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吉林省长春市十一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学理试题


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长春市十一高中 2014-2015 学年度高一上学期期中考试 数 学 试 题(理 科)
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. 已知集合 A ? ( x, y ) | y ? x 2 , x ? R , B ? ?( x, y ) | y ?| x |, x ? R? ,则 A ? B 中的元素个 数( A.0 ) B. 1 C.2 D.3

?

?

2.函数 f ( x) ? A. (? ,??)

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是( )
B. (? ,1)
a

1 3

1 3

C. (? , ) )

1 1 3 3

D. (??,? )

1 3

3.已知 0 ? a ? 1 ,则 a 2 、 2 、 log 2 a 的大小关系是( A. a 2 ? 2 ? log 2 a
a a

B. 2 ? a 2 ? log 2 a D. 2 ? log 2 a ? a 2
a

C. log 2 a ? a 2 ? 2

a

4.己知函数 f ( x) ? ln x ? A.(0,1) 5.已知 cos 2? ? B

x ,则函数 f ( x) 的零点所在的区间是( 4
C.(2,3) D(3,4) )

)

(1,2)

2 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为( 3
B、
2

A、 ?

2 3

2 3

C、

11 18

D、 ?

2 9

6.如果函数 y ? x ? (1 ? a ) x ? 2 在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A. a≥9 7.已知 tan ? ? ?

B.a≤-3

C.a≥5

D.a≤-7 )

? ?

??

3 ?? ? 2 ? ? , tan? ? ? ? ? , 则 tan ?? ? ? ? 的值为( 6? 7 ?6 ? 5
B.

A.

29 41

1 29
2

C.

1 41

D. 1

8. 已知函数 f ( x) ? 4 ? x , y ? g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,g ( x) ? log 2 x , 则函数 f ( x) ? g ( x) 的大致图象为( )

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9. 设方程 10

?x

?| lg x | 的两根为 x1 , x2 ,则(
B. x1 x2 ? 1

) D. 1 ? x1 x2 ? 10 )

A. 0 ? x1 x2 ? 1

C. ?1 ? x1 x2 ? 0

10.已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? 的值是( A.

2 5

B. ?

2 5

C. ?2

D. 2

11.已知角 x 的终边上一点坐标为 ? sin A.

? ?

5? 5? , cos 6 6
D.

? ? ,则角 x 的最小正值为( ?



5? 6

B.

5? 3

C.

11? 6

2? 3

12.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 ? a, b ? 上的两个函数,若对任意的 x ? ? a, b ? ,都有 , ? a, b ? 称为“密切区间” , | f ( x) ? g ( x) |? 1 ,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 ? a, b ? 上是“密切函数” 设 f ( x) ? x ? 3 x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 ? a, b ? 上是“密切函数” ,则它的“密切区间”可以
2

是( A. [1, 4]

) B. [2, 4] C. [2,3] D. [3, 4]

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.当 a>0 且 a≠1 时,函数 f ( x ) ? a
x?2

? 3 必过定点

.

14 . 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 在 定 义 域 [?1, n] 上 的 值 域 为 [?1,3] , 则 实 数 n 的 取 值 范 围 是 .

15.设 a ? cos 420 ? ,函数 f ( x) ? ?

?a x , x ? 0, ?log a x, x ? 0,

,则 f ( ) ? f (log 2 ) 的值等于 .

1 4

1 6



16. tan 3? tan 27? ? tan 3? tan 60? ? tan 60? tan 27? ? 三.解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17.( 本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 , x2 ? 6

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(1)求 f ( x) 的解析式及其定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性及其单调性。 18.( 本小题满分 10 分) 已知 sin ? ?

4 5 ? ? 3 , sin(? ? ? ) ? 3 , ? ? (0, ) , ? ? ? ? ( , ? ) ,求 ? 的值. 7 14 2 2

19.( 本小题满分 12 分)

5 ? ,且 ? ? ( , ? ) . 13 2 (1)求 tan ? 的值; cos 2? (2)求 的值. π 2 sin(? ? ) 4
已知 sin ? ? 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? 3 , g ( x) ? x ? 2 x ? m .
2

a 1 ? 在区间 ?0,1? 上的最大值是 2,求实数 a 的值. 4 2

(1)求证:函数 f ( x) ? g ( x) 必有零点; (2)设函数 G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 1 ,若 | G ( x) | 在 [?1,0] 上是减函数,求实数 m 的取值范 围.

