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一诊复习3

一诊复习 3
1.设全集是实数集 R , A ? x | x 2 ? 4 , B ? ? x | A. [?2,3] A. ?x0 ? R, 2 C. ?x0 ? R, 2
x0

?

?

B. [?2,3)
x0

2 ? ? ? 1? ,则 ? ?R A ? ? B ? ( C ) ? x ?1 ? C. (1, 2] D. [1, 2)
B. ?x0 ? R, 2
x0

2.设命题 p : ?x0 ? R, 2 ? 0, 则 ?p 是( C )

?0

?0

x0

?0

D. ?x0 ? R, 2 0 ? 0
x

3、设 a ? 30.5 , b ? log 3 2, c ? log 0.5 3 ,则( A ) A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? c ? a 4、已知 S n 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项的和, a2 ? a5 ? 4 , S7 ? 21 ,则 a7 的值为( D A.6 B. 7 C. 8
5. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 b ? 2, B ?



?
6

,C ?

?
4

D. 9 , 则△ABC 的面积为 ( B )

A. 2 3 ? 2 B. 3 ? 1 C. 2 3 ? 2 D. 3 ? 1 2 6、已知命题 p:关于 x 的函数 y=x -3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,命题 q:关于 x 的函 数 y=(2a-1)x 在[1, +∞)上是减函数. 若“p 且 q”为真命题, 则实数 a 的取值范围是( C ) 2? 1? 1 2? 1 ? A.? B.? C.? D.? ?-∞,3? ?0,2? ?2,3? ?2,1? 7.设集合 A ? x | x ? a ? 1, x ? R , B ? ? x |1 ? x ? 5, x ? R? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( C ) A. C.

?

?

?a | a ? 0, 或a ? 6?
1 3
B.

?a | 0 ? a ? 6?

B. D.

?a | a ? 2, 或a ? 4?
?a | 2 ? a ? 4?
A ) D. C. 1

8.曲线 y ? x 2 和曲线 y 2 ? x 围成的图形面积是( A.

? ? 2 x ? 256 ,这表明( D ) 9.废品率 x% 和每吨生铁成本 y (元)之间的回归直线方程为 y A. y 与 x 的相关系数为 2 B. y 与 x 的关系是函数关系 C.废品率每增加 1%,生铁成本大约增加 258 元 D.废品率每增加 1%,生铁成本每吨大约增加 2 元
10.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? 像( B ) A.向右平移 C.向左平移

2 3

4 3

? ?

??

? 的图像,可以将函数 y ? cos 2 x 的图 6?

? 6 ?
6

B.向右平移 D.向左平移

? 3 ?
3

11.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( A ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12.函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减 区间为( D )

1

1 3 1 3 , k? ? ), k ? Z B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z D. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4 13、 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f (? x) ? ? f ? x ? , f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 2 ? , 且 x ? (?1,0) 时,
A. (k? ?

1 f ? x ? ? 2 x ? ,则 f ? log 2 20 ? ? ( C ) 5 4 4 A.1 B. C. ?1 D. ? 5 5 3 ? ? ? 14、已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin ? ? ? ? 的值等于( A ) 5 6? ?
4?3 3 3 3?4 ?4 ? 3 3 C. D. 10 10 10 y ? x ? ? ? 15.若 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? a ,其中 a ? ? (sin x ? cos x) dx ,则 z ? x ? 2 y 的最大 0 ? y ? ?1 ?
A. B. 值为 ( B ) A.1 B.3 C.-3 D.5

4?3 3 10

16. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? ? ( D ) A. 1 C. ? 2

log 2 ? 8 ? x ? , x ? 0 ,则 f ?621? 的值为 ? f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? , x ? 0 ? ? ?

B. 2

17.将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? 对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有 x1 ? x2 A.

?
2

D. ? 3

) 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,若

min

?

?
3

,则 ? ? ( D )

? 4 6 ?2 x 18.曲线 y ? e ? 1 在点 (0, 2) 处的切线与直线 y ? 0和y ? x 围成的三角形的面积为 ( A )
B. C. D. A.

5? 12

? 3

?

1 3

B.

1 2

C.

