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2.3.2双曲线的简单几何性质课件


2.3.2双曲线的简单几何性质

1

复习回顾:双曲线的标准方程:
双曲线的图象特 形式一: x 2 y 2 点与几何性质到现 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2 在仍是一个谜? F1 -c,0)、 F2 (焦点在x轴上,( (c,0)) 形式二: y 2 x 2

a

2

?

b

2

? 1(a ? 0, b ? 0)

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))

其中 c ? a ? b 类似于椭圆几何性质的研究.
2 2 2

现在就用方 程来探究一下!
2

x2 y2 一、研究双曲线 a 2 ? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

的简单几何性质
y (x,y) o a (x,-y)

1、范围
x 2 2 ≥ 1, 即 x ≥ a a2 ? x ≥ a, x ≤ ?a
2

(-x,y) -a (-x,-y)

x

2、对称性

关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
(下一页)顶点
3

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0)
如图,线段 A1A2 叫做双曲线 ( 2) 的实轴,它的长为2a,a叫做 B2 叫做双 实半轴长;线段 B1 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
b

y

B2
o a A2

A1 -a

x

-b B 1

(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. x 2 ? y 2 ? m(m ? 0) (下一页)渐近线
4

x2 y2 b ⑴双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线为 y ? ? x a a b y

4、渐近线

如何记忆双曲线的渐近线方程?
2 2

注 :等轴双曲线 x ? y ? m(m ? 0) 的渐近线为 y ? ? x

b

B2

A1

o

A2
a

(2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图

x

B1

(3) 渐近线对双曲线的开口的影响
双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢?

(下一页)离心率

5

名师点睛
c (3)离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 叫双曲线的离心率, 由 a 于 c>a>0, ∴e>1, 且 e 越大, 双曲线的“张口”越大. 特别地, 等轴双曲线的离心率 e= 2为定值. x2 y2 (4)①已知双曲线方程求渐近线方程, 只需将方程 2- 2=1(a>0, a b x2 y2 b>0)右边的“1”换成“0”即可,即由 2- 2=0 得出渐近线方程是 a b x y b y2 x2 ± =0,即 y=± x.类似地,对于方程 2- 2=1(a>0,b>0), a b a a b y2 x2 a 则由 2- 2=0 得渐近线方程是 y=± x. a b b

⑵ e 的范围: ? c>a>0 ? e >1 ⑶ e 的含义: 同样用来表示双曲线开口的程度
另外
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a

c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? ,叫做双曲线的离心率. a

5、离心率

b b ∴当 e ? (1, ??) 时, ? (0, ?? ) ,且 e 增大, 也增大. a a

? e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 (4)等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、

c 2 2 2 e ? , a ? b ? c ∵ a

7





双 曲 线
2 2

性 质 图象
y

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a
x

o

x ? ?a
y?a




y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b
8

例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程.

y x ? ?1 解:把方程化为标准方程 16 9
可得实半轴长a=4,虚半轴长b=3

2

2

焦点坐标为(0,-5)、(0,5)

4 渐近线方程为 y ? ? x 3
9

c 5 离心率e ? ? a 4

5 例2 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? , 4 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方

程,并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解:
x2 y2 ? ?1 64 36

3 ? 渐近线方程为 y ? ? x 4

焦点F1 (?10,0), F2 (10,0)
3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y ? ? x ,它的 4 5 5 离心率为 或 . 4 3
10

练习 2 2 (1) : x ? 8 y ? 32 的实轴长 8 2 虚轴长为_____ 4 ?? 6,0? 顶点坐标为 ? 4 2 ,0 ,焦点坐标为_________

?

?

3 2 离心率为_______ 4 x x2 2 ? y ? 1 的渐近线方程为: y ? ? (2) : 2 4 x x2 ? y 2 ? 4的渐近线方程为: y ? ? 2 4 2 x x 的渐近线方程为: y ? ? ? y 2 ? ?1

2 4 2 x x 2 ? y ? ?4 的渐近线方程为: y ? ? 2 4
11

例3:求下列双曲线的标准方程: x2 y 2 (1)与双曲线 ? ? 1有相同渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16

?

?

2 ?9 ? ? 1? ? 2 ? 渐近线方程为:y ? ? x且过点? , 3 ?2 ?

x2 y 2 解: ?1? 设所求双曲线方程为 ? ? ? ? ? ? 0 ? 9 16 9 12 1 则 ? ? ?, 解得? ? 9 16 2 2 4 x y 1 x2 y2 故所求双曲线方程为 ? ? 即 ? ?1 9 16 9 16 4 4 4

练习:求出下列双曲线的标准方程

3 (1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y ? ? x 2

y x ? ?1 9 4
2 2

2

2

x 4y ? ?1 9 81

2

2

(2)求与双曲线 x ? 2 y ? 2 有公共渐近线, 且过点 M (2, ?2) 的双曲线方程。

y x ? ?1 2 4
13

2

2

(3)已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (?4, 0), (4, 0) , 则双曲线方程为( )

x y ? ?1 B. 12 4 x2 y 2 ? ?1 D. 6 10 x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,它的 (4)双曲线与椭圆 16 64
一条渐近线为 y ? x ,则双曲线的方程为(
2 2 2 2 2 2 2 2

x y ? ?1 A. 4 12 x2 y 2 ? ?1 C. 10 6

2

2

2

2



A. x ? y ? 96 C. x ? y ? 80

B. y ? x ? 160 D. y ? x ? 24
14

x2 y2 ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 例4. 求与椭圆 ? 16 8

x ? 3y ? 0 的双曲线方程。
解: 椭圆的焦点在x轴上,且坐标为

F , 0),F ( , 0) 1 (?2 2 2 2 2
?

? 双曲线的焦点在x轴上,且c ? 2 2
3 ? 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x 3 b 3 ? ? ,而c 2 ? a 2 ? b 2 , ? a 2 ? b 2 ? 8 a 3 解出 a 2 ? 6,b 2 ? 2 x2 y2 ? 双曲线方程为 ? ?1 6 2

15





椭 圆

双曲线

方程

2 x2 ? y ? 1 2 ( a> b >0) 2 a b

x 2 ? y 2 ? ( a> 0 b>0) 1 2 2 a b
c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)

a b c关系

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)

y
M

Y

p F2 X

图象

F1

0

F2

X

F1

0

16

范围

|x|?a,|y|≤b
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点

对称性

顶点

(-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b

离心率

e=

c

a

( 0<e <1 )

e=

c (e?1) a
b a x

渐近线 准线


a2 x?? c

y= ±

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