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云南省富民县第一中学高一数学(必修二)课件第2章《点、直线、平面之间的位置关系》新人教A版_图文

第二章

点、直线、平面之间 的位置关系

本章总结提升 │ 单元回眸

本章总结提升
单元回眸

2.1.1 │ 新课感知 新课感知
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象,数

学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果,你知道数学中的 平面具有什么样的特征吗?
解:平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无限延伸

的.

2.1.1 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 平面

无限延展的 .我们通常把水平的平面画 几何里的平面是____________ 成一个_____________ 平行四边形 .平面没有大小、厚度等. 1.平面的画法:水平放置的平面通常画成一 个 平行四边形 ,锐角画成45°,且横边长画成邻边长 的2倍,如图2-1-1. Z x x k

2.1.1 │ 自学探究

图2-1-1

图2-1-2

2.1.1 │ 自学探究

2 .画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把 它延展开来,如同画直线一样,直线是可以无限延展的,但在 画直线时却只画出一条线段来表示. 3 .加“通常”两字的意思是因为有时根据需要也可用其

他平面图形来表示平面. 4 .两个相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个 平面遮住时,应把被遮住部分的线段画成 ________ 虚线 或者不画, 以增加立体感,如图2-1-2.

2.1.1 │ 自学探究

[ 探索 ] 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分

成几部分?

Zx x k

解:一个平面把空间分成两部分;两个平面相交时,把空 间分成四部分,平行时把空间分成三部分.

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点二 符号的规定

1.在数学中我们用大写字母_______________ A、B、C、D… 表示点;用 小 写 字 母 __________ a、b、c… 表 示 直 线 ; 平 面 通 常 用 希 腊 字 母 α 、β 、γ … ___________________ 等表示,如平面 α 、平面 β 等,也可以 用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大 写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等. A∈α ;点B在平面α 外, 2.(1)点A在平面α 内,记作________ B?α ;(2)点A在直线l上,记作________ A∈l ;点B在直线 记作________ l 外,记作 ________ ; (3) 直线 l 在平面 α 内,记作 l?α ; B?l 直线l在平面α 外,记作________ l?α .

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点三 公理1

1 .文字语言:如果一条直线上的两点在一个平面内,那 此平面内 . 么这条直线在____________ 2.图形语言:如图2-1-3.

图2-1-3

2.1.1 │ 自学探究

3 . 符 号 语 言 : A∈l , B∈l , 且 A∈ α



B∈α ?_________________. l?α
4.公理的作用:公理1是判定直线是否在平面内的依据, 即利用公理 1 可以证明直线在平面内或证明直线上的点在平面

内.

Zx x k

图2-1-3

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点四 公理2

文字语言:过不在一条直线上的三点,__________ 有且只有 一个平 面. 图形语言:

图2-1-4

2.1.1 │ 自学探究

符号语言: A∈l,B∈l, C?l?________________________ ________________________________________________. 三点A、B、C确定唯一平面α 1.正确理解公理中“有且只有”:“有”是说 图形存在 , “ 只 有一个 ” 是说 ____________ 图形唯一 ____________ , 即强调了 “存在性”和“唯一性”. 2 .正确理解“过不在一条直线上”和“三点”,如果去 掉则不成立,如:经过一点、两点或同一直线上的三点可有 ______________ ;任给不在同一直线上的四点, __________ 无数个平面 不一定 有 一个平面同时过这四个点. 3.根据公理2我们可以得到三个推论:

2.1.1 │ 自学探究
3.根据公理2我们可以得到三个推论: 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 ______________________. 有且只有一个平面 推论2:经过两条相交直线,_______________________.
Zx x k

有且只有一个平面 推论3:经过两条平行直线,______________________. 4.公理的作用:一是确定平面;二是证明点共面问题.

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点五 公理3

文字语言:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们________________________ 的公共直线. 有且只有一条过该点

图2-1-4

图2-1-5

2.1.1 │ 自学探究
图形语言: α ∩β =l,且P∈l 符号语言:P∈α,且P∈β?__________________. 1.公理 3研究平面与平面的关系,只要两个不重合的平面有 公共点,它们的位置关系就是相交,并且交线只有一条. 2.对于这个公理应进一步理解下面三点: (1)如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就 是它们的交线; (2)如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线; (3)如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面 的交点必在这两个平面的交线上. 3.公理 3的作用:一是判定两个平面是否相交的依据;二是 证明三点共线、三线共点、点在线上的依据.

2.1.2

空间中直线与直线之间 的位置关系

2.1.2 │ 新课感知 新课感知
在浩瀚的夜空,两颗流星飞逝而过 ( 假设它们的轨迹为直

线),请同学们讨论这两直线的位置关系.