2 3


D.1

19.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 (

(A)64 (B)72 (C)80 (D)112 试题分析:根据几何体的三视图知,该几何体是下部是棱长为 4 的正方体,上部是三棱锥的 组合体, 如图所示, 所以该几何体的体积是 V组合体 =V正方体 +V三棱锥 =43 ? ?

1 1 2 ? 4 ? 3 ? 72 . 3 2

2

20.函数 f ( x) ? 2

log 2 x

? x?

1 的大致图为( D ) x

A.

B.

C.

D.

?x ? 1 ? 21.若 x, y ? R ,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值等于 ?y ? x ?

.3

?x ? y ? 4 ? ?y ? x ? 2 x? y 22.若 x, y 满足约束条件 ? ,则 的最小值为_____________6 x ?1 ?x ? 1 ? ?y ? 0
23.在 ?ABC 中, A ? 30?, BC ? 2 5, D 是 AB 边上的一点,CD ? 2 ,?BCD 的面积为 4 , 则 AC 的长为___________. 24、将函数 y ? sin( x ? 将所得图象向左平移

4或2 2

?
3

,再 ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)

?
3

个单位,则所得函数图象对应的解析式为

1 ? y ? sin( x ? ) 2 6

25. 已知 a, b, c 为△ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 向量 m ? ( 3 ,?1) ,n ? (cos A, sin A) . 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B = 26、若数列{ an }的前 n 项和为 Sn= .

π 6

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3 2 1 【解析】当 n =1 时, a1 = S1 = a1 ? ,解得 a1 =1, 3 3 2 1 2 2 1 2 当 n ≥2 时, an = Sn ? Sn?1 = an ? -( an ?1 ? )= an ? an ?1 ,即 an = ?2an?1 , 3 3 3 3 3 3
3

∴{ an }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,∴ an = (?2) 27.已知二项式 ? x 2 ?

n ?1

.

? ?

2? ? 的展开式中的二项式系数的和是 64,则展开式中的常数项是__ x?

n

____240 ???? ? ??? ? ???? 28.在正方形 ABCD 中,M 是 BD 的中点,且 AM ? m AB ? n AD (m, n ? R ) ,函数

f ( x) ? e x ? ax ? 1 的图象为曲线 ? ,若曲线 ? 存在与直线 y ? (m ? n) x 垂直的切线( e 为自然
对数的底数),则实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 (1, ??) 【命题立意】本题旨在考查向量共线、导数的几何意义,导数及其应用,有一定综合性. 【解析】B、D、M 三点共线得 m ? n ? 1 ,由题可得 f '( x) ? e x ? a ,由于曲线 C 存在与直线

y ? x 垂直的切线,则 e x ? a ? ?1 有解,即 a ? e x ? 1 有解,? a ? 1 .
29.等比数列 {an } 中, a1 、 a5 是关于 x 方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根,其中点 (c, b) 在直线

y ? x ? 1 上,且 c ?

?

3

0

t 2 dt ,则 a3 的值是_______.

【答案】3. 【命题立意】本题考查定积分的计算,等比数列的性质,属易错题.

1 3 ? a1a5 ? 0, a1 ? a5 ? 10 ? 0 ,? a1 , a5 ? 0 ,从而 a3 ? 0 ,? a3 ? 3 .
3 0

3 ? 9 , b ? 10 , 于 是 x 2 ? 10 x ? 9 ? 0 , a32 ? a1a5 ? 9 , 【 解 析 】 c ? ? t 2 dt ? t 3 |0

?x ? y ? 6 ? 0 ? 30. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 , 且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 6, 则常数 k ? ?x ? y ? k ? 0 ?



?3
31.已知 f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f ( x ) ? xf ( x ) ,则不等式
'

1 x 2 f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解集为 x
32.在 ?ABC 中,已知角 C ? 33. 已知函数 f ( x) ? cos(

. {x | 0 ? x ? 1} , a ? b ? 4(a ? b) ? 8 ,则边 c=
2 2

?
3

。2

?
2

? x) cos x ? 3 sin 2 x

(1) 求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (2) 求 x ? [

? ?

, ] 时函数 f ( x) 的最大值和最小值. 6 2

解: (1)

T=π



4

(2) 当

当 时,f(x)取得最大值

时,f(x)取得最小值

34、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2cos 2 x ? 1( x ? R) .(1)求 f ( x) 的单调递增区间;
??? ? ???? 1 ,且 AB ? AC ? 9 , 2

(2)在△ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 b、a、c,若 f ( A) ? b,a,c 成等差数列,求角 A 及 a 的值.

35. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c , 且 b sin A ? (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3, sin C ? 2 sin A ,求 a, c 的值. 解 析 : ( 1 ) 因 为 b sin A ?

3a cos B

3a cos B. 由 正 弦 定 理

a b 得 : ? sin A sin B

sin B ? 3 cos B, tan B ? 3
因为 0 ? B ? (2)因为 sin C ? 2 sin A, 由正弦定理知 c ? 2a ①由余弦定理 2 3 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 9 ? a 2 ? c 2 ? ac ②由①②得 a ? 3 , c ? 2 3.

?

, 所以 B ?

?

36. (本小题满分 12 分) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”, 某中学举行了一次“汉字听写 大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正 整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n )进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) ,[80, 90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4

5

中仅列出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 4 名学生 参加“中国汉字听写大会”,设随机变量 X 表示所抽取的 4 名学生中得分在 [80, 90) 内的学生 人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 解 :( 1 ) 由 题 意 可 知 , 样 本 容 量 n ?

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 . (2)由题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,分数在 [90,100] 内的学生有 2 人,共 7 人.抽取的 4 名学生中得分在 [80, 90) 的人数 X 的可能取值为 2,3, 4,则
2 3 1 0 C52C2 C5 C2 20 4 C54C2 10 2 5 1 , , ? ? P ( X ? 3) ? ? ? P ( X ? 4) ? ? ? . 4 4 4 C7 35 7 C7 35 7 C7 35 7 2 3 4 X 2 4 1 P 7 7 7 2 4 1 20 所以 X 的分布列为所以 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 7 7 7 7

2 8 ? 0.004 , ? 50 , y ? 50 ?10 0.016 ? 10

P ( X ? 2) ?

37、某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数) 的频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ)估计这次测试数学成绩的平均分和众数; (Ⅱ)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过 94 分.若将频率视为 概率,现用简单随机抽样的方法,从 95,96,97,98,99,100 这 6 个数中任意抽取 2 个数, 有放回地抽取了 3 次,记这 3 次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为 ? ,求 ? 的分 布列及数学期望 E? . 解: (I)利用中值估算抽样学生的平均分: 45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………(3 分) 众数的估计值为 75 分 ……………(5 分) 所以,估计这次考试的平均分是 72 分. ……………(6 分) (注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分) (II)从 95, 96,97,98,99,100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是 C62 ? 15 , 有 15 种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是 0.005× 10× 80=4(人) , 2 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是 C4 ? 6 , 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 P ?

随机变量 ? 的可能取值为 0、1、2、3,则有. ∴ P (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k , k ? 0,1, 2,3
6

6 2 ? . 15 5

……………(8 分)

2 5

3 5

∴变量 ? 的分布列为: ? P

0

1

2

3

8 125

36 125

54 125

27 125
…………(10 分) …………(12 分)

E? ? 0 ?

8 36 54 54 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

解法二. 随机变量 ? 满足独立重复试验,所以为二项分布, 即 ? ~ B (3, ) ………(10 分)

2 5

E? ? np ? 3 ?

2 6 ? 5 5

…………(12 分)

38. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的首项 al=1, an ?1 ? (1)证明:数列 { (2)设 bn ?

4an (n ? N * ) . an ? 2

1 1 ? } 是等比数列; an 2

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an
4an a ?2 1 1 1 , , ∴ ? n ? ? an ? 2 an ?1 4an 4 2an

解析: (1)证明:∵ an ?1 ?
∴ 1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ?, an ?1 2 2 ? an 2 ?

又 a1 ? 1, ∴

? 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ,所以数列 ? ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. a1 2 2 2 2 a 2 ? n ?

(2)解:由(1)知 即

1 1 1 ?1? ? ? ?? ? an 2 2 ? 2 ?

n ?1

?

1 , 2n

1 1 1 n n n ? n ? , ∴ bn ? ? n ? , an 2 2 an 2 2

1 2 3 n ? ? ? ? ? n ,① 2 2 2 23 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2

设 Tn ?

