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北京师范大学附属实验中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

北师大附属实验中学
2015-20 16 学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷(一卷) 班级 试卷说明: 1、本试卷分一、二两卷; 2、本试卷考试时间为 120 分钟;总分为 150 分,试卷一 100 分,试 卷二 50 分; 3、试卷一共有三页,共有三道大题,15 道小题. 试卷二共有七页,共有两道大题,7 道小题. 4、第一题答案写在答题卡上,其余题目一律写在答题纸上. 命题人:黄珲 审阅人:姚玉平 分层班级 姓名 学号 分数

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号填在答题卡上) 1.设集合 A ? {?1,0,1 } , B ? {x ? R | x ? 0 } ,则 A (A) {?1,0} 2.函数 f ( x) ? (A) (??, 2) (B) {?1} (C) {0,1} ) (C) (??, 2] (D) (2, ??)

B ?(

) (D) {1}

1 的定义域是( x?2
(B) [2, ??)

3.已知幂函数 y = f ( x ) 的图象过点( (A)

1 2 , ) ,则 f ( 2 ) 的值为( 2 2
(C)2



2

(B)-

2

(D)-2 )

4. 已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 0.1, c ? 0.2 1.3 ,则实数 a, b, c 的大小关系是( (A) c ? a ? b (C) a ? b ? c (B) a ? c ? b (D) b ? c ? a )

5.下列函数中,既是偶函数又在(0, +? )上单调递增的函数是(

(A) y = x 3
3

(B) y =| x | +1
x

(C) y = - x 2 + 1

(D) y = 2 -|x| )

?1? 6.设函数 y ? x 与 y ? ? ? 的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是( ?2?
(A) (0, 1) (B) (1 , 2) (C) (2, 3) (D) (3, 4)

7.已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ,则 x ? 0 时,函数

f ( x) 的表达式为 f ( x) =(
(A) x ? 2 x
3 2


3 2

(B) x ? 2 x

(C) ? x ? 2 x
3

2

(D) ? x ? 2 x
3

2

8. 函数 f ( x) 的图象向 右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y ? e x 关于 y 轴对称,则
f ( x) ? (

) (B) e x ?1 (D) e? x ?1

(A) e x ?1 (C) e? x ?1

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答题纸上) 9.满足关系式 ?2,3? ? A ? ?1,2,3,4? 的集合 A 的个数是____________. 10.函数的图象经过的定点坐标是__________. 11. 某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间
2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15

加油量(升)
12
48

加油时的累计里程(千米)
35000 35600



注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为___________升. 12. 已知定义域为 ?0,??? 的函数 f ?x ? 满足: (ⅰ)对任意 x ? ?0,?? ?,恒有 f ?2 x ? ? 2 f ?x ? 成立; (ⅱ)当 x ? ?1,2? 时, f ?x? ? 2 ? x 。

给出的下列结论,其中所有正确结论的序号是________. ①对任意 m ? Z ,有 f 2 m ? 0 ; ③存在 n ? Z ,使得 f 2 n ? 1 ? 9 ;

? ?

②函数 f ?x ? 的值域为 ?0,??? ; ④“函数 f ?x ? 在区间 ?a, b ? 上单调递减”的充要条

?

?

件是“存在 k ? Z ,使得 ?a, b? ? 2k ,2k ?1 ” 。 三.解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上) 13. (本题满分 13 分) 已知 A= {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B= {x | ax ? 2 ? 0} 且 ,求实数 a 的值.

?

?

14.(本题满分 13 分) 已知函数错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。. (1)求实数 k 的值及函数的定义域; (2)判断函数在 (1,??) 上的单调性,并用定义加以证明.

15.( 本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) 的图象过点(0,4) ,对任意 x 满足 f ( 3 - x ) = f ( x ) ,且最小值 是

7 . 4
(1)求 f ( x ) 的解析式. (2)求函数 h ( x ) = f ( x ) - ( 2t - 3) x 在区间[0,1]上的最小值错误!未找到引用

源。( t

?R).

[来源:学&科&网]

(3)在区间[-1,3]上, y = f ( x ) 的图象恒在函数 y = 2 x + m 的图象上方,试 确定实数 m 的范围.

北师大附属实验中学

2015-2016 学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷(二卷)
班级 分层班级 姓名 学号 分数

四、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案的序号填在答题纸上) 16.如图,函数 f ( x) 的图象为折线 ACB ,则不等式
y

f ( x) ≥ log2 ( x ? 1) 的解集是________ .
17. 函 数 y ? l o g 1 (?3 ? 4 x ? x ) 的 单 调 递 增 区 间 是
2 3

2 C

A ?1

O

B 2

x

________ . 18. (lg 2) ? lg 2 ? lg 5 ?
2

log3 5 的值为__________. log3 10

? 2x ? a, x ? 1, ? 19.设函数 f ( x) ? ? ? ?4( x ? a)( x ? 2a), x ≥1.