2014—2015 学年高一上学期中考试数学参考答案(理科)
一、DBBBA ADDAA BC 二、13、(2,-2) 14、[1,3] 三、17、解析:
2

15、8

16、1

(1)∵

x 2 ? 3? ? 3 ? x2 f ( x ? 3) ? lg 2 ? lg 2 x ?6 ? x ? 3? ? 3

f ( x) ? lg
,∴

x?3 x ? 3 ,?????3 分

x2 ?0 2 2 又由 x ? 6 得 x ?3 ? 3,

? 3, ?? ? 。???????5 分 ∴ f ( x) 的定义域为

(2)∵ f ( x) 的定义域不关于原点对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数。?????7 分

f ( x) ? lg


x?3 x?3 6 ? 1? x ? 3 是由函数 u= x ? 3 x ? 3 ,与 y ? lg u 复合得到

∴复合函数的单调性判断原则可知, f ( x) 在区间 ? 3, ?? ? 上单调递减. ????10 分

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18、解析:由已知得 cos ? ?

1 , 7

cos(? ? ? ) ? ?

11 , 14 1 , 2

∴ cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? 又∵ ? ? (0,

) , ? ? ? ? ( , ? ) ,∴ ? ? ?? ? 0 ,所以 0 ? ? ? ? , ∴ ? ? . 2 2 2 3 5 ? 19、解析: (1)因为 sin ? ? ,且 ? ? ( , ? ) , 13 2 12 所以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? . 13 sin ? 5 所以 tan ? ? ?? . cos ? 12
(2)因为

?

?

?

?

cos 2? π 2 sin(? ? ) 4

?

cos 2 ? ? sin 2 ? π π 2(sin ? ? cos ? cos ? ? sin ) 4 4

?

cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ?

12 5 17 ? ?? . 13 13 13 cos 2? 17 所以 ?? . π 13 2 sin(? ? ) 4 ??

a 2 a2 a 1 a 20、解析: f ( x) ? ?( x ? ) ? ? ? ,对称轴 x ? 2 4 4 2 2
a a 1 ? 0 即 a ? 0 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递减, f ( x) max ? f (0) ? ? ? ? 2 2 4 2 此时可得 a ? ?6 4分
(1) (2) 0 ?

a a2 a 1 a ? ? ?2 ? 1 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 4 4 2 2
8分

此时可得 a ? ?2 或 a ? 3 ,与 0 ? a ? 2 矛盾,舍去。 (3)

a a 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a ? ? ? 2 2 4 2 10 此时可得 a ? 3 10 综上所述: a ? ?6或a ? 3
21. 解析: (1) f ( x) ? g ( x) ? mx ? 3 ? ( x ? 2 x ? m) ? ? x ? (m ? 2) x ? 3 ? m ,则
2 2

? ? (m ? 2) 2 ? 4(3 ? m) ? m 2 ? 8m ? 16 ? (m ? 4) 2 ? 0 ,知函数 f ( x) ? g ( x) 必有零点;

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2 2

(2) | G ( x) |?| ? x ? ( m ? 2) x ? 2 ? m |?| x ? ( m ? 2) x ? m ? 2 | ,

? ? (m ? 2) 2 ? 4(m ? 2) ? (m ? 2)(m ? 6) ,
① 当 ? ? 0 ,即 2 ? m ? 6 时, | G ( x) |? x ? ( m ? 2) x ? m ? 2 ,
2

若 | G ( x) | 在 [?1, 0] 上是减函数,则

② 当 ? ? 0 ,即 m ? 2 或 m ? 6 时, 若 m ? 2 ,则

m?2 ? 0 ,即 m ? 2 ,∴ 2 ? m ? 6 时,符合条件, 2

m?2 m?2 ? 0 ,要使 | G ( x) | 在 [?1, 0] 上是减函数,则 ? ?1 ,∴ m ? 0 , 2 2 m?2 m ? 0或m ? 2. 若m ? 6, 则 显然 | G ( x) | 在 [?1, 0] 上是减函数, ∴m ? 6, 综上, ? 2, 2


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