解:有可能平行,有可能相交,还有一种位置关系是不平 行也不相交.

2.1.2 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两条直线 __________________________________________ 叫做异面 直线.两条直线是异面直线即等价于这两条直线 既不相交也不平行 __________________________________ .
[ 思考 ] 若两条直线分别在两个不重合的平面内,则它们 是否一定为异面直线? 解:不一定,当两条直线在两个平面内时,它们也可能相 交或平行,此时共面,只有不相交也不平行时才异面.

2.1.2 │ 自学探究
? 知识点二 空间两条直线的位置关系 同一平面内,有且只有一个公共点 同一平面内,没有公共点 不同在任何一个平面内,没有公共点 ? 知识点三 公理4 Z x x k

空间的两条直线有如下三种关系:

文 字 语 言 : 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线

____________________ . 互相平行
符号语言:设 a、b、c 是三条直线, a∥b? ? a∥c ?? __________. c∥b ? ?

2.1.2 │ 自学探究
1.公理4又叫平行公理,公理的实质是说平行具有传递性,

在平面内、空间内这个性质都适用. 2.公理4作用是:判断空间两条直线是否平行.
? 知识点四 空间中的等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 ________________ 相等或互补 .

2.1.2 │ 自学探究

[ 探索 ] 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时,

试问两个角在什么情况下相等、互补? 解:当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时,两个 角相等;当两个角的一组边的方向相同,而另一组边的方向相 反时,这两个角互补.

2.1.2 │ 自学探究
? 知识点五 异面直线所成的角

已知两条异面直线a、b,经过空间中任一点O作直线 锐角(或直角) a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的____________ 叫做异 面直线a与b所成的角(夹角).如图2-1-7所示:

图2-1-7

2.1.2 │ 自学探究

(1)a′与 b′所成的角的大小只由 a 、 b 的相互位置来确定,

与O的选择________ ,为了简便,点O一般取在两直线中的一条 无关 直线上; (2)两条异面直线所成的角的范围是:θ ∈(0°,90°]; (3) 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条 a⊥b 异面直线互相垂直,记作__________ .

2.1.2 │ 自学探究

[思考] 试总结求两条异面直线所成角的一般步骤? 解:求两条异面直线所成角的一般步骤: (1) 作:根据异面直线的定义,用平移法作出异面直线所 成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的;

(3)求:求角度,常利用三角形; (4) 答:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直 线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直 线所成的角.

2.1.3 2.1.4

空间中直线与平面之间 的位置关系 平面与平面之间的位置 关系

2.1.4 │ 新课感知 新课感知
观察长方体,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线

段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在 平面有几种位置关系吗?

图2-1-14 解:线段A′B所在的直线在平面 AB′内,与平面AD′、 平面AC、平面BC′、平面A′C′相交,与平面CD′平行.

2.1.4 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 一条直线和一个平面的位置关系

空间的直线与平面有如下三种位置关系: (1) 直 线 在 平 面 内 —— 直 线 与 平 面 有 无数个公共点 _____________________ ; (2) 直 线 与 平 面 相 交 —— 直 线 与 平 面 有且只有一个公共点 ; ____________________

2.1.4 │ 自学探究

(3) 直 线 与 平 面 平 行 —— 直 线 与 平 面

___________________ . 没有公共点 (其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外)
[思考] 直线a与平面α 平行,直线b?α ,则a与b有怎样的 位置关系? 解:由直线 a 与平面α 平行,直线 b?α 知 a与b 没有公共点,

所以a与b平行或异面.

2.1.4 │ 自学探究
? 知识点二 两个平面之间的位置关系

两个平面之间有两种位置关系: 平行 ——没有公共点; (1)两个平面______ (2)两个平面______ 相交 ——有一条公共直线.

2.2.1 2.2.2

直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定

2.2.2 │ 新课感知 新课感知
当门扇绕着一边转动时,门扇转动的一边所在直线与门框

所在平面具有什么样的位置关系?将课本放在桌面上,翻动书 的封面,封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置 关系?
解:门扇转动的一边所在直线在门框所在平面内,封面边 缘所在直线与桌面所在平面相交或平行.

2.2.2 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 直线与平面平行的判定定理

1 .语言叙述:平面外一条直线与此平面内的一条直线平 平行 .该定理常表述为:? 行,则该直线与此平面________ 线线平行, 则线面平行. 2.符号语言:若a?α ,b?α ,且a∥b,则________ a∥α . 用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时,必须具备三个条件: (1) 直线 a 不在平面 α 内,即 a?α ; (2) 直线 b 在平面 α 内,即 b?α ;(3)两直线a、b平行,即a∥b.三个条件缺一不可.

