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高一数学(1.3.1-3函数的最值)_图文

1.3.1

单调性与最大(小)值

第三课时

函数的最值

问题提出

1.确定函数的单调性有哪些手段和方法?

f ( x)

2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性, 如果函数的图象存在最高点或最低点,它又 反映了函数的什么性质?

知识探究(一)

观察下列两个函数的图象:
y
M
M

y

x

o

x0
图1

o
图2

x0

x

思考1:这两个函数图象有何共同特征?

函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称?
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何?

思考3:设函数 f ( x) ? 1 ? x ,则 f ( x) ? 2 成立吗? f ( x) 的最大值是2吗?为什么?
2

思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值?用什么符号 表示?
一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M; (2)存在 x0 ? I,使得 f ( x0 ) ? M. 那么称M是函数 y ? f ( x) 的最大值,记作
f ( x)max ? M

思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗?如果函数 f ( x) 的值域是(a,b),则函 数 f ( x) 存在最大值吗?

思考6:函数 y ? ?2 x ? 1, x ? (?1, ??) 有最大 值吗?为什么?

知识探究(二)

观察下列两个函数的图象:
y y

m

m

o

x0
图1

x

x0

o
图2

x

思考1:这两个函数图象各有一个最低点,函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称? 思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数 f ( x) 的最小值?

一般地,设函数 y ? f ( x)的定义域为I, 如果存在实数m满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? m; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m . 那么称m是函数 y ? f ( x)的最小值,记作

f ( x)min ? m

知识探究(三)

思考1:如果在函数 f ( x)定义域内存在x1和 x2, 使对定义域内任意x都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,由此你能得到什么结论? 思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言,有哪几种可能情况?

思考3:如果函数 f ( x)存在最大值,那么有几个?
思考4:如果函数 f ( x) 的最大值是b,最小值是a, 那么函数 f ( x) 的值域是[a,b]吗?

理论迁移

2 , x ? ? 2,6? ,求函数 f ( x) 例1已知函数 f ? x ? ? x ?1 的最大值和最小值.

例2(05年湖南卷)某公司在甲、乙两地销售一种 2 品牌车,利润(万元)分别为 y1 ? 5.06x ? 0.15x 和 y2 ? 2x ,其中x为销售量(辆),若该公司在 这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( A ) A、45.6万元 B、45.606万元 C、45.56 万元 D、45.51万元

例3 设 b ? 1 为常数,如果当 x ? [1, b] 时,函
1 2 3 数 f ( x) ? x ? x ? 的值域也是[1,b],求b 2 2

的值.


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