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天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


蓟县二中 2013 届高三第二次模拟考试数学(文)试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. i 是虚数单位,复数 A. 1 ? i

1? i 等于 i3
( ) B. 1 ? i C. ?1 ? i D.1 ? i -

2.若 x0 是方程 x ? lg x ? 2 的解,则 x0 属于区间 ( A. (0, ) )

1 1 3 3 C. ( , ) D. ( , 2) 2 2 2 2 3 . 若 命 题 p :| x ? 2 |?, 命题q : log 1 ( x ? 1) ? 0 , 则 命 题 p 是 命 题 q 的
B. ( ,1)
2

1 2

( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 ( ) A.33 B.42 C.52 D.63 5.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 短轴端点,且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率 2
之积为 1,则该双曲线的方程为 A. x ? y ? 1
2 2


2



B. y ? x ? 1
2

C.

x2 ? y2 ? 1 4
2

D.

y2 ? x2 ? 1 4

6.设函数 f ( x) ? cos ( x ? 是

?
4

) ? sin 2 ( x ?

?
4

), x ? R ,则函数 f ( x)
( )

A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2

7.已知点 A,B,C 在圆 x2 ? y 2 ? 1 ,满足 2OA ? AB ? AC ? 0 (其中 O 为坐标原点) , 又 | AB |?| OA | ,则向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为 ( A.1 8.已知函数 f ( x) ? ? 成立的是 ( ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 B.-1 ) C.

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 2

D. ?

1 2

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0, ? 则对任意 x1 , x2 ? R, 若 | x2 |?| x1 |? 0 ,下列不等式 2 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0. ?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的逆否命题为________________________ 10.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是

11.已知抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 交于 A B 两点,点 F 为抛物线的焦 4 a2

点,若 ?FAB 为正三角形,则双曲线的离心率是 12.如上图,⊙ O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 P , M 为 DC 延长线上一点, MN 为⊙ O 的切线, N 为切点,若 AP ? 2 BP ? 4 , PC ? 1 , MN ? 6 ,则 MC 的长为

13 . 设 集 合 A ? x | x ? t ? 2, t ? ?0,16? , B ? x | x 2 ? 3ax ? 10a 2 ? 0, a ? 0 , 满 足

?

?

?

?

A ? B ? A 的正实数 a 的取值范围是
14.已知 ?ABC 中的重心为 O ,直线 MN 过重心 O ,交线段 AB 于 M ,交线段 AC 于 N 其 中 AM ? m AB, AN ? n AC ,且 AO ? ? AB ? ? AC ,其中 ? , ? 为实数.则 6m ? 3n 的最小 值为_________________. 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.某工厂生产的零件标准分成 9 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,9, X ? 4 为合格 标准,且该厂的零件都符合相应的合格标准.从该厂生产的零件中随机抽取 30 件,相应的 等级系数组成一个样本,数据如下: 4 7 9 6 4 4 4 5 5 4 8 4 9 6 5 6 4 5 6 5 8 7 9 6 4 6 7 5 4 8

规定零件的等级系数 X ? 8 的为一等品,等级系数 6 ? X ? 8 的为二等品,等级系数

4 ? X ? 6 的为三等品.
(I)试分别估计该厂生产的零件一等品频率、二等品频率和三等品频率; (II)从样本的一等品中随机抽取 2 件, (i) 列出两件产品等级系数的所有结果; (ii) 求所抽得 2 件产品等级系数不同的概率.

16. 在 ?ABC 中, A , C 为锐角,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且 cos 2 A ?

3 , 5

sin C ?

10 10

(I)求 cos(A ? C ) 的值; (II)若 a ? c ?

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值;
x ? A ? C ) 的最小正周期和定义域。 2

(Ⅲ)求函数 y ? tan(

17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,PA=AB=2, ∠ BAD=60° . (Ⅰ)求证:直线 BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正切值; (Ⅲ)已知 M 在线段 PC 上,且 BM=DM= 2 ,CM=3,求二面角 B ? MC ? D 的余弦值.

18.椭圆的中心在坐标原点,其左焦点 F 与抛物线 y ? ?4 x 的焦点重合,过 F 的直线 l 与 1 1
2

椭圆交于 A、B 两点,与抛物线交于 C、D 两点.当直线 l 与 x 轴垂直时, (Ⅰ)求椭圆的方程; (II)求过点 F 、 O ( O 为坐标原点),并且与直线 x ? ? 1 的半焦距)相切的圆的方程; (Ⅲ)求 F2 A ? F2 B =

CD ?2 2. AB

a2 (其中 a 为长半轴长, c 为椭圆 c

???? ???? 1 ? ? 时直线 l 的方程。 2

19 . 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? 1, a2 ? 3 , 前 n 项 和 为 Sn , 且

