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高三数学上学期第三次月考试题 理2


2016--2017 学年度普宁一中高三级理科数学 第三次月考试题卷
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。 2.用 2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑;答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置 上;不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁。 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 。
2 1.设集合 M ? ??1, 0,1? , N ? a, a ,则使 M

?

?

N ? N 成立的 a 的值是
D.1 或-1

A.1 2.已知 sin ? ? A. ?

B.0

C.-1

1 ,且 ? 为第二象限角,则 tan(? ? ? ) ? 3
B.

2 4

2 4

C. ?

2 4

D. ?2 2

3. 设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的 ( A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件



D.既非充分又非必要条件

4.根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 ) C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0.b ? 0 5
? 0 .5

6 0.5

7
? 2 .0

8
? 3 .0

? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y
A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0

5.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 p(x,y).若 初始位置为 P0(

3 1 , ),当秒针从 P0 (注:此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时 2 2


间 t 的函数关系为(

1

A. y ? sin(

?
30

t?

?
6

)

B. y ? sin( ?

?
60

t? t?

? ?
6

) )
P

y

C. y ? sin( ?

?

30

t?

?
6

)

D. y ? sin( ?

?

30

3

6.若函数

x

f ( x), g ( x)满足 ? 1 ?1 f ( x ) g ( x ) dx ? 0, 则称 f ( x ), g ( x )为区间?? 1,1? 上的一
组正交函数,给出三组函数: ① f ( x) ? sin

1 1 x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 2 2
) C.2 D.3

其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( A.0 B.1

? y ? 2x ? 7.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 则x ? 2 y的最大值是 ? y ? ?1 ?
A. -

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

8. 在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若 2a sin B ? 3b, 则角A等于 A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

9. 设常数 a ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ? 1} ,若 A ? B ? R ,则 a 的取值 范围为( A. (??, 2) ) B. (??, 2] C. (2, ??) D. [2, ??)

10.如图,四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,

P i (i ? 1,2,...) 是上底面上其余的八个点,则 AB? APi (i ? 1,2...) 的不
同值的个数为( A.1 ) B.2
2

?

?

C.4

D.8

11.已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F ,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A , B 两点.则 cos ?AFB ? A.

4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

2

12.设 A 1 , A2 , A 3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R), 且 A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R),

1

?

?

1

?

o),D(d, O ) (c, ? 2 ,则称 A3 ,A4 调和分割 A1 ,A2 ,已知点 C(c,

d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是 A. C 可能是线段 AB 的中点 C. C,D 可能同时在线段 AB 上 B. D 可能是线段 AB 的中点 D. C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

二.填空题(20 分,每题 5 分) 13.函数 y ? log 1 (2 x 2 ? 3 x ?1) 的 单调增区间为
2

. .

14.已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? x ? 8 (ab ? 0) ,且 f (?2) ? 3 ,则 f (2) ?
2

?3

15.已知 p : x ? m , q : | x ? 1|? 1 ,若 ? q 是 ? p 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围 是 .

16.函数 f ( x ) 是 R 上的增函数, 且 f( s i n )? ? ( fc o s ?) 并且使得函数 g ( x) ? sin(? x ? 三.解答题(70 分)

? (? s i n f )? ( c o s ?? ) f

?

, 其中 ? 为锐角, .

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 2 4

?

17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若错误! 未找到引用源。 =k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c=错误!未找到引用源。,求 k 的值.

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 ? a ? c ?? sin A ? sin C ? ? ? b ? c ? sin B . (1)求 A 角的大小;

3

(2)若 a ? 3, S ?ABC ?

3 3 ,求 b, c . 4

19. (本小题满分 12 分) 对于数列 ?an ?、 ?bn ? , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn?1 ? ? n ? 1? ? Sn ? an ? n, a1 ? b1 ? 1 ,

bn ?1 ? 3bn ? 2, n ? N ? .
(1)求数列 ?an ?、 ?bn ? 的通项公式;

令 cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn (2) n ? bn ? 1?

2 ? an ? n ?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x cos ? x ? cos 2? x ?? ? 0 ? ,且 f ? x ? 的最小正周期为 ? . (1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间;

(2)若 f ?

2 ?? ? ? 2 2 ?? ? ? ? ? ?? ,且 ?、? ? ? ? , ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. ? ?? , f ? ? ?? 3 ?2 8? 3 ?2 8? ? 2 2?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax , a ? R . 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间;

(2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? a ? 1? x ? 1 恒成立,求 a 的最小整数值.

4

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2e ? x e .
x 3 x

(1)求函数 f ? x ? 在 0, f ? 0 ? 处的切线方程;

?

?

