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高中数学课件:第二章241空间直角坐标系-文档资料_图文

第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步

读教材·填要点
2.4 课前预习·巧设计 2.4.1

小问题·大思维

空 间 直 角 坐 标 系

空间

考点一
名师课堂·一点通

直角
坐标 系

考点二 考点三

解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关

No.2课下检测

[读教材·填要点] 1.空间直角坐标系的概念

为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的
基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都 垂直 ,这样它们中的任意两条都 互相垂直;轴的方向通常 这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转

90° 能与y轴的正半轴重合.这时,我们说在空间建立了一 个 空间直角坐标系 Oxyz,O叫做 坐标原点 .每两条坐标
轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做 坐标平面.

2.空间中点的坐标 过点P作一个平面平行于平面yOz,这个平面与x轴的交 点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x叫做点P的

x坐标 .
过点P作一个平面平行于平面xOz,这个平面与y轴的交点 记为P ,它在y轴的坐标为y,这个数y叫做点P的 y坐标 .
y

过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴 的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z就叫做点P 的 z坐标 .

这样对空间的一点P,定义了三个实数的有序数组作为
它的坐标,记作 P(x,y,z) ,其中x,y,z也可称为点P 的 坐标分量 . 3.卦限的概念 三个坐标平面把空间分为八部分,每一部分称为一个 卦限 ,在各个卦限内,点的坐标各分量的符号是 不变的 .

[小问题·大思维] 1.在空间直角坐标系中,点的坐标与空间中的点之间是 否是一一对应关系?

提示:是一一对应关系.
2.确定点的位置有哪些方法? 提示:确定点的位置一般有三种方法: (1)在x轴上找点M1(x0,0,0),过M1作与x轴垂直的平面α; 再在y轴上找点M2(0,y0,0),过M2作与y轴垂直的平面β;

再在z轴上找点M3(0,0,z0),过M3作垂直于z轴的平面γ,
于是α,β,γ交于一点,该点即为所求.

(2)确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由z坐标确定
点(x0,y0,z0)的位置.

(3)以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的
长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方 体中与原点O相对的顶点即为所求的点.

[研一题] [例1] 已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2,建 立如图不同的空间直角坐标系,试分别写出正方体各顶点 的坐标.

[自主解答]

(1)∵D是坐标原点,A,C,D′分别在x轴,y

轴,z轴正半轴上,又正方体棱长为2,
∴D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D′(0,0,2). ∵B点在xDy面上,它在x轴、y轴上的射影分别是A、C, ∴B(2,2,0),同理,A′(2,0,2),C′(0,2,2). ∵B′在xDy平面上的射影是B,在z轴上的射影是D′, ∴B′(2,2,2). (2)方法同(1),可求得A′(2,0,0),B′(2,2,0),C′(0,2,0),

D′(0,0,0),
A(2,0,-2),B(2,2,-2),C(0,2,-2),D(0,0,-2).

[悟一法] 空间的点有以下几种:点在坐标轴上、在坐标平面内、 既不在坐标轴上,也不在坐标平面内.若是前两种情形, 则能比较容易地求出点的坐标,若是第三种情形,则通过 该点分别作平行于坐标轴的平面,与坐标轴产生交点,则 交点的坐标便组成了所求点的坐标.

[通一类]
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1

中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱
长为1.求E,F的坐标.
解:法一:E 点在 xDy 面上的射影为 B,B(1,1,0), 1 1 竖坐标为2.所以 E(1,1,2). F 在 xDy 面上的射影为 BD 的中点 G, 竖坐标为 1, 1 1 所以 F(2,2,1).

法二:B1(1,1,1),D1(0,0,1), B(1,1,0), E 为 B1B 的中点,F 为 B1D1 的中点, 1+1 1+1 1+0 1 故 E 的坐标为( 2 , 2 , 2 )=(1,1,2), 1+0 1+0 1+1 1 1 F 的坐标为( 2 , 2 , 2 )=(2,2,1).

[研一题] [例 2] 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、

1 F 分别是 D1D、 BD 的中点, G 在棱 CD 上, 且 CG=4CD, H 为 C1G 的中点,试建立适当的坐标系,写出 E、F、G、 H 的坐标.

[自主解答] 建立如图所示的空间直角坐标系. 点 E 在 z 轴上,它的 x 坐标、y 坐标均为 0,而 E 为 1 DD1 的中点,故其坐标为(0,0,2). 由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC, 1 1 由平面几何知 FM=2、FN=2, 1 1 故 F 点坐标为(2,2,0).

点 G 在 y 轴上,其 x、z 坐标均为 0, 3 3 又 GD=4,故 G 点坐标为(0,4,0) 由 H 作 HK⊥CG 于 K, 由于 H 为 C1G 的中点, 1 1 故 HK=2,CK=8, 7 7 1 ∴DK=8,故 H 点坐标为(0,8,2).

[悟一法] 1.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使
点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在 坐标轴上. 2.对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱为x、 y、z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用 的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转 化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这

也是求空间点的坐标的关键.

[通一类] 2.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10, 试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解:因为正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧 棱长为 10, 所以正四棱锥的高为 2 23. 以正四棱锥的底面中心为原点, 平行于 BC、AB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2,-2,0)、B(2,2,0)、 C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,2 23).

[研一题] [例3] 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).

(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.

[自主解答]

(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的

分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对
称点为P1(-2,-1,-4). (2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分 量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为 P2(-2,1,-4).

(3)设对称点为P3(x,y,z), 则点M为线段PP3的中点, 由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,

所以P3(6,-3,-12).

[悟一法] 在空间直角坐标系中,任一点P(x,y,z)的几种特 殊的对称点的坐标如下:

(1)关于原点对称的点的坐标是P1(-x,-y,-z).
(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x,-y,-z). (3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(-x,y,-z). (4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(-x,-y,z). (5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x,y,-z).

(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(-x,y,z).
(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x,-y,z).

[通一类] 3.已知点A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1,A1关于 xOz平面的对称点为A2,A2关于z轴的对称点为A3,求 线段AA3的中点M的坐标.

解:∵点A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标
为(4,-2,-3),点A1(4,-2,-3)关于xOz平面的 对称点A2的坐标为(4,2,-3),点A2(4,2,-3)关于z 轴的对称点A3的坐标为(-4,-2,-3),∴AA3中点 M的坐标为(-4,0,0).

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4, AA1=4,A1C1与B1D1相交于点P,建立适当的坐标系,求 点C、B1、P的坐标(写出符合题意的一种情况即可). [错解] 如图所示,分别以AB、AD和AA1所在直 线为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系. ∵AB=5,AD=4,AA1=4,

∴B(5,0,0),D(0,4,0),A1(0,0,4),
从而C(5,4,0),B1(5,0,4). 又D1(0,4,4),P为B1D1的中点,∴P(,2,4).

[错因]

空间直角坐标系中,x轴、y轴和z轴的正方向

排列次序要符合如下规则:从z轴的正方向看,x轴的正半 轴按逆时针方向转90°与y轴的正半轴重合.错解中,坐标 系的建立不符合如上法则,因此解答是不正确的.

[正解] 如图所示,分别以 AD、AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系. ∵AB=5,AD=4,AA1=4, ∴B(0,5,0),D(4,0,0), A1(0,0,4), 从而 C(4,5,0),B1(0,5,4). 又 D1(4,0,4),P 为 B1D1 的中点, 5 ∴P(2,2,4).


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