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圆锥曲线的几类典型题型解析与能力突破


圆锥曲线的几类典型题型解析与能力突破 圆锥曲线的几类典型题型解析与能力突破
与圆锥曲线有关的几种典型题, 如圆锥曲线的弦长求法、 与圆锥曲线有关的最值(极值) 问题、 与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等, 在圆锥曲线 的综合应用中经常见到, 为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解, 本文系统阐 述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”. 一、重、难、疑点分析 1.重点:圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关 的证明问题. 2.难点:双圆锥曲线的相交问题.(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别 式,还要结合图形分析.) 3.疑点:与圆锥曲线有关的证明问题.(解决办法:因为这类问题涉及到线段相等、 角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法,所以比较灵活,只 能通过一些例题予以示范.) 二、题型展示 1.圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 )两点,则弦 长|AB|为:

(2)若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 例 1 过抛物线 y = ?

|AB|=8,求倾斜角 α . 分析一:由弦长公式易解.解答为: ∵ 抛物线方程为 x2=-4y, ∴焦点为(0,-1). 设直线 l 的方程为 y-(-1)=k(x-0),即 y=kx-1.

1 2 x 的焦点作倾斜角为 α 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,旦 4

将此式代入 x2=-4y 中得:x2+4kx-4=0.∴x1+x2=-4,x1+x2=-4k. 由|AB|=8 得: 8 = 1 + k ?
2

(? 4k )2 ? 4 × 1× (? 4)
或α =

∴ k = ±1

又有 tan α = ±1 得: α =

π
4

3π . 4 p p , BF = ? y 2 + 2 2

分析二:利用焦半径关系.∵ AF = ? y1 +

∴|AB|=-( y1 +y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k( x1 +x2)+2+p.由上述解法易求得结 果,可由同学们自己试试完成. 2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求 出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围. 求: 例 2 已知 x +4(y-1)2=4, (1) x +y2 的最大值与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值.
2 2

解一:将 x +4(y-1)2=4 代入得: x +y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

2

2

由点(x,y)满足 x +4(y-1)2=4 知:4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1.∴0≤y≤2.

2

当 y=0 时,( x +y2)min=0.
2 解二:分析:显然采用(1)中方法行不通.如果令 u=x+y,则将此代入 x +4(y-1)2=4

2

中得关于 y 的一元二次方程,借助于判别式可求得最值. 令 x+y=u, 则有 x=u-y,代入 x +4(y-1)2=4 得:5 y 2 -(2u+8)y+ u =0. ∴[-(2u+8)]2-4×5× u ≥0.
2
2

2

又∵0≤y≤2,(由(1)可知) ∴1 ? 5 ≤ u ≤ 1 + 5 当 u = 1 + 5 时, y = 1 +

5 5 ∈ [0,2] ; 当 u = 1 ? 5 时, y = 1 + ∈ [0,2] 5 5

∴ ( x + y )max = 1 + 5 ; ( x + y )min = 1 ? 5 3.与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判 断方法. 例 3.在抛物线 x2=4y 上有两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)且满足|AB|=y1+y2+2,求证:

(1)A、B 和这抛物线的焦点三点共线;(2)

1 1 为定值. + AF BF

证明:(1)∵抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1. ∴ A、B 到准线的距离分别 d1=y1+1,d2=y2+1(如图 2-46 所示).

由抛物线的定义:|AF|=d1=y1+1,|BF|=d2=y2+1.

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即 A、B、F 三点共线. (2)如图 2-46,设∠AFK=θ. ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴ BF = ∴ AF =

2 1 ? sin θ

又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ

2 1 + sin θ

小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质. 4.圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题 直线与圆锥曲线相交问题,一般可用两个方程联立后,用△≥0 来处理.但用△≥0 来 判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题:方法 1,由“△≥0”与直观图形相 结合;方法 2,由“△≥0”与根与系数关系相结合;方法 3,转换参数法(以后再讲). 例 4 已知曲线 C1 : x +
2

( y ? a )2
2

= 1 及 C 2 : y = x 2 + 1 有公共点,求实数 a 的取值范围.

可得: y 2 =2(1-a)y+ a -4=0. ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0, ∴ a ≤ 如图 2-47,可知:

2

5 . 2

椭圆中心 (0, a ) ,半轴长 a ′ = 交时, a ≥ 1 ?

2 ,抛物线顶点为 (0,1) ,所以当圆锥曲线在下方相切或相

2.
2≤a≤ 5 时, 曲线 C1 与 C 2 相交. 2

综上所述,当 1 ?

5.利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题

例 5.已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M a 2 b2

(1)求椭圆的离 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。

心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范 围; (1)∵ F1 ( ?c,0), 则x M = ?c, y M = 解:

b2 b2 ,∴ k OM = ? 。 a ac

∵ k AB = ?

b b2 b 2 , OM 与 AB 是共线向量,∴ ? = ? ,∴b=c,故 e = 。 a ac a 2

(2)设 F1Q = r1 , F2Q = r2 , ∠F1 QF2 = θ , ∴ r1 + r2 = 2a, F1 F2 = 2c,

cos θ =

r12 + r22 ? 4c 2 (r1 + r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 = = ?1 ≥ ?1 = 0 r1 + r2 2 r1r2 2r1r2 2r1r2 ( ) 2

当且仅当 r1 = r2 时,cosθ=0,∴θ ∈ [0,

π
2

]。

由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何 中与平行线、 三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。 求解此类问题的 关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化 为解析几何问题. 6. 利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题

例 6.椭圆

x2 y2 + = 1 的焦点为 F 1 , F 2 ,点 P 为其上的动点,当∠F 1 P F 2 为钝角时, 9 4

点 P 横坐标的取值范围是___。

解:由椭圆

x2 y2 + = 1 的知焦点为 F1(- 5 ,0)F2( 5 ,0). 9 4

设椭圆上的点可设为 P(3cos θ ,2sin θ ).Q ∠F1 PF 2 为钝角 ∴ PF1 ? PF2 = ? 5 ? 3cos θ , ?2sin θ ) ? ( 5 ? 3cos θ , ?2sin θ ) ( =9cos θ -5+4sin θ =5 cos θ -1<0
2 2 2

uuur uuuu r

解得: ?

5 5 < cos θ < 5 5

∴点 P 横坐标的取值范围是( ?

3 5 3 5 , ). 5 5

解决与角有关的一类问题, 总可以从数量积入手。 本题中把条件中的角为钝角转化为向 量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了.


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