2.2.2 │ 自学探究
[ 思考 ] 在直线与平面平行的判定定理中最容易忽略的条 件是__________________ . 该直线必须在平面外

2.2.2 │ 自学探究
? 知识点二 平面与平面平行的判定定理

1.平面与平面平行的判定定理 语言叙述:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 平行 . 则这两个平面________ 图形语言: 符号语言:若a?β ,b?β ,a∥α ,b∥α ,a∩b=P,则 β ∥α . 2.利用判定定理证明两个平面平行应当必须具备的条件: (1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面; (2)这两条直线必须相交.

2.2.2 │ 自学探究

图2-2-1

图2-2-1

2.2.2 │ 自学探究

[ 探究 ] 若两个平面平行,则这两个平面内的直线是否都 平行?

解:若两个平面平行,则这两个平面内的直线没有交点, 所以它们只能是平行或异面.

2.2.3 2.2.4

直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质

2.2.4 │ 新课感知 新课感知
直线与平面有什么样的位置关系?对应的图形语言如何表 示?

解:直线与平面的位置关系有直线在平面内、与平面平行、 与平面相交: 1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点; 3.直线与平面平行——没有公共点. 对应的图形语言如下:

2.2.4 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 直线和平面平行的性质定理

文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行. 此性质简称为“线面平行,则线线平行”. 符 号 语 言 : 若 l∥α , l?β , α ∩β = m , 则 l∥m __________________ . 图形语言:

2.2.4 │ 自学探究

图2-2-4

2.2.4 │ 自学探究

性质定理中有三个条件: (1) 直线 l 和平面 α 平行; (2) 平面 α 和平面 β 相交于直线 m ; (3) 直线 l 在平面 β 内.这三个条件阐 明了一条直线与两个平面及它们的交线之间的位置关系,是判断 直线与直线平行时缺一不可的条件.

2.2.4 │ 自学探究

[思考 ] 如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这 个平面内的直线有怎样的位置关系?

解:平行或异面,图示如下:

2.2.4 │ 自学探究
? 知识点二 两个平面平行的性质定理

文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 平行 . 么它们的交线________ a∥b 符号语言: α ∥β , α ∩γ = a , β ∩γ = b?__________. 图形语言: 定理的说明: 性质定理的实质就是: 面面平行?线线平行.

图2-2-5

2.2.4 │ 自学探究

[探究] 若两个平面平行,则一个平面内的直线a与另一个平 面内的直线有怎样的位置关系?

解:平行或异面,图示如图:

2.3

直线、平面垂直的判定及 其性质

2.3.1

直线与平面垂直的判定

2.3.1 │ 新课感知 新课感知
(折纸试验)请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一 个试验:过三角形的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD(如图2-3- 1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD、DC与桌面接触), 折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平 面垂直?

2.3.1 │ 新课感知
解:不一定垂直,容易发现,当且仅当折痕 AD是BC边上的 高时,AD所在直线与桌面所在的平面α 垂直. 如图.

所以,当折痕AD 垂直平面内的一条直线时,折痕AD与平面 α 不一定垂直,当折痕AD垂直平面内的两条相交直线时,折痕AD 与平面α 垂直.

2.3.1 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 直线与平面垂直的定义

任意 一条直线都垂直, 定义:如果直线 l 与平面 α 内的 ________ 我们就说直线l与平面α 互相垂直,简称线面垂直.记作 l⊥α .直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂 ________ 面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做________ 垂足 . 画法:画直线和平面垂直时,通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直. ? 用符号语言表示为: m是平面α 内任意一直线? a⊥α ??________. ? a⊥m ?

2.3.1 │ 自学探究
[ 思考 ] 如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线,那 么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明. 解:不一定垂直.如图,直线 AC1 与直线 BD 、 EF 、 GH 等无

数条直线垂直,但直线AC1与平面ABCD不垂直.

2.3.1 │ 自学探究
? 知识点二 直线与平面垂直的判定定理

文字语言:一条直线与一个平面内的 ________________ 两条相交直线 都 垂直,则这条直线垂直于这个平面. 符号语言:若 l⊥m , l⊥n , m∩n = B , m?α , n?α ,则 ________ l⊥α . 图形语言:

图2-3-2

2.3.1 │ 自学探究
? 知识点三 直线和平面所成角

1.斜线,垂线,射影定义 (1) 垂线:自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面 射影 上的__________ .这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面 的__________ 垂线段 . (2) 斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂 直,这条直线叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点 叫 斜足 .

