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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.4 简单线性规划课件 文_图文

第六章 不等式、推理与证明

第四节

简单线性规划

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2.了解二元一 次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; 3.会从实际

情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直 线ax+by+c=0某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)不含边界直线。 不等式ax+by+c≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线。 (2)对于直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y),使得ax+by+c的值 符号相同,也就是位于同一半平面内的点。若其坐标适合同一个不等式ax

+by+c>0;而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式ax+
by+c<0。 (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式 所表示的平面区域的 公共部分 。

2.线性规划中的基本概念
名称 约束条件 意义 不等式(组) 由变量x,y组成的__________ 由x,y的______ 一次 不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x,y的函数 解析式 ,如z=2x+3y等

线性约束条件
目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解

关于x,y的 一次 解析式
满足线性约束条件的解______ (x,y)

所有可行解组成的_____ 集合

使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问 线性规划问题 题

3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是

(1)在平面直角坐标系内作出可行域;
(2)作出目标函数的等值线; (3) 确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线 ,从而确定 最优解 ; __________ (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

基 础 自 测
[判一判] (1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的 上方。( × ) 解析 错误。当 B>0 时,表示的平面区域在直线 Ax + By+ C = 0 的上 方;当B<0时,表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的下方。 (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域。( × )

解析 错误。二元一次不等式组有解时,其表示平面上的一个区域;
无解时,不表示平面上的区域。 (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的。( √ )

解析 正确。

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上。( √

)

解析 正确。
(5)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴 上的截距。( ) ×
a z 解析 错误。由 z=ax+by,得 y=-bx+b,所以直线 ax+by-z=0 z 在 y 轴上的截距为b。

[练一练] 1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( A.(0,0) C.(-1,3) B.(-1,1) D.(2,-3) )

解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选项C正确。

答案 C

2.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在直角坐标平面内表示的区域 (用阴
影部分表示),应是下列图形中的( )

A.

B.

C.

D.

解析

(x-2y+1)(x+y-3)≤0?

?x-2y+1≥0, ?x-2y+1≤0, ? 或? ?x+y-3≤0, ?x+y-3≥0。

答案

C

2x+y-6≤0, ? ? 3.不等式组?x+y-3≥0, 表示的平面区域的面积为( ? ?y≤2 A.4 C.5 B.1 D.无穷大

)

2x+y-6≤0, ? ? 解析 不等式组?x+y-3≥0, 表示的平面 ? ?y≤2 区域如图所示(阴影部分),△ABC 的面积即为所求。 求出点 A, B, C 的坐标分别为 A(1,2), B(2,2), C(3,0), 1 则△ABC 的面积为 S=2×(2-1)×2=1。 答案 B

x+y≥-1, ? ? 4.(2015· 湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?2x-y<1, 则 z=3x- ? ?y≤1, y 的最小值为( A.-7 C.1 ) B.-1 D.2

解析 画出约束条件对应的可行域(如图)。 由 z=3x-y 得 y=3x-z,依题意,在可 行域内平移直线 l0:y=3x,当直线 l0 经过点 A 时,直线 l0 的截距最大,此时,z 取得最小值。
?y=1, ?x=-2, 由? 得? ?x+y+1=0, ?y=1,

则 A(-2,1), 故 z 的最小值为 3×(-2)-1 =-7。 答案 A

y≤x, ? ? 5. 若变量 x, y 满足约束条件?x+y≤4, 且 z=2x+y 的最小值为-6, ? ?y≥k,
-2 。 则 k=________ 解析 画出可行域如图所示:作直线 l0: y=-2x,平移直线 l0,当过

A(k,k)时,使得z最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2。

R

热点命题

深度剖析

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
x+y-2≥0, ? ? 【例 1 】 (1) 不等式组 ?x+2y-4≤0, 表示的平面区域的面积为 ? ?x+3y-2≥0
4 ________ 。

【解析】 画出 x, y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域△ABC, 易得 B(2,0),C(0,2),D(4,0),
?x+3y-2=0, 由? 解得 A(8,- x + 2 y - 4 = 0 , ?

2), 1 ∴S△ABC=S△CBD+S△ABD=2×2×2 1 +2×2×2=4。

x≥1, ? ? (2)若关于 x,y 的不等式组?x+y≤2, 所表示的区域为三角形,则实 ? ?y≥ax 数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(-1,1) ) B.(0,1) D.(1,+∞)

【解析】 y=ax 为过原点的直线, 当 a≥0 时 , 若 能 构 成 三 角 形 , 则 需 0≤a<1;当 a<0 时,若能构成三角形, 则需-1<a<0, 综上 a∈(-1,1)。 【答案】 C

【规律方法】
特殊点常选取原点。

(1)作平面区域时要“直线定界,特殊点定域”,当不

等式无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线,若直线不过原点,

(2)求平面区域的面积,要先确定区域,若是规则图形可直接求,若不
规则可通过分割求解。

x≥0, ? ? 变式训练 1 (1)若不等式组?x+3y≥4, 所表示的平面区域被直线 y ? ?3x+y≤4 4 =kx+3分为面积相等的两部分,则 k 的值是( 7 A.3 4 C.3 3 B.7 3 D.4 )

解析 不等式组表示的平面区域如图所示。
? 4? 4 ? 由于直线 y=kx+3过定点?0,3? ?。 ? ?

