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高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课时自测1


3.3.2 函数的极值与导数 1.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于 ( A.2 B.3 2 3 2 ) C.4 D.5 【解析】选 D.因为 f′(x)=3x +2ax+3,所以 f′(-3)=0, 即 3×(-3) -6a+3=0,解得 a=5. 2.函数 f(x)=x +x+2 的极小值是 ( A.B.2 2 2 ) C. D. 4 时 函 数单 调递 减 , 当 x ∈ = . . 【 解析 】选 C.f ′ (x)=2x+1, 令 f ′ (x)=0, 解 得 x=- , 当 x ∈ 时函数单调递增,因此 x=- 是函数的极小值点,极小值为 f 3 2 3.已知曲线 f(x)=x +ax +bx+1 在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x= 是 y=f(x)的极值点,则 a+b= 【解析】由题意 f′(1)=3, f′ =0, 2 而 f′(x)=3x +2ax+b, 所以 解得 所以 a+b=-2. 答案:-2 4.若函数 y=-x +6x +m 的极大值等于 13 ,则实数 m 等于 2 3 2 . 3 2 【解析】y′=-3x +12x,由 y′=0,得 x=0 或 x=4,容易得出当 x=4 时函数取得极大值,所以-4 +6×4 +m=13, 解得 m=-19. 答案:-19 5.已知函数 f(x)=ax +blnx 在 x=1 处有极值 . (1)求 a,b 的值. (2)判断函数 f(x)的单调区间,并求极 值. 【解析】(1)因为 f(x)=ax +blnx, 所以 f′(x)=2ax+ . -12 2 又函数 f(x)在 x=1 处有极值 . 故 即 可得 a= ,b=-1. (2)由(1)可知 f(x)= x -lnx. 其定义域为(0,+∞). 且 f′(x)=x- = . 2 令 f′(x)=0,则 x=-1(舍去)或 x=1. 当 x 变化时,f ′(x), f(x)的变化情况如表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗ 所以函数 f(x)的 单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),且函数在定义域上只有极小值 f(1)= , 而无极大值. -2-

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