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高三数学一轮复习 第10篇 第3节 二项式定理课件 理


第3节

二项式定理

最新考纲 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

编写意图

二项展开式和通项的应用,是高考重点考查的内容,多

以选择题、填空题的形式考查应用二项式定理求二项式中的指定项 或系数.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出二项展开 式通项公式的应用、方程思想与等价转化思想的应用,难点突破二 项式系数性质的应用、项的系数的最值问题.思想方法栏目突破了

赋值法的应用.课时训练以考查基础知识和基本方法为主,能够培养
学生的观察能力和指数幂的运算能力.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
1.二项式定理 (1)二项式定理

知识梳理

抓主干

固双基

n n-1 * 1 k n-k k n n C C C (a+b)n= C0 a + a b+ … + a b + … + b (n ∈ N ),这个公式 n n n n

叫做 二项式定理

.
n

(2)二项式系数、二项式的通项 在上式中它的右边的多项式叫做(a+b) 的 二项展开式 ,其中各项
k 二项式系数 C 的系数 Ck (k ∈ {0,1,2, … ,n}) 叫做 , 式中的 n n a b 叫
n-k k

做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项为展开式的第 k+1
n-k k 项:Tk+1= Ck a b. n

2.二项式系数的性质

质疑探究:二项式系数与项的系数相同吗?
n-k k k C (提示:在通项 Tk+1= Ck a b 中 , n n 就是该项的二项式系数,它与 a,b 的

值无关;Tk+1 项的系数指化简后除字母以外的因数,如 a=2x,b=3y,
n-k k n-k k k n-k k C Tk+1= Ck 2 · 3 x y , 其中 n n 2 3 就是 Tk+1 项的系数)

基础自测
1.(x+2)6 的展开式中,x3 的系数为( (A)40 (B)20

D

)

(C)80 (D)160 r 解析:由通项公式得 Tr+1= C6 x6-r·2r,
令 r=3,
3 3 3 3 得 T4= C3 × x · 2 =20 × 8x =160x . 6

故选 D. 2.在(1+2x)n的展开式中,各项的二项式系数的和为64,则展开

式共有(

C ) (A)5项 (B)6项 (C)7项 (D)8项 解析:各项二项式系数和为2n=64,故n=6, 所以该展开式共有7项.故选C.

2? ? 3. ? x ? 2 ? 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则 n 等于 x ? ?
(

n

C

)

(A)6 (B)8 (C)10 (D)12 解析:由题知,第6项为中间项,共有11项,

故n=10,故选C.
4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a0+a2+a4 的值为
解析:令 x=1,∴a0+a1+a2+a3+a4=0.① x=-1,a0-a1+a2-a3+a4=16.② ∴①+②得 a0+a2+a4=8.

.

答案:8

5.下面关于二项式的一些结论正确的是 题的序号) ① Ck n a b 是二项展开式的第 k 项.
n-k k n-k k ②通项 Ck a b 中的 a 和 b 不能互换. n

.(写出所有正确命

③二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项. ④(a+b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关. ⑤(a+b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号,与该项的 二项式系数一般不同. n-k k 解析:①错误.由二项展开式通项的定义可知: Ck a b 应是二项展开 n
式的第 k+1 项. ②正确.通项 Ck n a b 中的 a 与 b 如果互换,则它将成为(b+a) 的第
n-k k n

k+1 项.

③错误.由二项展开式中某项的系数的定义知:二项展开式中系数最 大的项不一定是中间一项或中间两项,而二项式系数最大的项则为 中间一项或中间两项. ④正确.因为二项式(a+b)n 的展开式中第 k+1 项的二项式系数为 Ck n , 显然它与 a,b 无关. ⑤正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分,包 括符号构成的,一般情况下,不等于二项式系数.

