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2016高考数学一轮复习 第二章 第5课时指数函数与对数函数课时作业 理 新人教版

第 5 课时
考 1. 指数函数图象及其性质. 纲 2. 对数的概念及运算法则. 索 3. 对数函数的图象与性质. 引

指数函数与对数函数

1. 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 课 2. 理解对数的概念及其运算性质 ,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 标 数. 要 3. 了解对数在简化运算中的作用. 求 4. 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 知识梳理 1. 指数函数的图象及其性质

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域 过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 当 x>0 时, ; 当 x>0 时, 当 x<0 时, . 当 x<0 时, 在 是 2. 对数的概念及运算法则 (1)对数的定义. 如果 a =N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的 底数,N 叫做真数. (2)对数的常用关系式.
x

;

性质

.


(-∞,+∞)

.

上 在 是

(-∞,+∞)

.

①对数恒等式:
换底公式:logab=

(a>0 且 a≠1,N>0); (b>0,a,c 均大于 0 且不等于 1).



,推广 logab· logbc· logcd=

(d>0,a,b,c 均大于 0 且不等于 1).
1

(3)对数的运算法则. 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么

①loga(M·N)= ②loga=logaM-logaN; ③logaMn= ④loMn=

;

(n∈R); (n∈R,m≠0).

3. 对数函数的图象与性质

a>1
图 象

0<a<1

定义域:(0,+∞) 性 质 值域: 过定点(1,0) 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0. 当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0. 是(0,+∞)上的 基础自测 1. 函数 f(x)=3 -1 的( A. 定义域是 R,值域是 R B. 定义域是 R,值域是(0,+∞) C. 定义域是 R,值域是(-1,+∞) D. 以上都不对 2. 函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则点 A 坐标是( ).
-x

.

是(0,+∞)上的

.

).

A. 3. 函数 y=lg|x|( ).

B.

C. (1,0)

D. (0,1)

A. 是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B. 是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C. 是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 D. 是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 4. 函数 y=a -1(0<a<1)的图象过定点
x

.

2

5. 若函数 y=(a -1) 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是 指点迷津

2

x

.

1. 指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0 <a<1 和 a>1 进 行分类讨论. 2. 易忽视“a >0”的隐含条件. 3. 对数函数的单调性与 a 的值有关,在研究对数函数的单调性时,要看 a 的取值是(0,1)还是 (1,+∞). 4. 对 数 运 算 法 则 中 ,M>0,N>0 是 大 前 提 , 否 则 不 一 定 成 立 . 如 :log2[(-3)×(-2)] ≠ log2(-3)+log2(-2). 考点透析 考向一 指数函数的图象及其性质 例 1 (2014·吉林长春二模)已知函数 f(x)=ae +b 在(0,f(0))处切线为 x-y+1=0. (1)求 f(x)的关系式; (2)设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),x1<x2,k 表示直线 AB 的斜率,求证:f'(x1)<k<f'(x2). 【审题视点】 本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数研究函数的单 调性等基础知识,意在考查考生和综合分析和解决问题的能力、运算求解能力、推理论证能 力.
x x

【方法总结】 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. (2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面 所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可. 变式训练 1. 若 f1(x)= ,f2(x)= ,x ∈ R,p1,p2 为 常 数 , 且 f(x)=

求 f(x)=f1(x)对所有实数成立的充要条件(用 p1,p2 表示).

3

考向二 对数的运算

例 2 (2014·安徽)

+log3+log3=

.

【审题视点】 本题考查指数和对数运算. 【课堂记录】

【方法总结】 首先利用同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为 同底对数真数的积、商、幂的运算,再对指数进行化简. 变式训练

2. (1)若 2 =5 =10,求 (2)若 xlog34=1,求 4 +4 的值.
x -x

a

b

的值;

考向三 对数函数的图象及其性质 例 3 (2014·天津)函数 f(x)=lgx 的单调递减区间是 【审题视点】 本题考查复合函数单调性.
2

.

【方法总结】 (1)对一些可通过平移、 对称变换能作出其图象的对数型函数,在求解其单调 性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合求解. (2)一些对数型方程、 不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利用数形结合法求解. 变式训练 3. (2013·潍坊模拟)若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象 上;②P,Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q] 与[Q,P]看作同一对“友好点对”).

