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最新人教版高考数学一轮复习3.1 导数的应用(一)公开课教学设计

3.1 导的应用(一) 典例精析 题型一 求函 f(x)的单调区间[][] 【例 1】已知函 f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R),求函 f(x)的单调区间. 【解析】函 f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1,+∞). 2x(x- a+2 ) 2 , x-1 2x(x- a+2 ) 2 >0 在(1,+∞)上恒成立,所以 x-1 f′(x)=2x-a- a = x-1 ①若 a≤0,则 a+2 ≤1,f′(x)= 2 a≤0 时,f(x)的增区间为(1,+∞). ②若 a>0,则 a+2 >1, 2 2x(x- a+2 ) 2 ≤0; x-1 a+2 ) 2 ≥0, x-1 故当 x∈(1, a+2 ]时,f′(x)= 2 当 x∈[ a+2 ,+∞)时,f ′(x)= 2 2x(x- 所以 a>0 时,f(x)的减区间为(1, a+2 a+2 ],f(x)的增区间为[ ,+∞). 2 2 a+2 与0及1的 2 【点拨】在定义域 x>1 下,为了判定 f′(x)符号,必 须讨论实 大小,分类讨论是解本题的关键. 【变式训练 1】 已知函 f(x)=x2+ln x-ax 在(0,1)上是增函, 求 a 的取值范围.[] 1 【解析】因为 f′(x)=2x+ -a,f(x)在(0,1)上是增函, x 1 所以 2x+ -a≥0 在(0,1)上恒成立, x 1 即 a≤2x+ 恒成立. x 1 2 又 2x+ ≥2 2(当且仅当 x= 时,取等号). x 2 所以 a≤2 2, 故 a 的取值范围为(-∞,2 2].[][] 【点拨】 当 f(x)在区间(a, b)上是增函时? f′(x)≥0 在(a, b)上恒成立; 同样, 当函 f(x)在区间(a,b)上为减函时? f′(x)≤0 在(a,b)上恒成立.然后就要根 据不等式恒成立的条件求参的取值范围了. 题型二 求函的极值 【例 2】已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1. (1)试求常 a,b,c 的值; (2)试判断 x=±1 是函的极小值点还是极大值点,并说明由. 【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c. 因为 x=±1 是函 f(x)的极值点, 所以 x=±1 是方程 f′(x)=0,即 3ax2+ 2bx+c=0 的两根. ? 2b ? ? 0, ? ? 3a ? ? c ? ?1, ? 3a 由根与系的关系,得 ? ① ② 又 f(1)=-1,所以 a+b+c=-1. 1 3 由①②③解得 a= ,b=0,c=- . 2 2 1 3 (2)由(1)得 f(x)= x3- x, 2 2 ③ 3 3 所以当 f′(x)= x2- >0 时,有 x<-1 或 x>1; 2 2 3 3 当 f′(x)= x2- <0 时,有-1<x<1.[] 2 2 1 3 所以函 f(x)= x3- x 在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函,在(-1,1)上是减 2 2 函. 所以当 x=-1 时,函取得极大值 f(-1)=1;当 x=1 时,函取得极小值 f(1) =-1. 【点拨】求函的极值应先求导.对于多项式函 f(x)讲, f(x)在点 x=x0 处取极 值的必要条件是 f′(x)=0.但是, 当 x0 满足 f′(x0)=0 时, f(x)在点 x=x0 处却未必取得极值,只有在 x0 的两侧 f(x)的导异号时,x0 才是 f(x)的极值点. 并且如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极大值点,f(x0) 是极大值; 如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f(x)的极小值点, f(x0)是极小值.[] 3 【变式训 练 2】定义在 R 上的函 y=f(x),满足 f(3-x)=f(x),(x- )f′(x) 2 <0,若 x1<x2,且 x1+x2>3,则有( A. f(x1)<f(x2) C. f(x1)=f(x2) ) B. f(x1)>f(x2) D.不确定 3 3 3 3 【解析】 由 f(3-x)=f(x)可得 f[3-(x + )]=f(x+ ), 即 f( -x)=f(x+ ), 2 2 2 2 3 3 3 所以函 f(x)的图象关于 x= 对称.又因为(x- )f′(x)<0,所以当 x> 时,函 2 2 2 3 x1+x2 3 f(x)单调递减,当 x< 时,函 f(x) 单调递增.当 = 时,f(x1)=f(x2), 2 2 2 因为 x1+x2>3,所以 x1+x2 3 > ,相当于 x1,x2 的中点向右偏离对称轴,所以 2 2 f(x1)>f(x2).故选 B. 题型三 求函的最值 1 【例 3】 求函 f(x)=ln(1+x)- x2 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 4 【解析】f′(x)= 1 1 1 1 - x,令 - x=0,简为 x2+x-2=0,解得 x1=-2 1+x 2 1+x 2 或 x2=1,其中 x1=-2 舍去.[] 又由 f′(x)= 1 1 - x>0, 且 x∈[0,2], 得知函 f(x)的单调递增区间是(0,1), 1+x 2 1 同, 得知函 f(x)的单调递减区间是(1,2),所以 f(1)=ln 2- 为函 f(x)的极 4 大值.又因为 f(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,f (1)>f(2),所以, f(0)=0 为函 1 f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln 2- 为函 f(x)在[0,2]上的最大值. 4 【点拨】求函 f(x)在某闭区间[a,b]上的最值,首先需求函 f(x)在开区间(a, b)内的极值,然后,将 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函值 f(a)、 f(b)比较,才能得出函 f(x)在[a,b]上的最值. 【变式训练 3】 (2

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