答案:②④⑤

考点突破
考点一 求二项展开式的特定项或系数
【例 1】 (1)(2014 高考湖南卷)( (A)-20 (B)-5 (C)5 (D)20

剖典例

找规律
)

1 x-2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是( 2

(2)(2013 高考安徽卷)若(x+

a 8 4 ) 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a= 3 x
8 2 7

. .(用数

(3)(2014 高考新课标全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y) 的展开式中 x y 的系数为 字填写答案)
r 解析:(1)由题意可得通项公式 Tr+1= C5 (

1 1 r x)5-r(-2y)r= C5 ( )5-r(-2)rx5-ryr,令 r=3, 2 2

r 则 C5 (

1 5-r 1 2 3 ) (-2)r= C3 × ( ) × (-2) =-20.故选 A. 5 2 2

(2)求二项展开式中的特定项需写出二项展开式的通项公
4 8? r a r r r 式,Tr+1= C x ( 3 ) = C8 · x 3 ·a , x
r 8
8-r

令 8-

4 r=4 得 r=3, 3 1 . 2

3 故 x4 的系数为 C8 ·a3=7,得 a=
8 7

7 6 (3)(x+y) 的展开式中 xy 的系数为 C8 =8,x y 的系数为 C8 =28,
2 6

故(x-y)(x+y) 的展开式中 x y 的系数为 8-28=-20.
答案:(1)A
1 (2) 2

8

2 7

(3)-20

反思归纳

求二项展开式中的项或项的系数的方法

(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为 零和整数.解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数 ,再根 据上述特征进行分析. (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等 ,一般 要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取 值范围. 提醒:二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念 .一般 地,某一项的系数是指该项中字母前面的常数值 (包括正负号),它 与a,b的取值有关,而二项式系数与a,b的取值无关.

考点二 项的系数最值问题
2? ? 【例 2】 求二项式 ? x ? 2 ? 的展开式中: x ? ?
(1)二项式系数最大的项; (2)系数最大的项和系数最小的项.
8

解:(1)由 n=8 可知展开式共 9 项,故第 5 项的二项式系数最大,即二项式

? 2? 4 4 系数最大的项为 T5= C8 ( x )4 ? ? 2 ? = C8 (-2)4·x-6=1120·x-6. ? x ?

4

5r 4? ? 2? r r r (2)由通项公式得 Tr+1= C8 ( x ) · ? ? 2 ? = C8 (-2) · x 2 , ? x ?
8-r

r

r 故第 r+1 项的系数为 C8 (-2)r. r 设第 r+1 项的系数的绝对值最大,即 C8 2 最大.
r

r ?1 r ?1 r r r ?1 r ? ? C8 ? 2 ? C8 ? 2 , ? ?C8 ? 2 ? C8 , 则由 ? r ?1 r ?1 即 ? r ?1 解得 5≤r≤6, r r r C ? 2 ? C ? 2 , 2C ? C , ? ? 8 8 ? 8 ? 8

而 r=5 时,系数为负数,r=6 时,系数为正数, 所以系数最大的项为 T7= C (-2) · x
6 8
6

4?

5?6 2

=1792x ;
5 8
5

-11

系数最小的项为 T6= C (-2) · x

4?

5?5 2

=-1792 x

?

17 2

.

反思归纳

求展开式系数最大项:如求(a+bx) (a、b∈R)的展开式系数

n

最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为 A1,A2,

? Ak ? Ak ?1 …,An+1,且第 k 项系数最大,应用 ? 从而解出 k 来,即得. ? Ak ? Ak ?1

【即时训练】 (1+2x)n(其中n∈N+且n≥6)的展开式中x3与x4项的二 项式系数相等,则系数最大项为
3 4

.

解析:由于 x 与 x 项的二项式系数相等,则 n=7.
k ∴Tk+1= C7 (2x) ,
k

k k k ?1 k ?1 ?C 7 2 ? C7 2 13 16 ? 由? k k 得 ≤k≤ ,∴k=5, k ?1 k ?1 C 2 ? C 2 3 3 ? 7 ? 7
5 5 ∴系数最大项为 C5 7 (2x) =672x .

答案:672x5

考点三 二项式定理的应用
【例 3】 (1)(2015 郑州调研)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512012+a 能被 13 整除,则 a 等于( (A)0 (B)1 (C)11 ) (D)12
2

(2)(2014 高考山东卷)若(ax + a +b 的最小值为 (3)(
2 2

b 6 3 ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 x

. .

x 1 5 + + 2 ) 的展开式中整理后的常数项为 2 x

2012 2011 1 2011 C C 解析:(1)512012+a=(52-1)2012+a= C0 · 52 · 52 ++ 2012 2012 2012 ×

52×(-1)

2011

+ C 2012 2012 ×(-1) - C1 2012 52
2011 2012

2012

+a
2011

∵ C0 2012 52

2012

+…+ C 2011 2012 ×52×(-1)

能被 13 整除,且 51

+a 能被 13 整除.

