 倍,(纵坐标不变)

1

y=sin?x的图像

?

(2)向左(? >0)或向右(? <0) y=sin(?x+?)的图像 ? 平移| |个单位 ? (3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y=Asin(?x+?)的图像 到原来的A倍(横坐标不变)

例2.求下列函数的最大值、最小值,以及达到最大值、

最小值时的集合.

4 1 1 p (1) y = sin x - 2;(2) y = sin x;(3) y = cos(3 x + ) 3 2 2 4
? 解: (1) 当x=2k?+ (k ? Z)时,sinx取最大值1, 2 此时函数y=sinx-2取最大值-1. 3? 当x=2k?+ (k ? Z)时,sinx取最小值-1, 2 此时函数y=sinx-2取最小值-3.

1 (2) 设u= x. 2

? 1 当u=2k? + (k ? Z)时,即x=4k? +?(k ? Z)时,sin x最得最大值1 2 2 4 1 4 此时,函数y= sin x取最大值 . 3 2 3 3? 1 当u=2k? + (k ? Z)时,即x=4k? +3?(k ? Z)时,sin x最得最小值-1 2 2 4 1 4 此时,函数y= sin x取最小值- . 3 2 3

? (3)设u= 3x+ . 4

2 ? ? 当u=2k?(k ? Z)时,即x= k? ? (k ? Z)时,cos(3x+ )最得最大值1 3 12 4 1 ? 1 此时,函数y= cos(3x+ )取最大值 . 2 4 2 2 ? ? 当u=2k? ? ?(k ? Z)时,即x= k? ? (k ? Z)时,cos(3x+ )最得最小值-1 3 4 4 1 ? 1 此时,函数y= cos(3x+ )取最小值- . 2 4 2

例6: (1)求函数 y = 2sin( x (2)求函数

1 ? x? . 2 3 ? ? 因为函数 sin u的递增区间是[2k? ? , 2k? ? ](k ? Z),由 2 2 ? 1 ? ? 2k? ? ? x ? ? 2k? ? (k ? Z), 即 2 2 3 2 p 5p 4k p - #x 4k p + (k ? Z ) 3 1 3 ? 所以,函数y=2sin( x ? )的递增区间是 2 3 ? 5? [4k? ? , 4k? ? ](k ? Z). 3 3

p ) 的递增区间. 3 1 5p y = cos(4 x + ) 的递减区间. 3 6

1 2

解:(1) 设u ?

5? (2) 设u ? 4x ? 6 .

因为函数cosu的递减区间是[2k?, 2k? ? ?](k ? Z),由
5? ? 2k? ? ?(k ? Z), 即 6 1 5p 1 p kp #x kp + (k ? Z ) 2 24 2 24 1 5? 所以,函数y= cos(4x ? )的递增区间是 3 6 1 5? 1 ? [ k? ? , k? ? ](k ? Z). 2 24 2 24 2k? ? 4x ?

1.将函数y=sin2x的图像向左平移π /6得到的曲线对应的解 析式为( C ) B.y=sin(2x-π /6) D.y=sin(2x-π /3) A.y=sin(2x+π /6) C.y=sin(2x+π /3)

2. 要得到函数y=cos3x的图像,只需将函数y=cos(3x-π /6)
的图像( C ) A.向左平移π /6个单位 C.向左平移π /18个单位 B.向右平移π /6个单位 D.向右平移π /18个单位

2p [ , 2p ] 1 2? 3 (1)函数y= 3cos( x+ )(x ? [0, 2?])的递增区间是__________.

3.填空题:

3 ? (2)函数y= sin(3x- )(x ? R)的递减区间是 5 6
2k p 2p 2k p 5p + , + ](k ? Z ) 3 9 3 9 ____________________________. [

2

3

4.求下列函数的最小值以及取最小值时的 x值的集合.

3 p (1) y = cos x;(2) y = 4sin(3x - ); 2 4

3 答案:(1)最小值是- ,{x | x = 2k p + p , k ? Z ) 2 2k p p (2)最小值是- 4,{x | x = ,k ? Z) 3 12

1.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法,作函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像.

2.会借助正弦函数、余弦函数研究函数y=Asin(ω x+ ?)的
单调性及最值.


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