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高三数学复习课例题设计的视角_图文

上海中学数学?2014年第10期

高三数学复习课例题设计的视角
224300

江苏省射阳中学

徐达育

当前,高中数学教学中几乎形成了一个共识:三 年课程两年学完,高三一年的主要任务就是复习和 考试.因此,高三数学复习成为了高中数学教学的一 个重要环节.总结其教学功能,有如下几个方面:一

强记忆、培养思维、提升能力,是复习课的基本目标 之一,在高三复习课中,要紧扣这一目标,立足基础, 站在知识系统的高度,精心设计贴近复习内容的典 型例题,实现基础知识的再现、巩固、串联和深化的 过程,促进学生在应用中从更高的层次理解数学概 念,形成数学技能. 案例1 “正弦定理、余弦定理在解斜三角形中 的应用”复习课的例题设计 在复习正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的 应用时,笔者设计了4道例题. 1.在AABC中,a、6、C分别是角A、B、C的对 边. (1)已知a一3,6—6,A一30。,求B和C.

是深化对“三基”的理解、掌握和应用;二是形成明晰
的知识网络,完善数学认知结构;三是帮助学生积 累解题经验,提高分析问题、解决问题的能力;四 是归纳提炼常用的数学思想方法,培养学生的数 学素养;五是训练学生的数学交流能力,特别是规 范条理的书面表达能力.上述目标通常都需要以 例题为载体得以实现,正如美国著名数学教育家玻 利亚所说:“一个专心的认真备课的教师能够拿出一 个有意义但又不复杂的题目,去帮助学生挖掘问题 的各个方面,使得通过这道题,就好象通过一道门 户,把学生引入一个完整的理论领域.”由此可见,例 题的设计与配备是否恰当,对复习课的成败是至关 重要的. 一、立足基础,站在知识系统的高度设计例题 帮助学生对所学基础知识、基本技能进行梳理 和沟通,建立起良好的认知结构,从而加深理解、增

(2)已知口一2,/5,6—6,A一30。,求B和C.
(3)已知6—6,A=30。,当a在什么范围内变化 时,该三角形有两解? 2.在AABC中,口、b、C分别是角A、B、C的对 边.已知C=2A,口+c一10,c。sA一百3 (1)求三边n,6,C的值. (2)求sin(2A+B)的值.

(ax。+by2+c).若彩o,则称点P-,P:被直线z分
割.若曲线C与直线z没有公共点,且曲线C上存 在点P。,P。被直线z分割,则称直线Z为曲线C的 一条分割线. (1)求证:点A(1,2),B(一1,O)被直线x+y-- 1—0分割. (2)若直线y—kx是曲线z 2—4y2—1的分割 线,求实数志的取值范围.

战是训练不出学习能力的. (六)综合表述能力 统观今年的高考数学卷,给人的感觉中规中矩, 没有让考生感到“不可一试”的题目,大部分试题难 度集中在中档题,使试题数按难度分布呈橄榄状.面 对这种试卷学生要获得理想的成绩,必须要在解题 过程和答案描述中详尽规范.而这恰恰又是部分学 生的薄弱之处,他们在平时做题中往往只写几个公 式,解题过程缺乏承上启下的衔接和过渡,导致自己 的思维过程没有很好地呈现出来,影响了答案的完 整性和严密性,造成了无谓的失分.因此,日常教学 中必须加强学生综合表达能力的训练,而教师也要 作出表率. 2014年高考已经过去,但留下的思考和启迪还 要教师在日常教学中去贯彻落实.研究高考的目的 不是为了应试,而是为了调整方向,改进策略,从而 实现高效教学.

(3)动点M到点Q(O,2)的距离与到Y轴的距
离之积为l,设点M的轨迹为曲线E.求证:通过原 点的直线中,有且仅有一条直线是E的分割线. 其中,点被直线分割和直线为曲线的分割线均是 新出现的概念,但事实上点被直线分割的概念就是高 中解析几何中判断点在直线同侧或异侧的方法. 因此,提高学生学习新知能力,一是要让学生平 时多接触类似问题;二是一定要培养学生自主学习、 自主思考的习惯,要将学习还给学生.低水平的题海

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上海中学数学?2014年第10期 3.如图1,隔河看两目标A,B,但不能到达,在

45

多解和变式拓展等手段进行复习,收到了“平中见 奇,小中见大”的效果. 1.判断下列直线与圆的位置关系: (1)直线Z:2z—y+3—0与圆C:(z一3)2+(y
+1)2—24.

