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版高中数学第一章统计案例12回归分析一学案新人教B版选修1 2(数学教案)

1.2 回归分析(一) 明目标、知重点 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判 断两个变量间的线性相关程度. 1.回归直线方程 n ^ ^ ^ ^ n 在回归直线方程y =a +b x 中, b = ∑ i=1 xi- x n yi- y 2 ∑ i=1 ^ 1n 1n -b x .其中 x = i ∑ x i, y = ∑ yi. =1 i=1 xi- x ∑xiyi-n x y ^ i=1 = , a =y n 2 2 ∑ x i-n x i=1 n n ( x , y )称为样本点的中心,回归直线过样本点的中心. 2.相关系数 (1)对于变量 x 与 y 随机抽到的 n 对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),检测统计量是样 本相关系数 n r= ∑ i=1 n i=1 xi- x n yi- y 2 ∑ xi- x n i=1 ∑ yi- y y 2 = ∑ xiyi-n x i=1 n i=1 n 2 2 . 2 2 ∑xi-n x i=1 ∑yi-n y (2)相关系数 r 的取值范围是[-1,1],|r|值越大,变量之间的线性相关程度越高;|r|值越 接近 0,变量之间的线性相关程度越低.当|r|>r0.05 时,表明有 95%的把握认为两个变量之间 有线性相关关系. [情境导学] “名师出高徒”这句谚语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者 之间是否有关? 探究点一 回归直线方程 思考 1 两个变量之间的关系分几类? 答 分两类:①函数关系,②相关关系. 函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系. 1 思考 2 什么叫回归分析? 答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. 思考 3 对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪几个步骤? 答 基本步骤为画散点图,求回归直线方程,用回归直线方程进行预报. 例 1 若从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程,并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重. 解 (1)画散点图 选取身高为自变量 x,体重为因变量 y,画出散点图,展示两个变量之间的关系,并判断二者 是否具有线性关系. 由散点图可以发现,样本点呈条状分布,身高和体重有比较好的线性相关关系,因此可以用 回归直线 y=bx+a 来近似刻画它们之间的关系. ^ ^ (2)建立回归方程由计算器可得b =0.849,a =-85.712. ^ 于是得到回归直线方程为y =0.849x-85.712. (3)预报和决策 ^ 当 x=172 时,y =0.849×172-85.712=60.316(kg). 即一名身高为 172 cm 的女大学生的体重预报值为 60.316 kg. 反思与感悟 在使用回归直线方程进行预报时要注意: (1)回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体; (2)我们所建立的回归直线方程一般都有时间性; (3)样本取值的范围会影响回归直线方程的适用范围; (4)不能期望回归直线方程得到的预报值就是预报变量的精确值. 跟踪训练 1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6 (1)请画出上表数据的散点图(要求:点要描粗); 2 ^ ^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程y =b x+a ; (3)试根据求出的回归直线方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力. 解 (1)如图: n (2)i ∑ xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158, =1 x= y= n 2 6+8+10+12 =9, 4 2+3+5+6 =4, 4 2 2 2 2 ∑xi=6 +8 +10 +12 =344, i=1 ^ b = ^ 158-4×9×4 14 =0.7, 2 = 344-4×9 20 ^ a = y -b x =4-0.7×9=-2.3, ^ 故线性回归方程为y =0.7x-2.3. ^ (3)由(2)中回归直线方程,当 x=9 时,y =0.7×9-2.3=4,预测记忆力为 9 的同学的判断 力约为 4. 探究点二 相关性检验 思考 1 给出 n 对数据,按照公式求出的回归直线方程,是否一定能反映这组成对数据的变 化规律? 答 如果数据散点图中的点都大致分布在这条直线附近,这条直线就能反映这组成对数据的 变化规律,否则求出的方程没有实际意义. 思考 2 怎样定量确定两个变量的相关关系? 答 可以通过计算相关系数 r 来确定,若|r|>r0.05,可以有 95%的把握认为两个变量具有线性 相关关系;若|r|≤r0.05,则没有理由认为两个变量具有线性相关关系,此时寻找回归直线方 程毫无意义. 例 2 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量, 这个指标越高, 耐 热水性能也越好,而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素,在生产中常用甲醛浓度 x(g/L)去 控制这一指标,为此必须找出它们之间的关系,现安排一批实验,获得如下数据: 3 甲醛浓度(g/L) 缩醛化度(克分 子%) (1)画散点图; (2)求回归直线方程; 18 26.86 20 28.35 22 28.75 24 28.87 26 29.75 28 30.00 30 30.36 (3)求相关系数 r,并进行相关性检验. 解 (1)散点图如下图: ^

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