① 若 a ? 1 ,则 f ( x) 的最小值为_______; ② 若 f ( x) 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是_______.

五、解答题(见答题纸)

北师大附属实验中学
2015-2016 学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷 (答题纸)

班级
9. 11.

分层班级

姓名
10. 12.

学号

分数

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答题纸上)

三.解答题(本大题共 3 小 题,共 40 分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上) 13. (本题满分 13 分) 已知 A= {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B= {x | ax ? 2 ? 0} 且 B A,求实数 a 的值.

14.(本题满分 13 分) 已知函数错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。. (1)求实数 k 的 值及函数的定义域;

(2)判断函数在 (1,??) 上的单调性,并用定义加以证明.

[来源:学&科&网]

15.( 本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) 的图象过点(0,4) ,对任意 x 满足 f ( 3 - x ) = f ( x ) ,且最小值 是

7 . 4

(1)求 f ( x ) 的解析式. (2)求函数 h ( x ) = f ( x ) - ( 2t - 3) x 在区间[0,1]上的最小值错误!未找到引用 源。( t

?R).

(3)在区间[-1,3]上, y = f ( x ) 的图象恒在函数 y = 2 x + m 的图象上方,试 确定实数 m 的范围.

四、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案的序号填在答题纸上) 16. 18. 17. 19.

五、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上)

20. (本小题满分 10 分) 为配合国庆黄金周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现:开始售票前, 已有 a 人在排队等候购票.开始售票后,排队的人数平均每分钟增加 b 人.假设每个窗 口的售票速度为 c 人/min,且当开放 2 个窗口时,25min 后恰好不会出现排队现象(即排 队的人刚好购完);若同时开放 3 个窗口,则 15min 后恰好不会出现排队 现象.若要求售 票 10min 后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口?

北师大附属实验中学
2015-2016 学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷 (答题纸)
班级 分层班级 姓名 学号 分数
21.(本小题满分 10 分)

已知定义域为 R 的函数 (1)求 f ( x) ;
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

f ( x) ?

?2 x ? b 2 x ?1 ? 2 是奇函数.

(2)判断函数 f ( x) 的单调性(不必证明) ; (3)解不等式错误!未找到引用源。.

22. (本小题满分 10 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, ① f ( x) 在 [m,

n] ? D ,同时满足:

n] 内是单调函数; n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] .则称 [m, n] 是该函数的“和谐

②当定义域是 [m,

区间” . (1)求证:函数 y ? 3 ? (2)已知:函数 y ?

5 不存在“和谐区间” . x

(a 2 ? a) x ? 1 ( a ? R, a ? 0 )有“和谐区间” [m, n] ,当 a 变 a2x

化时,求出 n ? m 的最大值.

2015-2016 学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷参考答案
一、选择题 D D A B B A A D 11. 8 12.①②④ 二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答题纸上) 9. 4 10. (-1,-1) 三.解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上) 13. (本题满分 13 分) 已知 A= {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B= {x | ax ? 2 ? 0} 且,求实数 a 的值. 解: …………3 分 …………6 分

当 B= ? 时, a ? 0 ,
2

当 B ? ? ,由 x ? 3x ? 2 ? 0 得 x ? 1或x ? 2 。 当 x ? 1 时, a ? 2 ,当 x ? 2 时, a ? 1 ,…………12 分 综上,

a?0

,1,2

…………13 分

14.(本题满分 13 分) 已知函数错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。. (1)求实数 k 的值及函数的定义域; (2)判断函数在 (1,??) 上的单调性,并用定义加以证明. 略解: (1)错误!未找到引用源。,定义域为 {x ? R | x ? 0} ; (2)为增函数. …………6 分 …………4 分

在 (1,??) 任取两数 x1 , x 2 .设 x 2 ? x1 ? 0 ,则

因为错误!未找到引用源。 ,所以 x 2 ? x1 ? 0 ,错误!未找到引用源。 ,

所以 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,所以 f ( x) 为增函数. …………13 分

15.( 本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) 的图象过点(0,4) ,对任意 x 满足 f ( 3 - x ) = f ( x ) ,且最小值 是

7 . 4
(1)求 f ( x ) 的解析式. (2)求函数 h ( x ) = f ( x ) - ( 2t - 3) x 在区间[0,1]上的最小值错误!未找到引用

源。( t

(3)在区间[-1,3]上, y = f ( x ) 的图象恒在函数 y = 2 x + m 的图象上方,试 确定实数 m 的范围.