1? 1 ?1 ? 1 1 1 1 n 2 ? 2n 由①-②得, Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ∴Tn ? 2 ? n ?1 ? n , 2 2 1 n(n ? 1) 又 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? , 2 4 2 ? n n(n ? 1) ∴数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? . 2 4

? ? ? ? n ?1? 1 ? n , 2n ?1 2n 2n ?1

39. (14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , an ?1 ? 2 S n ? 1 , n ? N * . (1)写出 a2 , a3 的值,并求数列 {an } 的通项公式;
7

(2)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 0 , bn ? bn ?1 ? log 3 an (n ? 2) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)记 Tn 为数列 ?nan ? 的前 n 项和,求 Tn . 解: (1)

因为 (2)

所以

所以

是以 1 为首项,3 为公比的等比数列 则

.

显然 (3)

符合上式,所以

2 40.数列 {a n } 各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,且满足 2an S n ? an ?1 .

2 (1)求证:数列 { S n } 为等差数列

(2)设 bn ?
?

2
4 4Sn

?1

, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,并求使 Tn ? ( m 2 ? 3m ) 对所

1 6

有的 n ? N 都成立的最大正整数 m 的值. 2 (1)∵ 2a n S n ? a n ? 1 ,∴当 n≥2 时, 2( S n ? S n ?1 ) S n ? ( S n ? S n ?1 ) 2 ? 1 , 解:
2 2 整理得, S n , (2 分)又 S12 ? 1 , ? Sn ?1 ? 1 (n≥2) 2 ∴数列 { S n } 为首项和公差都是 1 的等差数列. 2 (2)由(1) S n ?n

2 1 1 ? ? ? 1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ∴ Tn ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 2n ? 1? ? ? ??? ? ? =1 ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 1 ∴ Tn ? ,依题意有 ? ( m 2 ? 3m ) ,解得 ? 1 ? m ? 4 , 3 3 6 故所求最大正整数 m 的值为 3

∵ bn ?

2

4 4Sn

?

8

41、如图 1 在 Rt ?ABC 中,?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的点, 且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1 D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A1 BC 所成角的正弦值; (Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC ,? AD ? DE ? A1D ? DE . 又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .--------------4 分 A 由 BC ? 面BCDE ,? A1D ? BC. D C D C A1

BC ? CD, CD ? BC ? C ,? BC ? 面A1DC . ??????????6 分 (Ⅱ)如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系. ????????7 分 E D (2,0,0), E (2, 2,0), B(0,3,0), A1 (2,0, 4) . B 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A1BC 的一个法向量, (图 1) ???? ??? ? 因为 CB ? (0,3,0), CA1 ? (2,0, 4)
?3 y ? 0 所以 ? , ?2 x ? 4 z ? 0 令 x ? 2 ,得 y =0, z = ? 1 . 所以 n ? (2,0, ? 1) 为平面 A1BC 的一个法向量. 设 BE 与平面 A1BC 所成角为 ? . ??? ? 4 4 则 sin ? = cos ? BE ? n ? ? ? . 5? 5 5 4 所以 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 . 5
A1

E B (图 2)

z

????????10 分 x D E ???????12 分

C

y
P

B

42. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底 面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AB ? AD , AB // CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , E 是 PB 上的点. (1)求证:平面 EAC ? 平面 PBC ; (2)若 E 是 PB 的中点,且二面角 P ? AC ? E 的余弦值为

E

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3 解: ( 1 ) 证 明 : ? PC ? 平 面 ABCD , AC ? 平 面 ABCD , ? AC ? PC AB ? 2 AD ? CD ? 1 , , ,

A D C P

B z

? AC ? BC ? 2 ? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 , ? AC ? BC 又 BC ? PC ? C ,? AC ? 平面 PBC , ∵ AC ? 平面 EAC,? 平面 EAC ? 平面 PBC (2)以 C 为原点,建立 空间直角坐标系如图所示,则 C(0,0,0) , A (1,1,0) , B (1, 1 1 a A -1, 0) 设 P(0, 0,a ) (a ? 0) , 则 E( ,? , ) ,CA ? (1,1,0) , 2 2 2 y 1 1a D C CP ? (0,0, a ) , 取m = (1, -1, 0) 则 m ? CP ? m ? CA ? 0 , CE ? ( ,? , ) , 2 22 ?? ? m 为面 PAC 的法向量设 n ? ( x, y, z ) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 ,即

E x B

9

? x ? y ? 0, , 取 x ? a , y ? ? a , z ? ?2 , 则 n ? (a,? a,?2) , 依 题 意 , ? ? x ? y ? az ? 0

cos ? m, n ? ?

m?n mn

?

a a ?2
2

?