2.3.1 │ 自学探究
(3)射影:过斜线上斜足外的一点 A向平面引垂线,过垂足 和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的_________________ . 射影 这里要注意两点:一是点 A 的任意性,可通过取不同点来 说明;二是斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而 不是线段. 2.直线和平面所成角

2.3.1 │ 自学探究
定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

________ 锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角.如图2-3-3, ∠ABO 就是斜线AB和平面α 所成的角.特别:一直线垂
直于平面,所成的角是________ 直角 ;一直线平行于平面或在平面 0°角 内,所成角为 __________ .因此,直线和平面所成角范围为 [0°,90°] __________________ .

2.3.1 │ 自学探究
[ 探究 ] 斜线与平面所成的角是否为该直线与平面内任一 直线所成角中最小的角?

解:直线与平面所成角是直线与其在该平面内的射影所成 角,斜线上同一点与平面内任一点的连线中,垂线段最短,即

三角形的一条边不变,当另一边最短时所对的角最小.

2.3.2

平面与平面垂直的判定

2.3.2 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 二面角的概念

从一条直线出发的 ____________________ 两个半平面所组成 的图形叫做二面 角.其中这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的 面,棱为l,两个平面分别为α ,β 的二面角记为α -l-β .

2.3.2 │ 自学探究
? 知识点二 二面角的平面角

如图2-3-8,在二面角α -l-β 的棱l上任取一点O,以

O为垂足,在半平面α 和β 内分别作垂直于棱l的射线OA和OB, 则 __________________________________ 叫做二面角 α - l - 射线OA和OB构成的∠AOB
[0°,180°] . β 的平面角.二面角的平面角的范围是______________
特别地,当平面角是直角时,二面角叫做直二面角.

图2-3-8

2.3.2 │ 自学探究
二面角的平面角的画法有两种: 1 .定义法:在棱上取点作为平面角的顶点,在两个半平 面内作棱的垂线(如图2-3-9①); 2 .垂面法:用垂直于棱的平面与二面角相交,交线所成 的角,特别有其中一个半平面的垂线时,作一条垂直于棱的直 线就可找到垂直于棱的平面,也就作出了二面角的平面角(如图 2-3-9②).

2.3.2 │ 自学探究

[ 思考 ] 在两个半平面内分别向棱作垂线,所得到的图形

是否为二面角的平面角?与二面角的平面角的大小有什么关系?

解:当两条直线相交时,所得到的图形即为二面角的平面 角.当两直线不相交时,其对应的图形不是二面角的平面角, 但这两条异面直线所成的角或其补角与二面角的大小一样.

2.3.2 │ 自学探究
? 知识点三 两平面垂直的判定定理

垂线 文字语言:一个平面过另一个平面的__________ ,则这两 个平面垂直. 符号语言:若直线AB?平面α ,AB⊥平面β ,垂足为B,则 α ⊥β ______________ (简称:线面垂直?面面垂直). 图形语言:(如图2-3-10所示)

2.3.3

直线与平面垂直的性质

2.3.4

平面与平面垂直的性质

2.3.4 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 直线和平面垂直的性质定理

平行 . 文字语言:垂直于同一平面的两条直线________ 符号语言:已知直线a,b和平面α ,若a⊥α ,b⊥α ,那 么________ a∥b . 图形语言:

图2-3-15

2.3.4 │ 自学探究
前面我们学习了空间中两直线的平行,现在让我们回顾一下 证明两直线平行的方法:

(1) 平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线平
行; (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;

(3) 线面平行的性质:一条直线与一个平面平行,则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行; (4) 面面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线平行; (5)线面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行.

2.3.4 │ 自学探究
[ 探究 ] 直线 a∥直线 b , a⊥面 α ,则 b 与 α 的位置关系为 ______________ . b⊥α

2.3.4 │ 自学探究
? 知识点二 两个平面垂直的性质定理

文 字 语 言 : 两 个 平 面 垂 直 , 则 一 个 平 面 内 垂直于交线 ________________________ 的直线与另一个平面垂直.简记为 “若面面垂直,则线面垂直”. 符号语言:若平面 α ⊥β , α ∩β = CD , AB?α 且 AB⊥CD 于B,则____________________ . AB⊥β 图形语言:

2.3.4 │ 自学探究
面面垂直的性质定理的作用: (1)判定直线与平面垂直;

(2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置.
[ 讨论 ] 由线面垂直的性质定理知垂直于同一个平面的两条

直线平行,试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗?

解:这两个平面平行或相交,可借助于教室墙壁间的关系来 解决.


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