?R).

[来源:学科网 ZXXK]

四、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案的序号填在答题纸上) 16. {x | ?1 ? x ≤1} 19. ① -1 17. 错误!未找到引用源。 18. 1

② 错误!未找到引用源。

五、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上) 20. (本小题满分 10 分) 为配合国庆黄金 周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现:开始售票前, 已有 a 人在排队等候购票.开始售票后,排队的人数平均每分钟增加 b 人.假设每个窗 口的售票速度为 c 人/min,且当开放 2 个窗口时,25min 后恰好不会出现排队现象(即排 队的人刚好购完);若同时开放 3 个窗口,则 15min 后恰好不会出现排队现象.若要求售 票 10min 后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口? [解析] 设至少需要同时开 x 个窗口,则根据题意有, a+25b=50c ① ? ? ?a+15b=45c ② ? ?a+10b≤10cx ③

.………………6 分

由①②得,c=2b,a=75b,代入③得,

.………………8 分

[来源:Z&xx&k.Com]

17 75b+10b≤20bx,∴x≥ , 4 即至少同时开 5 个窗口才能满足要求. 21.(本小题满分 10 分) 已知定义域为 R 的函数 (1)求 f ( x) ;

.………………9 分 .………………10 分

f ( x) ?

?2 x ? b 2 x ?1 ? 2 是奇函数.

(2)判断函数 f ( x) 的单调性(不必证明) (3)解不等式错误!未找到引用源。. 解: (1) 因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以

?1? b ? 0, 解得 b ? 1 2?a ?2 x ? 1 f ( x) ? x ?1 2 ? 2 ………………….2 分 从而有 f (0) ? 0, 即
经检验,符合题意. (2)由(1)知 f ( x) ?
x

………………….3 分

? 2x ?1 1 1 ?? ? x , x ?1 2 2 ?1 2 ?2
……………….6 分

由 y ? 2 的单调性可推知 f ( x ) 在 R 上为减函数

(3) f ( x ) 在 R 上为减函数且是奇函数,从而不等式 错误!未找到引用源。等价于错误!未找到引用源。 …………………7 分 因 f ( x ) 是 R 上的减函数,由上式推得错误!未找到引用源。 ………………8 分 解得 x ? R …………10 分

22. (本小题满分 10 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, ① f ( x) 在 [m,

n] ? D ,同时满足:

n] 内是单调函数; n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] .则称 [m, n] 是该函数的“和谐

②当定义域是 [m, 区 间” .

(1)求证:函数 y ? 3 ? (2)已知:函数 y ?

5 不存在“和谐区间” . x

(a 2 ? a) x ? 1 ( a ? R, a ? 0 )有“和谐区间” [m, n] ,当 a 变 a2x

化时,求出 n ? m 的最大值. [解析] ( 1 ) 设 [m,

n] 是 已 知 函 数 定 义 域 的 子 集 . ? x ? 0 , [m, n] ? (? ?, 0) 或
5 在 [m, n] 上单调递增. x

[m, n] ? (0, ? ?) ,故函数 y ? 3 ?
若 [m,

? g (m) ? m n] 是已知函数的“和谐区间” ,则 ? ? g (n) ? n

5 ? x 的同号的相异实数根. x 5 .………………5 分 ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 无实数根,? 函数 y ? 3 ? 不存在“和谐区间” x
故 m 、 n 是方程 3 ? ( 2 ) 设 [m,

n] 是 已 知 函 数 定 义 域 的 子 集 . ? x ? 0 , [m, n] ? (? ?, 0) 或

(a 2 ? a) x ? 1 a ? 1 1 ? ? 2 在 [m, n] 上单调递增. [m, n] ? (0, ? ?) ,故函数 y ? 2 a a x a x
若 [m,

? f (m) ? m n] 是已知函数的“和谐区间” ,则 ? ? f (n) ? n
a ?1 1 ? 2 ? x ,即 a 2 x ? (a 2 ? a) x ? 1 ? 0 的同号的相异实数根. a a x

故 m 、 n 是方程

? mn ?

1 ? 0 ,?m , n 同号,只须 ? ? a 2 (a ? 3)(a ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 或 a ? ?3 时, 2 a

已知函数有“和谐区间” [m,

1 1 4 n] ,? n ? m ? (n ? m) 2 ? 4m n ? ? 3( ? ) 2 ? , a 3 3
2 3 3

? 当 a ? 3 时, n ? m 取最大值


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