6 ,则 a ? 2 于是 n ? (2,?2,?2) 设直线 PA 与平面 3
PA ? n PA n ? 2 ,即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦 3

EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PA, n ? ?
值为

2 3

(或设 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CP 为 z 轴,请酌情给分)

x2 y 2 1 43、如图,设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,椭圆 C 上一点 M 到左、右 a b 2
两个焦点 F1 、 F2 的距离之和是 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l : x ? 1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,P 点位于第一象 限,A、B 是椭圆上位于直线 l 两侧的动点,若直线 AB 的斜率 为

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值. 2

【命题意图】考查椭圆的定义及基本量的计算,直线和椭圆的 位置关系,设而不求和函数思想. 【解析】 (1)依题意, 2a ? 4, a ? 2,? e ? ∴椭圆 C 方程为:

1 ,? c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 2

x2 y 2 ? ? 1 ……4 分 4 3

? ) ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,AB: y ? (2)易知 P (1, ), Q(1,

3 3 1 x ? t ……6 分 2 2 2 与椭圆联立得 x 2 ? tx ? t 2 ? 3 ? 0 ,? ? ? 12 ? 3t 2 ? 0 ? t 2 ? 4 ,……8 分 1 3 ? 3 ? S APBQ ? | PQ || x1 ? x2 |? ? 12 ? 3t 2 ? 3 3(t ? 0取“=” ) 2 2 |a| 2
? S APBQ 的最大值是 3 3 .……12 分

44 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 中 心 在 坐 标 原 点 O , 焦 点 在 坐 标 轴 上 的 椭 圆

E 经过两点

? ?3 3 6? 2? R ?? ,? ? ,Q ? , ? .分别过椭圆 E 的焦点 F1 、 F2 的动直线 l1 , l 2 相交于 P 点, ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?2 2 ? 与椭圆 E 分别交于 A、B与C、D 不同四点, 直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 k1 、 k2 、

k 3 、 k 4 满足 k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在定点 M、N ,使得 | PM | ? | PN | 为定值.若存在,求出 M、N 点坐标并 求出此定值,若不存在,说明理由. 解: (1)设椭圆 E 的方程为 mx 2 ? ny 2 ? 1 (m ? 0,n ? 0,m ? n) ???1 分
? ?3 3 6? 2? ,? 将 P ?? ? ,Q ? , ? ? 2 ?2 2 ? 2 ? ? ? ? ?
? m ? ? ?9m ? 2n ? 4 ? ? ? 代入有 ? ?3m ? 6n ? 4 ?n ? ? ?
10

1 3 ???3 分 1 2

x2 y2 ? ? 1 .???4 分 3 2 (2)焦点 F1 、 F2 坐标分别为(—1,0)、(1,0). 当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(—1,0)或(1,0). 当直线 l1、l2 斜率都存在时,设斜率分别为 m1 , m 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,

∴ 椭圆 E 的方程为

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 由? 3 得: (2 ? 3m1 ) x 2 ? 6m1 x ? 3m1 ? 6 ? 0, 2 ? y ? m ( x ? 1) 1 ?

3m 2 ? 6 ∴ x1 ? x 2 ? ? , x1 x2 ? . 2 2 ? 3m1 2 ? 3m 2
2 6m1

???6 分

k1 ? k 2 ?

y1 y 2 x ? 1 x2 ? 1 x ? x2 ? ? m1 ( 1 ? ) ? m1 (2 ? 1 ) x1 x 2 x1 x2 x1 x 2
2 2m1 2 m1

. 2 m2 ?2 ?2 ?4m ?4m ∵ k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 , ∴ 2 1 ? 2 2 ,即 (m1 m 2 ? 2)(m 2 ? m1 ) ? 0 . m1 ? 2 m 2 ? 2 由题意知 m1 ? m 2 , ∴ m1 m 2 ? 2 ? 0 . ???9 分
?2
2 m1

? m1 (2 ?

)?