(2)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ?

ln x . x

5

2016--2017 学年度普宁一中高三 级理科数学 理科数学参考答案及评分标准 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

题 次 选 项

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

11

12

C

A

B

B

C [来

C

C

D

B

A

D

D

? y2 ? 4x 2 11、 【解析】联立 ? 消去 y 得 x ? 5x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 1, x ? 4 ,不妨设 A 点在 x 轴的 ? y ? 2x ? 4
上方,于是 A ,B 两点的坐标分别为(4,4),(1, ?2 ),又 F (1, 0) ,可求得 AB ? 3 5, AF ? 5, BF ? 2 . 在 V ABF 中,由余弦定理 cos ?AFB ?

AF 2 ? BF 2 ? AB 2 4 ?? . 2 ? AF ? BF 5

12、 【解析】由 A 1 , A2 , A 3 , A4 在 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R), A 1A 4 ? ?A 1A 2 (μ ∈R)知:四点 A 同一条直线上, 因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且 二、

1 1 ? ? 2 , 故选 D. c d

1 (??, ) 2 13. 1 试题分析: y ? log 1 u, u ? 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ,所以单调增区间为 (??, )
2 2

2

14.21 试题分析: f (?2) ? f (2) ? 24 ? f (2) ? 21 15. m ? 0 试题分析: ? q 是 ? p 的必要不充分条件,则 p 是 q 的必要不充分条件, q :

| x ? 1|? 1 ? 0 ? x ? 2 ,所以 m ? 0 .

? 5 ( , ] 16. 4 4
三、17.(本小题满分 12 分)

6

.解:(1)∵错误!未找到引用源。=cbcos A,错误!未找到引用源。=cacos B,
又错误!未找到引用源。, ∴bccos A=accos B. ∴sin Bcos A=sin Acos B, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0. ∴sin(A-B)=0. ∵-π <A-B<π ,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知,错误!未找到引用源。=bccos A=bc·错误!未找到引用源。=k, ∵c=错误!未找到引用源。,∴k=1. 18.解: (1)由 ? a ? c ?? sin A ? sin C ? ? ? b ? c ? sin B 及正弦定理得 ? a ? c ?? a ? c ? ? b ? b ? c ? ,

b2 ? c2 ? a 2 1 2? ∴ b ? c ? a ? ?bc ,∴ cos A ? . ? ? , 0 ? A ? ? ,∴ A ? 2bc 2 3
2 2 2

(2)证明:
2

1 3 3 1 2? 3 3 ,即 bc sin ,∴ bc ? 3 ① S ?ABC ? bc sin A ? ? 2 4 2 3 4
2 2

又 a ? 3, b ? c ? a ? ?bc ,∴ b 2 ? c 2 ? 6 ② 又①②得 b ? c ?

3.

19.解: (1)因为 S n ?1 ? ? n ? 1? ? S n ? an ? n ,所以 an ?1 ? an ? 2n ? 1 , 所以

an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? … ? ? a3 ? a2 ? ? ? a2 ? a1 ? ? a1 ? ? 2n ? 1? ? ? 2n ? 3? ? … ? 5 ? 3 ? 1 ?

? 2n ? 1 ? 1? n ? n2 ,所以
2

?an ? 的通项公式为 an ? n2 .

由 bn ?1 ? 3bn ? 2 ,得 bn ?1 ? 1 ? 3 ? bn ? 1? , 所以 ?bn ? 1? 是等比数列,首项为 b1 ? 1 ? 2 ,公比为 3,所以 bn ? 1 ? 2 3n ?1 , 所以 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2 3n ?1 ? 1 . (2) cn ?

2 ? n2 ? n ? 2n 3
n ?1

?

n ?1 , 3n ?1

7

2 3 4 n n ?1 ? 1 ? 2 ? … ? n ? 2 ? n ?1 ,① 0 3 3 3 3 3 23 3 4 n n ?1 则 3Tn ? 0 ? 0 ? 1 ? … ? n ?3 + n ? 2 ,② 3 3 3 3 3
所以 Tn ?

1 1 ? n ?1 1 1 1 n ? 1 ? ? 3 ? n ? 1 ? 15 ? 2n ? 5 . ②-①得 2Tn ? 6 ? ?1 ? ? 2 ? … ? n ? 2 ? ? n ?1 ? 6 ? 1 3 ? 3 3n ?1 2 2 3n ?1 ? 3 3 1? 3 15 2n ? 5 所以 Tn ? . ? 4 4 3n ?1
20.解: (1) f ? x ? ? 2 cos ? x sin ? x ? cos 2? x ? cos 2? x ?

?? ? 2 ? 2? x ? ? . 4? ?

?? ? f ? x ? 的最小正周期为 ? ,∴ ? ? 1 ,∴ f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?
令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

?