4

已知函数 f(x)= A. 0 对 经典考题 B. 1 对

则此函数的“友好点对”有( C. 2 对 D. 3 对

).

典例 (2014·山东)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. x >y
3 3

x

y

).

B. sinx>siny C. ln(x +1)>ln(y +1)
2 2

D. 【解题指南】 本题考查函数的单调性和不等式的性质. 【解析】 由 a <a (0<a<1)知,x>y,所以 x >y . 【答案】 A 真题体验 1. (2014·安徽)设 a=log37,b=2 ,c=0.8 ,则( A. b<a<c C. c<b<a B. c<a<b D. a<c<b
d
1.1 3.1

x

y

3

3

).

2. (2014·四川)已知 b>0,log5b=a,lgb=c,5 =10,则下列等式一定成立的是( A. d=ac C. c=ad B. a=cd D. d=a+c
-2

).

3. (2014·天津) 设 a=log2π ,b=loπ ,c=π ,则( A. a>b>c C. a>c>b B. b>a>c D. c>b>a

).

4. (2014·全国新课标Ⅰ)设函数 f(x)= 范围是

则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值

.
a

5. (2014·陕西)已知 4 =2,lgx=a,则 x=

.

5

参考答案与解析 知识梳理 1. R (0, +∞) y>1 减函数 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数

2. (2) ① N

② logad

(3) ① logaM+logaN ③ nlogaM ④ 3. R 增函数 减函数 基础自测 1. C 2. C 3. C 4. (0, 0) 5. 考点透析 【例 1】 (1) f(x)=ae +b, f'(0)=1 得 a=1. 把 x=0 代入 x-y+1=0,得 y=1,即 f(0)=1,所以 b=0. 所以 f(x)=e . (2) 由(1) ,得 f'(x)=e ,
x x x

要证明 f'(x1)<k<f'(x2),即证

,

各项同除以

,即证

,

令 t=x2-x1,则 t>0,

这样只需证明
t t

(t>0),即 t<e -1<te .

t

t

设 g(t)=e -t-1, g'(t)=e -1,因为 t>0, 所以 g'(t)>0,即 g(t)在(0, +∞)上是增函数. 所以 g(t)>g(0)=0,即 e -1>t. 设 h(t)=(t-1)e +1, h'(t)=e +(t-1)e =te >0 (t>0), 所以 h(t)在(0, +∞)上也是增函数.
t t t t t

h(t)>h(0)=0,即 tet>et-1,
6

从而证明了 t<e -1<te 成立, 所以 f'(x1)<k<f'(x2).

t

t

【例 2】

解析:

【例 3】 (-∞,0) 解析:复合函数:同增异减,单增区间为(-∞,0). 变式训练 1.

f(x)=f1(x) ? f1(x) ≤ f2(x) ?
?|x-p1|-|x-p2|≤log32,



?

因为|x-p1|-|x-p2|≤|(x-p1)-(x-p2)|=|p1-p2|, 所以只要|p1-p2|≤log32 恒成立. 综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数成立的充要条件是|p1-p2|≤log32. 2. (1) 由已知 a=log210, b=log510,



=lg2+lg5=lg10=1.

(2) 由已知 x=log43,



.

3. C 解析:不妨设函数 y=log2x 的图象上的点 P(x, log2x), x>0,则关于坐标原点对称的点 的坐标为(-x, -log2x),如果该点在函数 y=-x -4x 的图象上,则-log2x=-x +4x,问题等价于求 这个方程的实数解的个数,不难知道这个方程有两个实数解,故选 C. 经典考题 真题体验 1. B 解析:因为 2>a=log37>1, b=2 >2, c=0.8 <1,所以 c<a<b. 2. B 解析:因为 5 =10,所以 d=log510,所以 cd=lg b·log510=log5b=a,故选 B.
d
1.1 3.1 2 2

3. C 解析:因为

所以 b<c<a.

7

4. (-∞, 8] 解析:当 x<1 时,由≤2,得 x<1;当 x≥1 时,由 知 x 的取值范围为 x≤8. 5. 解析:

≤2,解得 1≤x≤8,综合可

.

8