? 4m1

, 同理 k 3 ? k 4 ?

?4m 2

∴ 存在点 M、N 其坐标分别为 ? 0, ?1? 、 ? 0,1? ,使得 | PM | ? | PN | 为定值 2 2 .??12 分 45. ( 12分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x ( a 为实常数). (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在 ?1, e ? 上的单调性; (Ⅱ)若存在 x ? ?1, e ? ,使得 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? 当

y y y2 ? ? 2 ? 0 ,即 ? x 2 ? 1 ( x ? ?1) ,???10 分 2 x ?1 x ?1 由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(—1,0)或(1,0)也满足此方程, y2 ∴ P( x, y ) 点椭圆 ? x 2 ? 1 上,???11 分 2

设 P( x, y ) ,则

a 2 x 2 ? ?a ? 2 ?x ? a ?2 x ? a ?? x ? 1? ? ? x x x

x ? ?1, e?

a ? 1 即 a ? 2 时, x ? ?1, e? , f ' ( x) ? 0 ,此时, f ( x) 在 ?1, e? 上单调增; 2 a 当 1 ? ? e 即 2 ? a ? 2e 时, 2 ? a? ? a? x ? ?1, ? 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 ?1, ? 上单调减; ? 2? ? 2?
?a ? ?a ? x ? ? , e ? 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 ? , e ? 上单调增; ?2 ? ?2 ?


a ? e 即 a ? 2e 时, x ? ?1, e? , f ' ( x) ? 0 ,此时, f ( x) 在 ?1, e? 上单调减; 2

(Ⅱ)方法一: 当 a ? 2 时,? f ( x) 在 ?1, e? 上单调增,? f ( x) 的最小值为 f (1) ? ? a ? 1 ? ?1 ? a ? 2 当 2 ? a ? 2e 时, f ( x) 在 ?1,

? a? ?a ? ? 上单调减,在 ? , e ? 上单调增 ? 2? ?2 ?
11

a a2 a ? a a ? ? f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? ? a ? a ln ? a? ln ? ? 1? 2 4 2 ? 2 4 ? a ? a a ? 3 a e a ? 2 ? a ? 2e ? 0 ? ln ? 1 , 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ,? f ( ) ? a? ln ? ? 1? ? 0 2 ? 2 4 ? 2 ? 2 ? a ? 2e 当 a ? 2e 时, f ( x) 在 ?1, e? 上单调减,? f ( x) 的最小值为 f (e) ? e 2 ? ?a ? 2 ?e ? a
? a ? 2e ?
综上, a ? ?1

e 2 ? 2e e ?1

? f (e) ? 0 , ? a ? 2e
?????????12分

方法二:不等式 f ( x) ? 0 ,可化为 a ( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ? [1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 ,

x 2 ? 2 x x ? [1, e] x 2 ? 2 x x ? [1, e] ( ) ,令 g ( x) ? ( ) ,又 x ? ln x x ? ln x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) g ?( x) ? , ( x ? ln x) 2 当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当x=1时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以a的取值范围是 [?1,??) .???12分
因而 a ? 46. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2a ? 1) x ,其中 a 为常数,且 a ? 0.
2

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间;

(2)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且在 ?0, e? 的最大值为 1,求 a 的值. 解析: ( 1) f ( x) ? mx ? 2 x 2 ? 5 x, f ?( x ) ?

1 (4 x ? 1)( x ? 1) ? ,令 f ( x) ? 0 ,得 ? 4x ? 5 ? x x

x?

x

1 或 1,则 4 1 (0, ) 4
+ 增

f ?( x) f ( x)

1 4
0 极大值

1 ( ,1) 4


1
0 极小值

(1, ??)
+ 增

1 1 所以 f ( x) 在 (0, ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 [ ,1] 上单调递减.
(2)? f( ? x) ? 得极值,

4 ? 2ax ? 1?? x ? 1?

4

x

,令 f( ? x) ? 0,x1 ? 1,x2 ?

1 f x) ,因为 ( 在 x ? 1 处取 2a

1 ? x1 ? 1, 2a 1 f x) ( 1,e] 上单调递减,所以 ( f x) ( 1,e] 上 (0, 1) ① 在 上单调递增,在 在区间 ? 0 时, ( 2a f 1), f 1) ? 1 ,解得 a ? ?2 ; 的最大值为 ( 令(
所以 x2 ? ②当 a ? 0,x2 ?