?

3 ? ? 2k? , k ? Z ,得 ? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z , 2 8 8

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ? ? ? k? ,

? 3 ? 8

?

? ? k? ? , k ? Z . 8 ?

(2)

?? ? f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,且 4? ?
1 2 ,sin ? ? , 3 3

2 ?? ? ? 2 2 ?? ? ? , f ? ? ?? , f ? ? ?? 3 ?2 8? 3 ?2 8?

∴ sin ? ?

2 2 5 ? ? ?? , cos ? ? ?、? ? ? ? , ? ,∴ cos ? ? 3 3 ? 2 2?
∴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

2 2 5 1 2 2 10 ? 2 . ? ? ? ? 3 3 3 3 9

21.解: (1 ) f ′ ? x? ?

1 1 ? ax 2 , ? ax ? x x

当 a ? 0 时, f ′ ? x ? ? 0 ,增区间为 ? 0, ?? ? 当 a ? 0 时,由 f ′ ? x ? ? 0 得,1 ? ax 2 ? 0 ,即 0 ? x ? (2)由 f ? x ? ? ? a ? 1? x ? 1 恒成立,得 ln x ?

? 1 1? , f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?. ? a a? ? ?

1 2 ax ? x ? ax ? 1 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, 2

8

问题等价于 a ?

ln x ? x ? 1 ln x ? x ? 1 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,令 g ? x ? ? ,只要 a ? g ? x ?max , 1 2 1 2 x ?x x ?x 2 2

因为 g′ ? x? ?

? x ? 1? ? ??

1 ? x ? ln x ? 2 ? ? ,令 g′x ? 0 ,得 ? 1 x ? ln x ? 0 , ? ? 2 2 ?1 2 ? ? x ? x? ?2 ?

设 h ? x? ? ? 不妨设 ?

1 1 1 x ? ln x ,因为 h′ ? x ? ? ? ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减, 2 2 x

1 x ? ln x ? 0 的根为 x0 ,当 x ? ? 0, x0 ? 时, g′ ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ?? ? 时, g′ ? x? ? 0 , 2

所以 g′ ? x ? 在 x ? ? 0, x0 ? 上是增函数;在 x ? ? x0 , ?? ? 上是减函数,

所以 g ? x ?max

1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? g ? x0 ? ? ? ? , 1 2 ? 1 ? x0 x0 ? x0 x0 ?1 ? x0 ? 2 ? 2 ?

因为 h ?

1 1 1 1 ?1? ? ? ln 2 ? ? 0, h ?1? ? ? ? 0 ,所以 ? x0 ? 1 ,此时1 ? ? 2 ,即 g ? x ?max ? ?1, 2 ? , 2 x0 4 2 ?2?

所以 a ? 2 ,即整数 a 的最小值为 2. 22.解: (1)依题意, f ′ ? x? ? 2 , ? x ? ? 2e x ? 3x 2e x ? x3e x ? ?e x x3 ? 3x 2 ? 2 ,故 f ′

?

?

f ? 0 ? ? 2 ,故所求切线方程为 y ? 2 ? 2 x ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 ;
ln x ,即证 f ? x ? ? h ? x ? ; x 1 ? ln x 因为当 x ? ? 0,1? 时, h′ ? x ? ? 2 ? 0 ,故 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,即当 x ? ? 0,1? 时, x
(2)令 h ? x ? ?

h ? x ? ? h ?1? ? 0 ;
由(1)知因为 f ′ ? x ? ? ?e x x3 ? 3x 2 ? 2 ? ?e x ? x ? 1? x 2 ? 2 x ? 2 , 故当 x ? ? 0,1? 时, ?e ? 0, x ? 1 ? 0 ;
x

?

?

?

?

令 p ? x ? ? x +2 x ? 2 ,因为 p ? x ? 的对称轴为 x ? ?1 ,且 p ? 0 ? p ?1? ? 0 ,
2

故 ?x0 ? ? 0,1? ,使得 p ? x0 ? ? 0 ; 故当 x ? ? 0, x0 ? 时, p ? x ? ? x ? 2 x ? 2 ? 0 ,故 f ′ ? x ? ? ?e x ? x ? 1? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,
2

?

?

9

即 f ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递增; 当 x ? ? x0 ,1? 时, p ? x ? ? x ? 2 x ? 2 ? 0 ,
2

故 f′ ? x ? ? ?e x ? x ? 1? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,即 f ? x ? 在 ? x0 ,1? 上单调递减; 因为 f ? 0 ? ? 2, f ?1? ? e ,故当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? f ? 0 ? ? 2 ? 0 ? h ?1? ; 故当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? h ? x ? ,即当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ?

?

?

ln x . x

10


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