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江苏省东台市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质(1)导学案(无答案)苏教版选修1

309 教育网 www.309edu.com 2.3.2 双曲线的几何性质(1) 主备人: 学生姓名: 得分: 一、教学内容:双曲线的几何性质(1) 二、教学目标 1.了解双曲线简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 三、课前预习 1.已知方程 x 2 ? y 2 ? 1表示双曲线,则 k 的取值范围是____________. 1? k 1?k 2、过双曲线 x2 4 ? y2 3 =1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M , N 两点, F2 为其右焦点, 则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为____________. 3. F1 , F2 是双曲线 x2 9 ? y2 16 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 PF1 ? PF2 ? 32 , 则可得 ?F1PF2 ? ____________. 4.已知双曲线与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 有共同的焦点,且过点 ( 15 ,4) ,求双曲线的方程 27 36 ____________. 四、讲解新课 (一)引入新课 1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的? 2.双曲线的两种标准方程是什么? 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质. (二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格: 曲线 椭圆 双曲线 ? ? 适合条件的点的集合 P PF1 ? PF2 ? 2a ?P | PF1 ? PF2 |? 2a? 标准方程 x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ?b ? 0) x2 ? y2 ?1 a 2 b 2 ( a ? 0, b ? 0 ) 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 图形 a,b, c 关系 范围 对称性 顶点 (三)渐近线 y? b x y??bx 双曲线的范围在以直线 a 和 a 为边界的平面区域内,那么从 x,y 的变化趋势看, x2 y2 b ? ?1 y?? x 双曲线 a 2 b 2 与直线 a 具有怎样的关系呢? b x2 y2 y?? x ? ?1 定义:直线 a 叫做双曲线 a 2 b 2 的渐近线; a y2 x2 y?? x ? ?1 直线 b 叫做双曲线 a 2 b 2 的渐近线. (四)、离心率 由于正确认识了渐近线的概念,对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此,介绍一下双 曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响: e? c 1.双曲线的焦距与实轴的比 a 叫做双曲线的离心率,且 e ? 1 . b? 2.由于 a b2 a2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 a2 ?1 ? e2 ?1 b ,所以 e 越大, a 也越大, y??bx 即渐近线 a 的斜率绝对值越大.这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔,从而得出: 双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔. 这时,指出:焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出,双曲线的几何性质与坐标系 的选择无关,即不随坐标系的改变而改变. (五)例题讲解 x2 ? y2 ? 1 例 1 求双曲线 4 3 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程. 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 4 例 2 已知双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16,离心率为 3 , 求双曲线的标准方程. 五、随堂练习 1. 双曲线 x2 ? y2 ? ?4 的实轴长是 、虚轴长是 、顶点坐标是 点坐标是 、 离心率是 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; 、渐近线的方程是 、焦 (2)焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上; (3)离心率 e ? 2 ,经过点 P(0,2) ; (4)两条渐近线的方程是 y ? ? 4 3 x ,焦点为 (?5,0), (5,0) 四、课堂小结: 五、课后作业: x2 ? y2 ?1 六、1.(13 江苏)双曲线 16 9 的两条渐近线的方程为 x2 ? y2 ?1 2.双曲线 3 的两条渐近线所成的锐角是 x2 3.已知双曲线 4 ? y2 k ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,实数 k 的取值范围是 4.(12 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x2 m ? y2 m2 ? 4 ?1 的离心率为 5, 则 m 的值为 . 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)顶点在 x 轴上,焦距为 l0,离心率是 4 ; (2) 焦点在 y 轴上,一条渐近线为 y ? 3 4 x ,实轴长为 l2; (3) 渐近线方程是 y ? ?3 4 x ,焦点坐标为 (?5 2,0) 和 (5 2 ,0). 6.已知等轴双曲线的中心在原点,它的一个焦点为 F (0,2 2 ) ,求双曲线的方程. 309 教育资源库 www.309edu.com