岸边选取相距万km的C,D两点,并测得么AcB
一75。,么BCD一45。,么ADC一30。,么ADB一45。 (A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的 距离.

(2)直线£:xsinO+ycos0=2+sin0与圆C:(z
~1)2+j,2—4.

2.已知圆O:z2+y2—25,求过点P(4,3)的圆 的切线方程.
图1

3.已知直线Z:y一是(z一2)+1被C:(z一1)2+ (y+2)2—16截得的弦长为2,Aft,求实数k的值. 变式1 多少条? 4.若直线Z:Y—z+b与曲线C:y一3一  ̄/4T—z2有公共点,求实数b的取值范围. 变式2实数b在什么范围内取值时,直线Z: 直线z:y=志(z一2)+1被C:(z一1)2 +(Y+2)2—16截得的弦长为整数,这样的弦共有

4.在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设 有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北30。 东,俯角为30。的B处,到11时10分又测得该船在 岛北60。西、俯角为60。的C处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米. (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方 向的D处,问此时船距岛A有多远? 这4道例题的设计,按照“单独应用正、余弦定 理一综合应用正、余弦定理一解决实际应用问题”的 思路,涵盖了正弦定理和余弦定理在解三角形中两 个主要方面的应用:角与边的相互转化和实际应用 问题.不仅紧紧围绕着本课复习内容的重点和难点, 紧紧围绕着知识发生、发展的过程和学生思维的积 极参与而展开,而且在结构上层层递进、步步深入, 由基础知识、基本技能的复习到数学应用意识、数学 建模能力的培养,由浅入深、从平面到空间,绝不是 同一思维层次上的简单重复.例题起到了梳理知识 结构、揭示知识本质、建立知识网络、总结思想方法、 提高学生数学思维水平的作用,收到了良好的复习 效果. 二、紧扣教材,发挥课本例题习题的教学功能 教材中的例题和习题是众多数学教育专家集体 智慧的结晶,是知识体系的浓缩,反映的是知识间的 经典关系,具有深刻的思想性、严谨性、科学性和权 威性,是高考试题的参照系和源泉.新课程高考注重 对基础知识和基本技能的考查,十分强调通性通法 的重要性,高考复习必须以教材为本,紧扣教材,遵 循“源于教材,高于教材”的原则,积极地“溯源寻 根”,透视教材的基础性,展现高考的导向性,充分发 挥课本中典型例题和习题的教学功能. 案例2“直线与圆的位置关系及其判定方法” 复习课的例题设计 在复习直线与圆的位置关系及其判定方法时, 笔者将教材中的4道例题和习题组成题组利用一题

y一‘r+6与曲线C:y一3一 ̄/4z—z2:
(1)有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点.

变式3求函数j,一岩豸乏的值域.
教材中的例题和习题具有一定的代表性,深入 研究每一道例题和习题,充分挖掘其价值,既可摆脱 题海的困扰,又能起到事半功倍的效果.在高考数学 复习的过程中,教师首先要引导学生研究透教材中 的典型例题和习题,善于用联系的观点探究教材中 题目的变式,探索高考试题与教材例题的结合点,再 将这些问题作恰当的分解或整合、延伸或拓展,做到 将例题和习题“变化”,寻找内在联系;将例题和习 题“类化”,展现通性通法;将例题和习题“深化”,培 养思维品质.努力使教材中的例题和习题更加丰富 鲜活,最终使学生通过复习,不仅能学会做题,更能 冲破题海,激活思维,学会学习,成为学习的主人. 三、注意关联。在类比和探究中训练思维品质 在知识网络的交汇处设计试题,是高考数学命 题的一个显著特点.知识之间存在着有机的联系,适 当综合就在于融会贯通,这是从简单学习到系统学 习的重要表现,也是提升能力的必由之路.数学问题 中知识的表现形式可以不同,但知识的本质可能相 同.因此,在复习课中,教师对例题的设计应体现数 学知识之间的相互关联,体现其不同表现形式之下 的本质属性,使学生能自觉地联系知识,举一反三.

