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【教师原创整理】江苏省南通市2015届高三数学总复习优秀资源课件:第20讲 任意角的三角函数


第20讲 任意角的三角函数

江苏省南通第一中学

主要内容
一、廓清疑点 判断函数值的符号. 二、突破难点 判断角的范围. 三、聚焦重点 求三角函数式的值.

廓清疑点:判断三角函数值的符号

问题研究
如何判断三角函数值的符号?

基础知识
任意角的三角函数的定义:
y

P( x, y)

r
α
O

设? 的终边上任意一点 P(x,y) , 它与原点距离 r= x 2 ? y 2 .

x

y x y sin ? ? ;cos ? ? ; tan ? ? ( x ? 0). r r x

基础知识
三角函数的值在各象限的符号:

+

+

_

+ +

_
+

+

_

_

_

_

正弦函数

余弦函数

正切函数
y tan ? ? x

y sin ? ? r

x cos ? ? r

基础知识
三角函数的诱导公式:
π 3π 2kπ + ? , π ? ? , ? ? , 2 π ? ? , ? ? , ?? 2 2
sin( π ? ? ) ? sin ? ,
tan(2π ? ? ) ? ? tan ? ,
.

cos( π ? ? ) ? ? cos ? , π cos( ? ? ) ? sin ? . 2

名不变,符号看象限.

名变,符号看象限.

经典例题1
例 1 确定下列各式的符号:

(1)sin100o ? cos240o ;

(2)sin5 + tan5.

思路分析
例1 确定下列各式的符号:
(2)sin5 + tan5.

5是锐 角吗?

(1)sin100o ? cos240o ,

思路1:直接正确判断角所在的象限.

诱导公 式易错

思路2:利用诱导公式把所给的角化为锐角. 思路3:利用同角三角函数关系,切化弦.

求解过程
解法一 (1)∵100° 是第二象限的角,sin100 > 0, 240° 是第三象限的角, cos240 < 0. ∴ sin100? ? cos240? < 0.
正确判断角 所在的象限

3 (2)∵ π < 5 < 2π, ∴5 是第四象限的角. 2 ∴sin5 < 0,tan5 < 0,

于是有 sin5 + tan5 < 0.

求解过程
解法二 (1)∵ ∴

sin100 = sin(180 ? 80 ) = sin80 > 0,
sin100 ? cos240 < 0.

cos240 = cos(180 + 60 ) = ?cos60 ? 0.
诱导公式不能 错啊!

3 π π < 5 < 2 π, ? 0 < 2π ? 5 < . ( 2) 2 2 又 sin5 = ?sin(2 π ? 5) < 0, tan5 = ?tan(2 π ? 5) < 0,

∴sin5 + tan5 < 0.

求解过程
解法三
3 π < 5 < 2π, ∴5 是第四象限的角. ( 2) 2 ?sin5 < 0, cos5 > 0, sin5 1 + cos5 = sin5 ? ( ) < 0. ∴sin5 + tan5 = sin5 + cos5 cos5

切化弦

回顾反思
思想方法:把任意角化归为特殊角(锐角、钝角).
知识基础:三角函数定义,诱导公式. 解题关键: 各象限内三角函数值的符号,熟记公式. 思维误点:角度与弧度.

经典例题2
例2 化简 1 ? 2 sin( π ? 2)cos( π ? 2) .

思路分析
例2 化简 1 ? 2 sin( π ? 2)cos( π ? 2).

目标:去根号. 策略:从最复杂的地方“开刀”. 工具:诱导公式. 技巧:“1”的代换.

易错点1

求解过程
解 原式= 1 ? 2 sin 2 ? cos 2 = sin 2 2 ? cos 2 2 ? 2 sin 2 ? cos 2
易错点2

= (sin 2 ? cos 2)2 ? sin 2 ? cos 2 ,
π < 2 < π,? sin 2 ? 0,cos 2 ? 0. 2 ? 原式 ? sin 2 ? cos 2.

回顾反思
关注:题目的结构特征. 引领:目标决定解题策略. 消除:已知与需求的差异.

技法:“1”的妙用.

突破难点:判断角的范围

问题研究
如何判断角所在的象限?