4 因此只有直线过 AB 中点时, 直线 y=kx+3 能平分平面区域。 1 5? 因为 A(1,1), B(0,4), 所以 AB 中点 D 2,2? ?。 ?
?1 5? 4 5 k 4 7 ? 当 y=kx+3过点?2,2? ?时, = + ,所以 k= 。 2 2 3 3 ? ? ? ? ? ?

答案 A

x+y-2≤0, ? ? (2)(2015· 重庆卷)若不等式组?x+2y-2≥0, 表示的平面区域为三角 ? ?x-y+2m≥0 4 形,且其面积等于3,则 m 的值为( A.-3 4 C.3 B.1 D.3 )

解析

如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式 x

- y + 2m≥0 表示的平面区域为直线 x - y + 2m = 0 下方的区域,且- 2m<2,即m>-1。这时平面区域为三角形ABC。

?x+y-2=0, ?x=2, 由? 解得? 则 A(2,0)。 ?x+2y-2=0, ?y=0, ?x+y-2=0, ?x=1-m, 由? 解得? ?x-y+2m=0, ?y=1+m,

则 B(1-m,1+m)。 2-4m 2+2m 同理 C 3 , 3 ,M(-2m,0)。 2+2m ?m+1?2 1 因为 S△ABC=S△ABM-S△ACM=2· (2+2m)· (1+m)- 3 = 3 , 由 ?m+1?2 4 已知得 3 =3,解得 m=1(m=-3<-1 舍去)。 答案 B

(3) 如 图 阴 影 部 分 表 示 的 区 域 可 用 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 为
?x+y-1≥0, ? _______________ ?x-2y+2≥0 。

解析 两直线方程分别为 x-2y+2=0 与 x+y-1=0。 由(0,0)点在直线 x-2y+2=0 右下方可知 x-2y+2≥0, 又 (0,0) 点 在 直 线 x + y - 1 = 0 左 下 方 可 知 x + y - 1≥0 , 即
?x+y-1≥0, ? 为阴影部分所表示的可行域。 x - 2 y + 2 ≥ 0 ?

考点二 求目标函数的最值
线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重

形式,多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗
透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖别致。

角度一:求线性目标函数的最值 x+2y≥0, ? ? 1.(2015· 福建卷)若变量 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 则 z=2x ? ?x-2y+2≥0, -y 的最小值等于( 5 A.-2 3 C.-2 ) B.-2 D.2

解析 画出可行域,如图阴影部分所示。 目标函数化为 y=2x-z,平移后在点 A 处 取得最小值,
?x+2y=0, 1 由? 得 A-1,2, ?x-2y+2=0,

1 5 所以 zmin=2×(-1)-2=-2。 答案 A

x+2≥0, ? ? 2.(2015· 天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y+3≥0, 则目标 ? ?2x+y-3≤0, 函数 z=x+6y 的最大值为( A.3 C.18 )

B.4 D.40

解析

画出题中约束条件满足的可行域,

1 z 如图中阴影所示, 将目标函数化为 y=-6x+6, 结合图像可知, 当目标函数线平移到过点 A(0,3) 时,z 取得最大值,最大值为 18。故选 C。 答案 C

角度二:求非线性目标函数的最值 x-1≥0, ? ? y 3. (2015· 新课标全国卷Ⅰ)若 x, y 满足约束条件?x-y≤0, 则x的 ? ?x+y-4≤0,

3 最大值为________ 。
解析 画出约束条件对应的平面区域(如图), 点A为

y-0 y (1,3),要使x最大,则 最大,即过点(x,y),(0,0)两点 x-0 3-0 y 的直线斜率最大, 由图形知当该直线过点 A 时, = xmax 1-0 =3。

x+y≤2, ? ? 4.(2015· 郑州质检)设实数 x,y 满足不等式组?y-x≤2, 则 x2+y2 ? ?y≥1, 的取值范围是( A.[1,2] C.[ 2,2] ) B.[1,4] D.[2,4]

解析

如图所示,不等式组表示的平面区域是△ ABC的内部( 含边

界), x2+y2表示的是此区域内的点 (x,y)到原点距离的平方。从图中可 知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值 为2,故x2+y2的取值范围是[1,4]。

答案 B

x-y+2≥0, ? ? 5.实数 x,y 满足不等式组?2x-y-5≤0, 则 z=|x+2y-4|的最大 ? ?x+y-4≥0,

21 值为________ 。
解析 解法一:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示。 |x+2y-4| z=|x+2y-4|= · 5,即其几何含义为阴影区域内的点到直线 x+ 5
?x-y+2=0, 2y-4=0 的距离的 5倍。 由? 得 B 点坐标为(7,9), 显然点 B 2 x - y - 5 = 0 , ?

