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四川省雅安中学2016届高三9月月考数学(文)试题 Word版含答案


3
雅安中学 2015-2016 学年高三上期 9 月月考 数学试题(文史类)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求的。 1. 设集合 P= {1,2,3} ,集合 Q= {x | 2 ? x ? 3} ,那么下列结论正确的是 A. P∩Q=Q B. Q ? P∩Q C.P∩Q ? P D. P∩Q=P

2. 已知函数 f ( x) ? x sin x ,则函数 f ( x) A.是偶函数但不是奇函数 C.是奇函数也是偶函数 B.是奇函数但不是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

? 3. 函数 y ? sin(2 x ? ) 图像的对称轴方程可能是 3 ? ? ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? 6 12 12 3 ? 2i 3 ? 2i ? ? 4. 复数 2 ? 3i 2 ? 3i
A. 2 i B. ? 2i C.2

D. x ?

?
6

D.0

5. 设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要不充分条件,那 么丁是甲的 A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 设 y ? f ( x) 是一次函数,若 f (0) ? 1, 且f (1), f (4), f (13)成等比数列 ,则 f(2)+f(4)+? +f(2n)= A.2n(n+4) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.n(2n+3)

7.设命题 p :在直角坐标平面内,点 M (sin? , cos? ) 与 N ( ? ? 1, ? ? 2 )(? ? R) 在直 线 x ? y ? 2 ? 0 的异侧; 命题 q : 若向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , 则 a与b 的夹角为锐角. 以 下结论正确的是 A. “ p ? q ”为真, “ p ? q ”为真 B. “ p ? q ”为假, “ p ? q ”为真”

-1-

C. “ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假”

D. “ p ? q ”为假, “ p ? q ”为假

8.过Δ ABC 的重心任作一直线分别交 AB、 AC 于点 D、 E, 若 AD ? x AB, AE ? y AC, xy ? 0 , 则 1 ? 1 的值为
x y

A.1

B. 2

C. 3

D.4

9. 设 P 表示平面图形, m( P ) 表示 P 所表示平面图形的面积.已知

A ? ( x, y) | ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , r ? 0
m( A ? B ) ? 1 m( A) ,则下列恒成立的是 2

?

?



B ? ?( x, y) | 2 x ? 3 y ? 5 ? 0?





A. 2a ? 3b ? 5 ? 0 C. 2a ? 3b ? 5 ? 0

B. 2a ? 3b ? 5 ? 0 D. 2a ? 3b ? 5 ? 0

10.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,点 A 坐标为(1,2),点 B 坐标为(3,0). 定义函数 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? 1) .则函数 g(x)最大值为
2 y A

A.0

B.1

C.2

D.4
B o 1 3 x

11.对于函数 f ( x) ? lg x 定义域中任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 有如下结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ); ③
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ); ④ f(
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

上述结论中正确的序号是: A.② B.②③ C.②③④ D.①②③④

12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都 有 f ( x) ? 0 ,则 A. 3
f (1) 的最小值为 f '(0)

B.2

C.

5 2

D.

3 2

-2-

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13. 已知向量 a 和向量 b 方向相同,且 | a |? 2,| b |? 3 ,则 a ? b ? ___________.

?

?

?

?

? ?

? 34 ? 1(0 ? x ? 2) ? 14.设 f ( x) ? ?10 ? x ,若 f ( x) ? 2 ,则 x 的取值范围为 ?10 ? 2 x (2 ? x ? 8) ?
15.设曲线 y ? x 4 ? ax ? b 在 x=1 处的切线方程是 y ? x ,则 a ? 16.某

____



,b ?

.

化肥厂生产甲、乙两种肥料,生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18 吨;生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲种肥料 产生的利润是10万元,生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10 吨、硝酸盐66 吨.如果该厂合理安排生产计划,则可以获得的最大利润是_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.(10 分)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). 3? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 4 (Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间

18.(12 分) 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (Ⅰ)求{an}的通项公式;
?an? ? ? (Ⅱ)求数列?2n?的前 n 项和 Sn. ? ? ? ?

-3-

2 19.(12 分) 已知函数 f(x)=x2-3ax3(a>0),x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若该函数在区间(2,4)上有单调性,求 a 的取值范围.