S n ?1 ? S n 2a n ? 1 , ? S n ? S n ?1 an

(n ? N *, n ? 2) ,数列 ?bn ?满足 b1 ? 1 , bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn 。
(Ⅰ)判断数列 {an ? 1} 是否为等比数列,并证明你的结论; (II)设 c n ? ? a n (bn ?

n2 ? 1) ,求 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ; 2

(Ⅲ)对于(Ⅰ)中数列 ?an ? ,若数列 {l n } 满足 l n ? log2 (an ? 1) ( n ? N * ) ,在每两个 l k
1 与 l k ?1 之间都插入 2 k ?( k ? 1,2,3,? k ? N* ) 2, 个 使得数列 {l n } 变成了一个新的数列 {t p } ,

( p ? N ? ) 试问:是否存在正整数 m ,使得数列 {t p } 的前 m 项的和 Tm ? 2011 ?如果存在,求
出 m 的值;如果不存在,说明理由.

20.已知函数 f ( x) ? ? (Ⅰ)当 a ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ,其中 a 为实数. 3 2

1 时,求函数 f (x) 的极大值点和极小值点; 2 3 2 (Ⅱ) 若对任意 a ? (2,3) 及 x ? ? ,3? 时,恒有 ta ? f ( x) ? 成立,求实数t 的取值范围. 1 2 4 3 3 2 2 ( Ⅲ ) 已 知 g ( x) ? a 2 x 2 ? ax ? 1 , m( x) ? x ? (a ? ) x ? (2a ? 5) x ? 3 , 3 2

? g ( x), x ? 0, h( x) ? f ( x) ? m( x) ,设函数 q( x) ? ?h( x), x ? 0. ?

是否存在 a ,对任意给定的非零实数

x1 , 存在惟一的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,使得 q ' ( x2 ) ? q ' ( x1 ) 成立?若存在,求 a 的值;若
不存,请说明理由.

则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为: , (C1 , P2)

, (C1 ,C2 , C1 ,C3) C1 , P) ) ( ( 1 ,

又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?
2

3 ,???2 分 5

? a ? c ? 2 ? 1,? 2c ? c ? 2 ? 1 ,
? c ? 1 ? a ? 2, b ? 5
??????10 分(三边正确各得 1 分)

所以 tan?BPE ?

BE 3 15 . ? ? PE 5 5

18.解: (Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F1 (?1,0) .??1 分

设椭圆的方程:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

? y 2 ? ?4 x 解方程组 ? 得 C(-1,2) ,D(1,-2) .??2 分 ? x ? ?1
由于抛物线、椭圆都关于 x 轴对称, ∴

| F1C | | CD | 2 2 ) . , ∴ A(1, ? ? 2 2 , | F1 A |? | F1 A | | AB | 2 2

1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . ??????????8 分 2 4
(Ⅲ) 由 点F (?1,0), F2 (1,0) 1 ①若 AB 垂直于 x 轴,则 A(?1,

2 2 ), B(?1,? ), 2 2

???? ? ? 2 ???? 2 ? F2 A ? (?2, ), F2 B ? (?2, ? ), 2 2 ???? ???? ? ? 1 7 F2 A ? F2 B ? 4 ? ? ????????????????9 分 2 2 ②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为
y ? k ( x ? 1)
由?

y ? k ( x ? 1) 2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?



(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ???10 分

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,? 方程有两个不等的实数根.
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

c n ? ?a n (bn ?
0

n n n2 ? 1) = (2 n ? 1) ? ? n ? 2 n ?1 ? 2 2 2
1 2 n?1

令 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2



2 An ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ②???6 分
①-②得 ? An ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3 n?1

? n ? 2n ???7 分

?

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 1? 2

20.(Ⅰ)令 f ' ( x) ? ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 2a =0,解得 x1 ? 1, x2 ? 2a ????1 分 (1)当 a ?

x
f ?( x )

1 时, 2 (??,1)
?

1

(1,2a)

2a
0

(2a,??)
?

0

?

因此,函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值,极小值点为 x ? 1 , ????2 分 ; 函数 f ( x ) 在 x ? 2a 处取得极大值,极大值点为 x ? 2a ????3 分 (2)当 a ?

x
f ?( x )

1 时, 2 (??,2a)

2a
0

(2a,1)

1

(1,??)

?

?

0

?

因此,函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,极大值点为 x ? 1 ;????4 分 函数 f ( x ) 在 x ? 2a 处取得极小值,极小值点为 x ? 2a .????5 分 ( II ) 由 题 意 可 知 , 对任意 a ? (2,3) 及 x ? ? ,3? 时,恒有 ta ? f ( x) ? 1
2

3 成立等价于 2

ta 2 ?

3 ? f ( x) max ????6 分 2


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