到直线 x+2y-4=0 的距离最大,此时 zmax=21。

解法二:由图可知,阴影区域内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显 然此时有x+2y-4>0,于是目标函数等价于zmax=x+2y-4,即转化为一般 的线性规划问题。显然当直线经过点 B 时,目标函数取得最大值, zmax = 21。

角度三:求线性规划中的参数 x-y≥0, ? ? 6.(2015· 山东卷)已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2, 若 z=ax+y 的 ? ?y≥0。 最大值为 4,则 a=( A.3 C.-2 ) B.2 D.-3

解析 由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示。

线性目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z。 设直线 l0:ax+y=0。 当-a≥1,即 a≤-1 时,l0 过 O(0,0)时,z 取得 最大值,zmax=0+0=0,不合题意; 当 0≤-a<1,即-1<a≤0 时,l0 过 B(1,1)时,z 取得最大值,zmax= a+1=4,∴a=3(舍去);

当-1<-a<0 时,即 0<a<1 时,l0 过 B(1,1)时,z 取得最大值,zmax 3 =2a+1=4,∴a=2(舍去); 当-a≤-1,即 a≥1 时,l0 过 A(2,0)时,z 取得最大值,zmax=2a+ 0=4,∴a=2。 综上,a=2 符合题意。 答案 B

x+y-2≤0, ? ? 7.x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, 若 z=y-ax 取得最大值的最 ? ?2x-y+2≥0。 优解不唯一,则实数 a 的值为( 1 A.2或-1 C.2 或 1 )

1 B.2 或2 D.2 或-1

解析

画出x,y的约束条件限定的可行域,如图阴影区域所示,由

z=y-ax得y=ax+z,当直线y=ax与直线2x-y+2=0或直线x+y-2=0 平行时,符合题意,则a=2或-1。

答案 D

【规律方法】 求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求。 【规律方法】 (1) (1) 求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求。 其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义。 其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义。 (2) 常见的目标函数有:①截距型:形如 z= axax ++ byby 。求这类目标函数的 (2) 常见的目标函数有:①截距型:形如 z= 。求这类目标函数的 aa z z 最值常将函数 z = ax + by 转化为直线的斜截式: y =- + 最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ bxb b,通过求直线的 b,通过求直线的 z z 2 2 2 2 截距 的最值间接求出 z 的最值;②距离型:形如 z = ( x - a ) + ( y - b ) 截距 的最值间接求出 z 的最值;②距离型:形如 z = ( x - a ) + ( y - b;③ ) ;③ bb y- bb y- 斜率型:形如 z= 。。 斜率型:形如 z= x- a x-a

(3)由目标函数的最值求参数。求解线性规划中含参问题的基本方法有

两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优
解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值 范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满

足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数。

考点三

线性规划的实际应用
某客运公司用 A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长

【例 2】

途客运业务,每车每天往返一次。A,B两种车辆的载客量分别为36人和60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆。公司拟组建 一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求B型车不多于 A型车7 辆。若每天要 以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成

本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?

【解】 设配备 A 型客车 x 辆,配备 B 型 客车 y 辆,营运成本为 z,则线性约束条件为

?x+y≤21, ?y-x≤7, ? ?36x+60y≥900, ?x、y∈N,
目标函数为 z=1 600x+2 400y。 画出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点(5,12)时,有 最小值 zmin=36 800(元)。 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆。

【规律方法】 求解线性规划应用题的注意点 (1)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x,y的取值范围, 特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等。 (2)对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的 一个凸多边形区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶 点。

变式训练2

(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两

种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。 如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获

得最大利润为(

)
甲 A(吨) B(吨) 3 1 乙 2 2 B.16万元 D.18万元 原料限额 12 8

A.12万元 C.17万元

解析 设该企业每天生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,获利 z 元。

?3x+2y≤12, ?x+2y≤8, 则由题意知? ?x≥0, ?y≥0,
=3x+4y。

利润函数 z

画出可行域如图所示,当直线 3x+4y-z =0 过点 B 时,目标函数取得最大值。
?3x+2y=12, ?x=2, 由? 解得? ?x+2y=8, ?y=3。

故利润函数的最大值为 z=3×2+4×3=18(万元)。故选 D。 答案 D

S

思想方法

感悟提升

⊙1种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法

(1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式
含有等号,把直线画成实线。 (2) 特殊点定域,即在直线 Ax+ By+ C=0 的同一侧取一个特殊点 (x0 ,

y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的
这一侧,否则就表示直线的另一侧。特别地,当C≠0时,常把原点作为测 试点;当C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。

⊙1个步骤——利用线性规划求最值的步骤

(1)在平面直角坐标系内作出可行域。
(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形。 (3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解。

(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

⊙2 个注意点——求线性目标函数最值应注意的问题 求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直 a z z 线的斜截式:y=-bx+b,通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值, 应注意以下两点: z z (1)若 b>0,则截距b取最大值时,z 取最大值;截距b取最小值时,z 取 最小值。 z z (2)若 b<0,则截距b取最大值时,z 取最小值;截距b取最小值时,z 取 最大值。


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