基础知识
1.与角? 终边相同的角的集合是 {? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z}.
2.象限角的表示 (k ? Z)
π ? 为第一象限角: 2kπ ? ? ? ? 2kπ, 2 π ? 为第二象限角: ? 2kπ ? ? ? π ? 2kπ, 2 3π ? 2kπ, ? 为第三象限角: π ? 2kπ ? ? ? 2 3π ? 为第四象限角: ? 2kπ ? ? ? 2 π ? 2kπ. 2

经典例题3
例3 若角α 是第二象限角,且 | cos

?

判断

?

|? ? cos , 2 2

?

2

是第几象限角?

思路分析
例3 若角α 是第二象限角,且 | cos

?

判断

?

|? ? cos , 2 2

?

2

是第几象限角?

适用题型

思路1:特例探果;

思路2:从角α 是第二象限角,到

?
2

所在的象限.

求解思路
π 解 ∵? 是第二象限角, ∴ 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? π(k ? Z), 2 π ? π 则 kπ ? ? ? kπ ? (k ? Z) . 4 2 2

π ? π ? 当 k ? 2n(n ? Z), 2nπ ? ? ? 2nπ ? , 在第一象限. 4 2 2 2 5π ? 3π ? ? ? 2nπ ? , 在第三象限. 当 k ? 2n ? 1(n ? Z), 2nπ ? 4 2 2 2

? 为第几象限角? 3 ? ∴ 在第二、三象限, x 轴负半轴上或 y 轴上. 2 ? ∴ 在第三象限. 2

又 | cos

?

|? ? cos , ? cos ≤ 0. 2 2 2

?

?

回顾反思
从题型的差异中窥测解题的基本策略,
从条件的差异中寻求解题的思维方向,

从特例的研究中预知解题的最后结果,
从一般的结论中获取解题的基本方法.

聚焦重点:求三角函数式的值

问题研究
如何由已知角求其三角函数值?

基础知识
同角三角函数的基本关系

sin2 ? ? cos2 ? ? 1; sin ? tan ? ? ; cos ? (sin? ? cos ? )2 ? 1 ? 2 sin? ? cos ? .

经典例题4
3 例 4 若 tan ? ? , 求下列各式的值: 4 si n? ? cos ? (1) ; (2) s i n 2? ? 2 cos2 ? . sin ? ? cos ?

思路分析
3 例 4 若 tan ? ? , 求下列各式的值: 4 si n? ? cos ? (1) ; (2) s i n 2? ? 2 cos2 ? . sin ? ? cos ?

思路 1
思路 2
思路 3

求出s i n α、c o α s 的值.
3 将已知切化弦 sinα= cosα . 4
目标式弦化切.

解法一
略解

求解过程
3 tan ? ? > 0,?? 是第一、三象限的角. 4

基本量法

3 4 ? 是第一象限的角,解得si n? = , cos ? ? ; 5 5 si n? ? cos ? 1 23 2 2 =? ; si n ? ? 2 cos ? ? ? . ∴ sin ? ? cos ? 7 25 3 4 ? 是第三象限的角,解得si n? = - , cos ? ? ? . 5 5 si n? ? cos ? 1 23 2 2 =? ; si n ? ? 2 cos ? ? ? . ∴ sin ? ? cos ? 7 25

解法二

切化弦 3 sin ? 3 3 解 tan ? ? , 即 ? ,sin ? ? cos ? . 4 cos ? 4 4 si n ? ? cos ? (1) sin ? ? cos ? 3 1 cos ? ? cos ? ? cos ? 1 4 4 ? = ?? ; 3 7 7 cos ? ? cos ? cos ? 4 4 (2) s i n 2? ? 2 cos2 ? 9 cos 2 ? ? 2 cos 2 ? 2 2 si n ? ? 2 cos ? 16 23 ? = =- . 2 2 9 si n ? ? cos ? 25 2 2 cos ? ? cos ? 16

求解过程

解法三 求解过程 si n? ? cos ? (1) sin ? ? cos ? si n? 3 ?1 ? 1 tan ? ? 1 4 cos ? ? = ? =sin ? 3 tan ? ? 1 ?1 ?1 cos ? 4

弦化切
1 ; 7

(2) s i n 2? ? 2 cos2 ?
s i n 2? ? 2 cos 2 ? t an 2? ? 2 23 ? = =- . 2 2 2 s i n ? ? cos ? t an ? ? 1 25

回顾反思
(1)基本策略:“切弦”互化.