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上海中学数学?2014年第10期 案例3 设计 在复习任意角的三角函数时,笔者设计了5道 例题. “任意角的三角函数”复习课的例题 因,在学习过程中不可避免地会出现各种错误,作为 教师,要做有心人,注意将它们收集起来,在适当的 时侯选作例题,和学生一起分析错因,解答纠错,让 学生在易错处顿悟,深化对数学知识的认识和理解. 案例4“平面向量的运算”复习课的例题设计 笔者在复习平面向量的运算时,设计了4道例 题. 1.已知非零向量口、b满足I a+bl—In—bI,则 a、bN足(


1.已知角a的终边落在直线z一√3 3,一0上,则
2sina+cosa的值为


2.在/kABC中,么C一90。,CD上AB,CE是 么BCA的平分线,DE一3,CD一4,则斜边AB一
__________。__●_^________,___-___。___一●

3.设n,bER,口2+2b2—6,则aq-b的最小值为 4.已知坐标平面上的直线Z:Y一3x,z上异于 原点。的点A在第一象限,A点关于z轴的对称点 是B,B点关于直线Z的对称点是C. (1)设直线AB与z轴的交点是D,么DOA一 日,求tan0及cos0的值. (2)记么CAB=a,求COSa的值. (3)记△oAB的面积为S。,△0BC的面积为 S:,探求S。和S:满足的关系式. 5.已知函数f(a)一sin。口+COS。a,z E{z
2k,kEN+}.
z一

A.方向相同 C.模相等 的真假:

B.方向相反 D.互相垂直

2.已知a、b、c是三个向量,试判断下列各命题 ①若a?b—n?c且口≠6,则b—C. ②若n?b一0,则n一6或6—0. ③若皿上b,则a?b一0. ④若向量a、bN共线,且满足I aI一|bl,则(a+
b)?(a—b)一0.

3.已知平面向量口一(一2,1),b一(A,一1)(A



R),若a与b的夹角为钝角,则A的取值范围是 4.已知平面上三点A,B,C满足l A百l一3,

(1)当d一2,4,6时,分别求,(a)的取值范围. (2)当zE{zlz一2k,kEN’)时,对厂(a)的取 值范围作出一个猜想. (3)证明厂(a)≤1. 将这些看似离散的问题并列,将有逻辑关系的 问题串联,形成一个整体,让学生在同一时间进行比 较性练习,通过提炼归纳、过程回顾,为学生由原来 新授时的简单学习过渡到高三复习时的系统学习提 供了可能,这也是复习课区别于新授课的重要特征. 数学知识具有类比和统一的特征,利用数学知识的 这种内在联系特征,教师可以站在更高的角度处理 问题,打破教材和复习资料章节的界限,将具有相似 知识、有机联系的题目串联在一起,引导学生进行类 比、对比探究,这样有利于调动学生学习的积极性, 训练学生的思维品质,激发学生自主探索、获得“再 发现”的体验,这是提高数学复习课课堂效益的一个 重要途径. 四、理解学生。让纠正错误成为一种教学习惯 复习课的一个重要任务就是让重点得到进一步 强化,难点得到有效突破,易错点得到有效纠正,复 习课的例题设计要紧扣这“三点”进行.这“三点”的 确定不仅要看教材本身,而且要考虑具体的“学情”. 学生由于认知的缺陷、思维的局限和不良习惯等原

1葡I一4,1蕊I一5,则蕊.葡+前.魂+蕊.
AB的值等于


著名哲学家黑格尔说过“错误本身乃是达到真 理的一个必然环节”.学生的数学学习和错误是一个 相伴的过程,“纠正错误”应该是数学课堂永恒的话 题.在复习课的教学中,教师更应通过长期研究错 因、坚持纠错,引导学生养成良好的纠错和复习习 惯.上述4道例题都是学生求解时容易出错的问题, 笔者从这些求解向量运算问题的易错点人手,把学 生的解题错误作为一种教学资源,针对学生的错误 进行分析,引导学生透过现象看本质,从而加深了学 生对向量概念和运算法则的本质理解,有效地避免 了学生在解题中“重蹈覆辙”. 总之,高三数学复习课的例题设计是一项非常 重要的工作,也是一项十分艰苦而又细致的工作,切 不可掉以轻心.教学中的例题来源相当丰富,包括教 材教辅、网络资源等等.作为教师,要能够根据数学 复习课例题设计应该遵循的原则,识别例题的优劣, 明确例题的教学功能与价值,挑选那些既适合学生 又符合高考要求,既能激发学生兴趣又能启迪学生 思维,既可复习基础知识又可培养学生能力的典型 例题,激活复习课堂,提高教学效益,培养学生的智 慧,促进学生的发展.

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