1 ? 0; 2a

12

1 1 1 f x) ( 1,e) 在 上单调递增, 上单调递减, 上单调递增 ? 1 时, ( (0, ) ( , 1) 2a 2a 2a 1 所以最大值 1 可能在 x ? 或 x=e 处取得, 2a 1 1 1 2 1 1 1 而( f ) ? ln ?( a )? (2a ? 1) ? ? ln ? ?1 ? 0 , 2a 2a 2a 2a 2a 4a 1 , ?( f e) ? lne ? ae 2 ? (2a ? 1)e ? 1, ?a ? e?2 1 1 1 f x) (ii)当 1 ? 在区间(0,1)上单调递增; 上单调递减, ? e 时, ( ( 1, ) ( ,e) 2a 2a 2a
(i)当 上单调递增,所以最大值 1 可能在 x=1 或 x=e 处取得

f e) ? lne ? ae ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? f 1) ? ln1 ? a ? ? 2a ? 1? ? 0 ,所以 ( 而(
2

1 , e?2



1 ? e 矛盾; 2a 1 (iii)当 x2 ? ? e 时,f(X)在区间(0,1)上单调递增,在(1,e)单调递减, 2a f 1) ? ln1 ? a ? ? 2a ? 1? ? 0 ,矛盾, 所以最大值 1 可能在 x=1 处取得,而 ( 1 ? x2 ?
综上所述, a ?

1 或 a ? ?2 . e?2

47.(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, BC 是圆 O 的直径,点 F 在弧 BC 上,点 A 为弧 BF 的中点,作 AD ? BC 于点 D , BF 与 AD 交于点 E , BF 与 AC 交于点 G . (Ⅰ)证明: AE ? BE ; (Ⅱ)若 AG ? 9, GC ? 7 ,求圆 O 的半径.

? 的中点, 证明: (1)连接 AB ,因为点 A 为 BF

? ?? 故 BA AF ,??ABF ? ?ACB 又因为 AD ? BC , BC 是 ? O 的直径,

?????2 分 ?????4 分
第 22 题图

??BAD ? ?ACB ??ABF ? ?BAD ?????5 分 ? AE ? BE 2 (2)由 ?ABG ? ?ACB 知 AB ? AG ? AC ? 9 ? 16 ?????8 分 AB ? 12 直角 ?ABC 中由勾股定理知 BC ? 20 ?????9 分 圆的半径为 10 ?????10 分
48、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? 2

x ? 3? t 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? 2 ( t 为参数).在极坐标系(与 ? ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2

直角坐标系 xOy 取相同的单位长度, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中, 圆C 的 方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程;
13

(2)设圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,若点 P 坐标为 (3, 5) ,求 | PA | ? | PB | . 解:( 1 )圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? ,即 ? ? 2 5 ? sin ? ;
2

?? 2 ? x2 ? y 2 ? 2 2 把 ? ? sin ? ? y 代入上式得 x ? y ? 2 5 y ? ? cos ? ? x ?
所以圆 C 的直角坐标方程 x ? ( y ? 5 ) ? 5
2 2

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 直线l的普通方程为: x ? y ? 3 ? 5 , 代入上述圆方程消去y得: x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 所以 | PA | ? | PB | .=
2 2

? x1 ? 3?

2

? y1 ? 5

?

?

2

?

? x2 ? 3?

2

? y2 ? 5

?

?

2

= x1 ? y1 ? 2 5 y1 ? 6 x1 ? 14 ?

2 2 x2 ? y2 ? 2 5 y2 ? 6 x2 ? 14

= 14 ? 6 x1 ? 14 ? 6 x2 ? 14 ? 6 ? 1 ? 14 ? 6 ? 2 = 3 2 49、 (本小题满分 10 分)选修 4—5,不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 ;

a 7 ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2 2 ?5 ? (1)不等式解集为 ? ??, ?7 ? ? ? , ?? ? ……………………5 分 ?3 ? x?5 x?4
(2)若不等式 f ( x) ? ax ?

1 (2).因为 f ( x) ? {3 x ? 3 ? ? x ? 4 2 1 ?x ? 5 x?? 2

所以由函数的

14


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