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指数函数及其性质
——Steve Tang

一、折纸问题
假定有一张无限大的纸,厚为0.1mm,若可以无限对折。 那么它对折27次之后,它的厚度将超过喜马拉雅山的高 度8848km;对折42次之后,厚度将超过地球到月球的距 离380000km。

……

如果把这张纸的面积看成一个单位面积, 它的厚度看成一个单位长度。 对折次数 1 2 3 对折后的厚度 对折后的面积

2
2
2

2

3

1 2 ( ) 2 1 3 ( ) 2

1 2


x( x ? N * )




x

y1 ? 2

1 x y 2 ?( ) 2

二、概念
1,我们在定义一个函数的时候,往往会对参数进行一些 限制。
比如:

? k x ? b ( k ? 0 ) 一次函数 y
2 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 二次函数

那么我们在研究指数函数 y ? a 需不需要作一些限制呢? x 无意义 当 时 a a?0 x?0

x

的时候,对于参数 a

a?0

x

a ?1

y ?1

1 1 * ( n ? N ) 无意义,比如:( ? 1 ) 2 取 2n

无意义

无研究必要

2,定义
? a( a ? 0 且 a ? 1 ) 一般地,函数 y 叫做指数函数,其中 是自变量,函数的定义域是R.
x

x

例1:判断下列函数是否为指数函数. (3) y ? 2ax (2 )y ?(? 5 )x (1) y ? x 5

(4)y ?5x ?2 (5)y ?5x?2

(6) y ? 5?x

三、指数函数图像及性质

a ?1


0? a ?1


图像分布在一、二象限,与y轴相交,在x轴上方

过定点(0,1) 图 像 第一象限的点纵坐标都大于1 第一象限的点纵坐标都大于0且 小于1 特 第二象限的点纵坐标都大于0 第二象限的点的纵坐标都大于1 征 且小于1
从左向右,图像逐渐上升 从左向右,图像逐渐下降

a ?1


0? a ?1


定义域为R,即 (??, ??) 值域(0, ? ? ) X>0时,y>1



过定点(0,1) X>0时,0<y<1
X<0时,y>1 在R上是减函数



X<0时,0<y<1 在R上是增函数

特别地, 1. 对于多个指数函数图像在同一个直角坐标系中,第一象 限内,底数越大的图像越靠近y轴。 2. y ? a x 的图像与 y ? ( 1 ) x 的图像关于y轴对称。
a

a? 0 ,且 a? 1 ) 的图像经过点 例1. 已知指数函数 f ( x) ? a x (

( 3 , ? ) 求 f( 0 ) ,f( 1 ) ,f( ? 3 )的值

例2.

比较下列各题中两个值的大小:

(1 )1.7 ,1.7
0 .3

2.5

3

? 0 . 1 ? 0 . 2 ( 2 ) 0 . 8 ,0 . 8

(3 ) 1 .7 ,0 .9

3 .1

四. 指数幂比较大小的三种类型及求解技巧
1. 类型一
? 1 2

“同底不同指”型
2 3

1 1 (1)( ) , ( ) 5 5

0 . 5 0 . 6 ( 2 ) a , a ( a ? 0 , 且 a ? 1 )

此类型比较大小问题,要先选定相关的指数函数, 再确定其单调性,然后依据单调性比较大小。当底 数为参数时,要注意对其进行分类讨论。

2. 类型二

“同指不同底”型

5 3 5 8 ( )6 ,( )6 11 33

解法一:作商法 解法二:图像法

此类比较大小问题,解法一采用作商法,并结合指数 函数的性质解答。要注意作商前要先对两个幂的符号 进行判断。不同号时,正大负小;同号时,若同为正 则由 b ? 1 ? b ? a b ? 1 ? b ? a ;若同为负,则 b ? 1 ? b ? a 图像位置的影响。

a a a b ?1? b ? a 。 解法二采用图像法,应注意指数函数底数对 a

3. 类型三 “不同底不同指”型

(1)2 , (0.5)

2 3

5 4

b a ( 2 ) ab , ( 0 ??? a b1 )

此类比较大小问题,一般采用中间值法,结合指数 函数性质来判定大小关系,常用的中间值一般为 0,1等中间数值。

思考题:
比较下列各数的大小

2 3 2 3 5 0 35 (), () , 3 , () , () , () , ( ? 2 ) , () 3 5 5 2 6 3
五、指数型函数
x 形如 y 的函数就 ? k a ( k ? R , 且 k ? 0 ; a ? 0 , 且 a ? 1 )

1 ? 3

1 2 2 3

1 2

2 3

1 ? 3

叫做指数型函数。


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