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4.1.1有理指数 (1)


4.1 指数与指数函数

国王要奖赏国际象棋的发明者,让他自己提要求,发明者提的要求是: “请在棋盘的第1个格子里放上1 颗麦粒,在第2个格子里放上2 颗麦粒,第3 个格子里放上4 颗麦粒,第4个格子里放上8 颗麦粒,依此类推,每个格子里 放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍,直到第64个格子.” 国王听了很高 兴,觉得这太容易了.你觉得国王真的很容易就能满足发明者的要求吗?
1 2 22 23

这些格子里放的小麦数依次是: 1, 2, 22, ? ,263 . 总和是:1+2+ 22+ ? +263 .

?? ≈9 ×1018 颗
能供全球60亿人 吃近4000年
262 263

分析:

第 1 格放的麦粒数是 1;

第 2 格放的麦粒数是 2;

第 3 格放的麦粒数是2×2;
2个2

第4格放的麦粒数是2×2×2;
3个 2

第5格放的麦粒数是2×2×2×2;

??

4个 2

分析: 第 64 格放的麦粒数是 2×2×2×…×2 63 个 2 可 表 示 为

2 63

一、正整指数 一般地,a n(n ? N+)叫做 a 的 n 次幂. 幂 an 指数(n?N+)

底数

规定:
a 1= a .

(1)2 3×2 4 = (2)( 2 3 ) 4 = (3) 24 23 =

; a m? a n= ; ; ; ( a m) n= am an = ( a b ) m=

; ; ( m > n,a ≠ 0 ); .

(4)( x y ) 3=

正整指数幂的运算法则:

计算:
23 23 = 1


20 = 1

=23-3

=20





a 0= 1 ( a ≠ 0 )

二、零指数
a 0 = 1(a ≠ 0 ) 练习2 (1)8 0 = ; ;

(2)(-0.8 ) 0 =

(3)式子 ( a-b ) 0 =1 是否恒成立?为什么?

am 如果取消 an =am-n(m>n,a≠0)中m>n的 限制,如何通过指数的运算来表示? 计算: 3 1 1 3 2 2 (1) 4 = 2 ; (2) 5 = 4 ; 2 2 =23-4 =23-5 =2-1 1 2- 1 = 2 规 定 a-n= 1n (a≠0,n?N+) a =2-2 2-2 = 1 22

a-1= 1(a≠0) a

三、负整指数
a-1 = 1 ( a ≠ 0) a
a-n = 1n (a ≠ 0,n ? N+ ) a 练习3

(1)8-2 =
(2)0.2-3 =


; 1 是否恒成立?为什么? 4 (a-b)

(3)式子(a-b)-4 =

数系
整数 有理数 实数 无理数 分数

正整数 零 负整数

练习4
(1)( 2 x )-2 = ;(2)0.001-3 = ;

3 x (3)( 2 )-2 = y

x2 ;(4) 2 = b x



1.指数幂的推广 正整指数幂

零指数幂

负整指数幂
整数指数幂

2 .规定: a 0 = 1( a ≠ 0 ); a-1 =

a-n = 1n ( a ≠ 0 ,n ? N+ ). a

1( a ≠ 0 ); a

3.正整指数幂的运算法则对整数指数幂成立: (1) a m ? a n = a m+n;(2) ( a m ) n = a m n ; ( 3) ( a b ) m = a m b m .

教材P105,练习 第 1,2 题

(1) (-a 2) 3 = (2) ( 2x 3 ) -2 =

; ;

(3) ( -1 ) -1 =
(4) 3a -3= ;




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