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湖北省黄冈市2014年春高二期末考试理科数学试题(扫描版)


黄冈市 2013-2014 高二年级下学期期 末考试 数学试题(理科)

如果 Q 正确,且 P 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ?

1 ? a ? 0 ……………10 分. 4

?1 ? 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0 ? ? ? ,4 ? ………………12 分 ?4 ?

当 n ? k ? 1时,a

k ?1

?

? n ? k ? 1 时命题成立 综合(1) (2 )当 n ? N ? 时命题成立………12 分
19. (1)证明:由四边形 为菱形,

1 ak 1 ? k1 ? ……………10 分 1 ? ak 1 ? k k ? 1

,可得

为正三角形.

因为 又 因为 而 所以 所以



的中点,所以 ,因此 平面 , . 平面

. ,所以 , , .

平面 , 平面 且 平面 .又 平面 .…………5 分



,所以

.……10 分

因为 二面 角

为锐角,所以所求二面角的余弦值为

.……12 分

c?1 , CD ? 7 ? 2a , a 2 所以 a 2 ? 4c 2 , b 2 ? 3c 2 . ……………………………2 分 ( 7 ? 4c ) 2 2 7 ? 4c ) 2 因为点 (c, 在椭圆上,即 c ? ? 1, 2 4c 2 3c 2 所以 c ? 1 . 2 y2 所以椭圆的方程为 x ? … …………………………5 分 ?1. 4 3 (2)① 当两条弦中一条斜 率为 0 时,另 一条弦的斜率不存在, 由题意知 AB ? CD ? 7 ; …………… ………………6 分

20. 解: (1)由题意知, e ?

84 48 1 49 因为 t ? 1 ,所以 ? (0,1) , 所以 f (t ) ? (12, ] , 所以 AB ? CD ? f (t ) ? [ 7 , 7) . t 4 48 综合 ①与②可知, AB ? CD 的取值范围是 [ , 7] . ……………………………13 分 7

(3) 若 a ? 1 , x ? [2, ??) , ( x ? k ) f ?( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e ? 1) ? x ? 1 ? 0 等价于
x

x ?1 10 分 ? x, x ? 2 e x ?1 x ?1 令 g ( x) ? x ? x, x ? 2 则 k ? g ( x) min 恒成立 e ?1 k?

g ?( x) ?

e x (e x ? x ? 2) ,由(2)知 g ?( x) ? 0 , g ( x)在 ? 2, ?? ? 上单调递增 (e x ? 1) 2
2e 2 ? 1 2e 2 ? 1 k ? ,所以 e2 ? 1 e2 ?1
14 分

又 g ( x) min ? g (2) ?


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