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2014·湖南(理科数学)精品完美解析版

2014·湖南卷(理科数学) z+i 1.[2014· 湖南卷] 满足 =i(i 为虚数单位)的复数 z=( z ) 1 1 1 1 A. + i B. - i 2 2 2 2 1 1 1 1 C.- + i D.- - i 2 2 2 2 z+i i(-1-i) 1- i i 1.B [解析] 因为 =i,则 z+i=zi,所以 z= = = . z 2 i-1 (i-1)(-1-i) 2. [2014· 湖南卷] 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本, 当选取简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1, p2,p3,则( ) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 2.D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样,它们都是等概率抽样, n 每个个体被抽中的概率均为 . N 3.[2014· 湖南卷] 已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)= x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.C [解析] 因为 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 所以 f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. 5 1 x-2y? 的展开式中 x2y3 的系数是( 4.[2014· 湖南卷] ? ) ?2 ? A.-20 B.-5 C.5 D.20 5-r 5-r ?1 ? (-2y)r=Cr ?1? (-2)rx5-ryr,令 r 4.A [解析] 由题意可得通项公式 Tr+1=Cr 5 2x 5 2 ? ? ? ? 5-r 2 3 ?1? (-2)r=C3 ?1? =3,则 Cr 5 2 5× 2 ×(-2) =-20. ? ? ? ? 5.[2014· 湖南卷] 已知命题 p:若 x>y,则-x<-y,命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命 题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5.C [解析] 依题意可知,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题.由真值表可知 p∧q 为 假,p∨q 为真,p∧(綈 q)为真,(綈 p)∨q 为假. 6.[2014· 湖南卷] 执行如图 11 所示的程序框图.如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S 属于( ) A.[-6,-2] B.[-5,-1] C.[-4,5] D.[-3,6] 第 1 页 共 10 页 图 11 6.D [解析] (特值法)当 t=-2 时,t=2×(-2)2+1=9,S=9-3=6,所以 D 正确. 7. 、[2014· 湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图 12 所示,将该石材切削、打 磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) 图 12 A.1 B.2 C.3 D.4 7.B [解析] 由三视图可知,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半),故可知能得 到的最大球为三棱柱的内切球. 由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径, 可 6+8-10 得 r= =2. 2 8.[2014· 湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增 长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) p+q (p+1)(q+1)-1 A. B. 2 2 C. pq D. (p+1)(q+1)-1 8 . D [ 解 析 ] 设 年 平 均 增 长 率 为 x , 则 有 (1 + p)(1 + q) = (1 + x)2 , 解 得 x = (1+p)(1+q)-1. 9.[2014· 湖南卷] 已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 2π ∫ 0f(x)dx=0,则函数 f(x)的图像的一条对称轴是( ) 3 5π 7π A.x= B.x= 6 12 π π C.x= D.x= 3 6 2π 2π 2π 2π 9.A [解析] 因为∫ 0f(x)dx=0,即∫ 0f(x)dx=-cos(x-φ) 0=-cos? -φ? 3 3 3 ? 3 ? 第 2 页 共 10 页 π 5π +cos φ =0,可取φ = ,所以 x= 是函数 f(x)图像的一条对称轴. 3 6 1 10. 、[2014· 湖南卷] 已知函数 f(x)=x2+ex- (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关 2 于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( ) 1 A.(-∞, ) B.(-∞, e) e 1 1 C.?- , e? D.?- e, ? e e? ? ? ? 10. B [解析] 依题意, 设存在 P(-m, n)在 f(x)的图像上, 则 Q(m, n)在 g(x)的图像上, 1 1 1 - - - 则有 m2+e m- =m2+ln(m+a),解得 m+a=ee m- ,即 a=ee m- -m(m>0),可得 2 2 2 a∈(-∞, e). (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分) ?x=2+cos α , ? π ? 11. [2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中, 倾斜角为 的直线 l 与曲线 C: 4 ?y=1+sin α ? (α 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2.以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,则直线 l 的极坐标方程是________. 11 . ρ cos θ - ρsin θ = 1 [ 解 析 ] 依 题 意 可 设 直 线 l : y = x + b , 曲 线 C : ?x=2+cos α , ? ? 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1.由|AB|=2 可知圆心(2,1)在直线 l:y=x ?y=1+sin α ? +b 上,即 l:y=x-1,所以 l

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