(2)思想方法:整体思想,化归思想.
(3)思维误区:忽略三角函数值的符号.

(4)解题关键: 将所求三角函数式用角的正切表示.

经典例题5
1 例 5 已知? 是三角形的一个内角, 且sin ? ? cos ? ? ? , 5 求sin ? ,cos ? 的值.

思路分析
1 例 5 已知? 是三角形的一个内角, 且sin ? ? cos ? ? ? , 5 求sin ? ,cos ? 的值.
思路 1:与sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1联立二元二次方程组. 思路 2:与sin? cos? 构造一元二次方程. 思路 3:与sin? ? cos? 联立二元一次方程组.

思路4:心算.
适用题型

求解过程
方程组思想 解法一 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, ? 由? 1 ?sin ? ? cos ? ? ? , 5 ? 3 ? 4 ? sin ? ? , sin ? ? ? , 比较繁 ? ? ? 5 ? 5 得? 或? ?cos ? ? ? 4 ; ?cos ? ? 3 . ? ? 5 ? 5 ? 又 ? 是三角形内角, ?sin ? ? 0,cos ? ? 0.
3 ? sin ? ? , 5 4 cos ? ? ? . 5



解法二



1 ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ? , 25 12 ? sin ? cos ? ? ? . 构造方程 25 1 12 2 ? sin ? ,cos ? 是方程x + x= 0的根. 5 25 3 ? 4 ? sin ? ? , sin ? ? ? , ? ? 易失 ? 5 ? 5 得? 或? 根 4 3 ?cos ? ? ? ; ?cos ? ? . ? 5 ? ? 5 ? ?sin ? ? 0,cos ? ? 0. 又 ? 是三角形内角,
2

1 sin ? ? cos ? ? ? , 5

求解过程

3 4 ? sin ? ? ,cos ? ? ? . 5 5

求解过程
1 解法三 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ? , 25 24 ? 2 sin ? cos ? ? ? . 25 24 49 2 又 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? . 25 25
2

?sin ? ? 0, cos ? ? 0, 由 ? 是三角形内角,

7 ? sin ? ? cos ? ? 0 即 sin ? ? cos ? ? . 5 3 4 ? sin ? ? , cos ? ? ? . 易错点 5 5

求解技巧
解法四 勾股 弦数

4 2 3 2 ( ? ) ? ( ? ) ? 1; 5 5 5 2 12 2 ( ? ) ? ( ? ) ? 1; 13 13 15 2 8 2 (? ) ? (? ) ? 1 17 17

……

回顾反思
(sin? ? cos ? )2 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ?
(1)解题关键: 同角的正弦、余弦的内在关系. (2)思维误区:易忽视三角形内角这个条件. (3)思想方法:构造方程,方程组思想.

拓展延伸
π 1 已知 ? ? x ? 0,sin x ? cos x ? . 2 5 (1)求 sin x ? cos x 的值;
2 sin x ? cos x ? 2 sin 2 x (2)求 的值. 1 ? tan x

求解过程
解 24 (1) 2 sin x ? cos x ? ? , 25 7 sin x ? cos x ? ? . 5



2 sin x ? cos x ? 2 sin 2 x 2 sin x(cos x ? sin x ) () 2 ? sin x 1 ? tan x 1? cos x

2 sin x ? cos x(cos x ? sin x ) ? cos x ? sin x
24 1 ? ? 24 25 5 ? ?? . 7 175 5

主要内容
一、廓清疑点 判断函数值的符号. 二、突破难点 判断角的范围. 三、聚焦重点 求三角函数式的值.





同步练习
1. 已知sin(? ? π ) ? 0,cos(? ? π ) ? 0, 判断 tan ? 的符号. 2 5 ,求 tan ?的值. 2.已知 sin ? = 5 2 π 3.已知sin(π ? ? ) ? cos(π + ? ) = ( < ? < π) ,求下列各 3 2 式的值: (1) sin? ? cos? ; π 3 π (2) sin ( ? ? ) + cos ( + ? ) . 2 2
3

练习答案
1.负
2. ? 2
2 3. 由已知, 得 sin ? ? cos ? ? . 3

4 (1)sinα - cosα = , 3 22 3 3 3 π 3 π (2)sin ( ? α) + cos ( + α) = cos α - sin α ? ? . 27 2 2


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