20. (12 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式. (Ⅱ)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800? 若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

-4-

21. (12 分)在△ABC 中,A,B,C 为三个内角 a,b,c 为三条边,
b sin 2C ? . a ? b sin A ? sin 2C (Ⅰ)判断△ABC 的形状;

?
3

?C?

?
2



(Ⅱ)若 | BA ? BC |? 2, 求BA? BC 的取值范围.

-5-

22. (12 分)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III) 当 x ?? ? 1 ,1 函数 y ? ? 时,
f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,

求 m 的取值范围.

-6-

雅安中学 2015——2016 学年高三年级上期 9 月月考

数学试题(文史类) 参考答案
一选择题 题号 1 答案 C 2 A 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 C 9 C 10 B 11 B 12 B

二填空题 13、2 3 ;14、[0,3];15、a=-3,b=3;16、30 万元; 三解答题 17、(Ⅰ) f (
3? ) =0?????????????????????????4 分 4

(Ⅱ) 因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1,????????????????6 分 4? ? 2π 所以 T= =π ,故函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z.???????12 分 8 8? ?

18、(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3.
1 3 由题意得 a2=2,a4=3.求得数列{an}的公差为故 d= ,从而得 a1= . 2 2 1 所以{an}的通项公式为 an= n+1. ??????????????????6 分 2
?an? an n+2 (2)设?2n?的前 n 项和为 Sn,由(1)知 n= n+1 , 2 2 ? ?

n+1 n+2 3 4 则 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 n+1 n+2 1 3 4 S = + +?+ n+1 + n+2 , 2 n 23 24 2 2 两式相减得 1 1 1 n+2 3 1 n+2 1 3 S = +? 3+?+2n+1?- n+2 = + ?1-2n-1?- n+2 , 2 n 4 ?2 4 4? ? 2 ? 2 n+4 所以 Sn=2- n+1 ????????????????????????12 分 2

-7-

19、 解:
1 (1)由已知,有 f′(x)=2x-2ax2(a>0).令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= . a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 ?0,1? ?1,+∞? x 0 (-∞,0) a ? a? ?a ? 0 0 f′(x) - + - 1 f(x) 0 ? ? ? 3a2 1? ?1 ? 所以,f(x)的单调递增区间是? ?0,a?;单调递减区间是(-∞,0),?a,+∞?.???6 分 当 x=0 时,f(x)有极小值,且极小值 f(0)=0; 1 ?1? 1 当 x=a时,f(x)有极大值,且极大值 f a =3a2.????????????????8 分 ? ? (2)由(1)的单调性易求得 a 的范围: (0, ] ? [ ,?? ) ????????????12 分

1 4

1 2

20 解:
(1)设数列{an}的公差为 d, 依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4, 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. ?????????????6 分 (2)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立.????????????8 分 n[2+(4n-2)] 当 an=4n-2 时,Sn= =2n2. 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41. ???????12 分 21、解:

(1)由

b sin 2C ? a ? b sin A ? sin 2C ? B ? 2C 或 B ? 2C ? ?

及正弦定理知: sin B ? sin 2C
2 ? ? B ?? 3

若 B ? 2C ,由

?
3

?C ?

?
2



所以 B ? C ? ?,舍去
由B ? 2C ? ?知A ? C

??????????????????6 分 故?ABC为等腰三角形

(2)? | BA ? BC |? 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 4

-8-

? cos B ?
?1 ? a 2 ?

2 ? a2 而 cos B ? ? cos 2C a2
4 3

?

1 ? cos B ? 1 2

2 ? BA ? BC ? a 2 cos B ? 2 ? a 2 ? ( ,1) ?????????????12 分 3 22、解: (I) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点, 所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6 ?????????2 分

? ? 2 ?? (II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ? ? ? ? ? m ?? 2 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ? ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m 2? 2 ? 2 ? ? 1? 1 ?1, ??? x ? ??,1 ? ? ?1 ? ,1? m? m ? ? m ?
f ?( x )

单调递减

0 极小值

+ 单调递增

0 极大值

单调递减

f ( x)

2 2? ? 故当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? ? 、 (1, ??) 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增. m m? ?

????????????????????????????????7 分 (III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0
2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m

又 m ? 0 所以 x 2 ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 所以 ? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 ?? m m 3 3 ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
? 4 ? 即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? ??????????????????????12 ? 3 ?



-9-


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