2012 ∴ C 2012 (-1) +a=1+a 也能被 13 整除,∴a 可取 12. 2012

r r (2)Tr+1= C6 (ax2)6-r·( b )r= C6 a6-r·brx12-3r,令 12-3r=3,得 r=3,所以
6-3 3 2 2 C3 a b =20, 所以 ab=1, 所以 a +b ≥2ab=2,当且仅当 a=b,且 ab=1 时, 6

等号成立.故 a +b 的最小值是 2.

2

2

(3)(

x 1 x 1 10 5 k ?1? + + 2 ) =( + ) ,则 Tk+1= C10 ? ? 2 x 2 x ?2?

10 ? k 2

·x ,

5-k

63 2 则当 k=5 时,取得常数项 . 2

答案:(1)D (2)2 (3)

63 2 2

反思归纳 题型

二项式定理的应用的常见题型与求解策略: 求解策略

求二项式中的参数 利用二项展开式或展开式的通项公式构造关 问题 于参数的方程求得参数 有些三项式展开问题可以先通过变形转化为 求三项式或多项的 二项式展开问题加以解决,对于多项的和或积 和或积的展开式中 的二项式问题,可通过“搭配”解决,但要注意 指定项 不重不漏 近似计算要首先注意精确度,然后选取展开式 中前几项进行计算.用二项式定理证明整除及 近似计算、证明整 求余数问题,一般将被除式变为有关除式的二 除及求余数问题 项式的形式来展开,常采用“配凑法”“消去 法”,结合整除的有关知识来解决

助学微博
1.通项为 Tk+1= Ck n a b 是(a+b) 的展开式的第 k+1 项,而不是第 k 项,这里
n-k k n

k=0,1,…,n.
2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指
1 n C0 C C , , … , n n n ,它只与各项的项数有关,而与 a,b 的值无关;而项的系

数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与 a,b 的值有关.

3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给 字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.
4.运用通项求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出 k,再求 所需的某项;有时需先求 n,计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的 大小关系.

思想方法
赋值法的应用 【典例】 在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和;

融思想

促迁移

(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和;

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解:设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*) 各项系数和即为 a0+a1+…+a10,奇数项系数和为 a0+a2+…+a10,偶数项系数 和为 a1+a3+a5+…+a9,x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+…+a9,x 的偶次项系数 和为 a0+a2+a4+…+a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

10 0 10 C (1)二项式系数的和为 C10 + C1 + … + =2 . 10 10 10 10 (2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3) =(-1) =1. 9 0 2 (3)奇数项的二项式系数和为 C10 + C10 +…+ C10 10 =2 .

3 9 偶数项的二项式系数和为 C1 10 + C10 +…+ C10 =2 . (4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+…+a10=1,
9



令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1),得 a0-a1+a2-a3+…+a10=510,② ①+②得 2(a0+a2+…+a10)=1+510,
1 ? 510 ∴奇数项的系数和为 ;①-②得 2(a1+a3+…+a9)=1-510, 2 1 ? 510 ∴偶数项的系数和为 . 2 1 ? 510 (5)x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+…+a9= ; 2
1 ? 510 x 的偶次项系数和为 a0+a2+a4+…+a10= . 2

方法点睛 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法, 对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项 系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a、b∈R) 的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法,注意取值要有利于问 题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解题易出现漏项等情 况,应引起注意.例:若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)展开式中各项系 数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…= 之和为 a1+a3+a5+…=
f ?1? ? f ? ?1? 2 f ?1? ? f ? ?1? 2

,偶数项系数

,令 x=0,可得 a0=f(0).

【即时训练】 若(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则(a0+a2+a4)2(a1+a3+a5)2= .
解析:因为(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 令 x=1 得到 35=a0+a1+a2+a3+a4+a5, 令 x=-1 得到-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5, 2 2 又(a0+a2+a4) -(a1+a3+a5) =(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5) 5 =-3 =-243. 答案:-243


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