2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.4 简单线性规划课件 文_图文

第六章 不等式、推理与证明

第四节

简单线性规划

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一 次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 3.会从实际

情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式ax＋by＋c>0在平面直角坐标系中表示直 线ax＋by＋c＝0某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)不含边界直线。 不等式ax＋by＋c≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线。 (2)对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，使得ax＋by＋c的值 符号相同，也就是位于同一半平面内的点。若其坐标适合同一个不等式ax

＋by＋c>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式ax＋
by＋c<0。 (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式 所表示的平面区域的 公共部分 。

2．线性规划中的基本概念
名称 约束条件 意义 不等式(组) 由变量x，y组成的__________ 由x，y的______ 一次 不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数 解析式 ，如z＝2x＋3y等

线性约束条件
目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解

关于x，y的 一次 解析式
满足线性约束条件的解______ (x，y)

所有可行解组成的_____ 集合

使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问 线性规划问题 题

3.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是

(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)作出目标函数的等值线； (3) 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线 ，从而确定 最优解 ； __________ (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

基 础 自 测
[判一判] (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的 上方。( × ) 解析 错误。当 B>0 时，表示的平面区域在直线 Ax ＋ By＋ C ＝ 0 的上 方；当B<0时，表示的平面区域在直线Ax＋By＋C＝0的下方。 (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域。( × )

解析 错误。二元一次不等式组有解时，其表示平面上的一个区域；
无解时，不表示平面上的区域。 (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的。( √ )

解析 正确。

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上。( √

)

解析 正确。
(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴 上的截距。( ) ×
a z 解析 错误。由 z＝ax＋by，得 y＝－bx＋b，所以直线 ax＋by－z＝0 z 在 y 轴上的截距为b。

[练一练] 1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( A．(0,0) C．(－1,3) B．(－1,1) D．(2，－3) )

解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选项C正确。

答案 C

2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域 (用阴
影部分表示)，应是下列图形中的( )

A.

B.

C.

D.

解析

(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?

?x－2y＋1≥0， ?x－2y＋1≤0， ? 或? ?x＋y－3≤0， ?x＋y－3≥0。

答案

C

2x＋y－6≤0， ? ? 3．不等式组?x＋y－3≥0， 表示的平面区域的面积为( ? ?y≤2 A．4 C．5 B．1 D．无穷大

)

2x＋y－6≤0， ? ? 解析 不等式组?x＋y－3≥0， 表示的平面 ? ?y≤2 区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求。 求出点 A， B， C 的坐标分别为 A(1,2)， B(2,2)， C(3,0)， 1 则△ABC 的面积为 S＝2×(2－1)×2＝1。 答案 B

x＋y≥－1， ? ? 4．(2015· 湖南卷)若变量 x，y 满足约束条件?2x－y<1， 则 z＝3x－ ? ?y≤1， y 的最小值为( A．－7 C．1 ) B．－1 D．2

解析 画出约束条件对应的可行域(如图)。 由 z＝3x－y 得 y＝3x－z，依题意，在可 行域内平移直线 l0：y＝3x，当直线 l0 经过点 A 时，直线 l0 的截距最大，此时，z 取得最小值。
?y＝1， ?x＝－2， 由? 得? ?x＋y＋1＝0， ?y＝1，

则 A(－2,1)， 故 z 的最小值为 3×(－2)－1 ＝－7。 答案 A

y≤x， ? ? 5． 若变量 x， y 满足约束条件?x＋y≤4， 且 z＝2x＋y 的最小值为－6， ? ?y≥k，
－2 。 则 k＝________ 解析 画出可行域如图所示：作直线 l0： y＝－2x，平移直线 l0，当过

A(k，k)时，使得z最小，由最小值为－6，可得3k＝－6，解得k＝－2。

R

热点命题

深度剖析

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
x＋y－2≥0， ? ? 【例 1 】 (1) 不等式组 ?x＋2y－4≤0， 表示的平面区域的面积为 ? ?x＋3y－2≥0
4 ________ 。

【解析】 画出 x， y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域△ABC， 易得 B(2,0)，C(0,2)，D(4,0)，
?x＋3y－2＝0， 由? 解得 A(8，－ x ＋ 2 y － 4 ＝ 0 ， ?

2)， 1 ∴S△ABC＝S△CBD＋S△ABD＝2×2×2 1 ＋2×2×2＝4。

x≥1， ? ? (2)若关于 x，y 的不等式组?x＋y≤2， 所表示的区域为三角形，则实 ? ?y≥ax 数 a 的取值范围是( A．(－∞，1) C．(－1,1) ) B．(0,1) D．(1，＋∞)

【解析】 y＝ax 为过原点的直线， 当 a≥0 时 ， 若 能 构 成 三 角 形 ， 则 需 0≤a<1；当 a<0 时，若能构成三角形， 则需－1<a<0， 综上 a∈(－1,1)。 【答案】 C

【规律方法】
特殊点常选取原点。

(1)作平面区域时要“直线定界，特殊点定域”，当不

等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线，若直线不过原点，

(2)求平面区域的面积，要先确定区域，若是规则图形可直接求，若不
规则可通过分割求解。

x≥0， ? ? 变式训练 1 (1)若不等式组?x＋3y≥4， 所表示的平面区域被直线 y ? ?3x＋y≤4 4 ＝kx＋3分为面积相等的两部分，则 k 的值是( 7 A.3 4 C.3 3 B.7 3 D.4 )

解析 不等式组表示的平面区域如图所示。
? 4? 4 ? 由于直线 y＝kx＋3过定点?0，3? ?。 ? ?

4 因此只有直线过 AB 中点时， 直线 y＝kx＋3 能平分平面区域。 1 5? 因为 A(1,1)， B(0,4)， 所以 AB 中点 D 2，2? ?。 ?
?1 5? 4 5 k 4 7 ? 当 y＝kx＋3过点?2，2? ?时， ＝ ＋ ，所以 k＝ 。 2 2 3 3 ? ? ? ? ? ?

答案 A

x＋y－2≤0， ? ? (2)(2015· 重庆卷)若不等式组?x＋2y－2≥0， 表示的平面区域为三角 ? ?x－y＋2m≥0 4 形，且其面积等于3，则 m 的值为( A．－3 4 C.3 B．1 D．3 )

解析

如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则不等式 x

－ y ＋ 2m≥0 表示的平面区域为直线 x － y ＋ 2m ＝ 0 下方的区域，且－ 2m<2，即m>－1。这时平面区域为三角形ABC。

?x＋y－2＝0， ?x＝2， 由? 解得? 则 A(2,0)。 ?x＋2y－2＝0， ?y＝0， ?x＋y－2＝0， ?x＝1－m， 由? 解得? ?x－y＋2m＝0， ?y＝1＋m，

则 B(1－m,1＋m)。 2－4m 2＋2m 同理 C 3 ， 3 ，M(－2m,0)。 2＋2m ?m＋1?2 1 因为 S△ABC＝S△ABM－S△ACM＝2· (2＋2m)· (1＋m)－ 3 ＝ 3 ， 由 ?m＋1?2 4 已知得 3 ＝3，解得 m＝1(m＝－3<－1 舍去)。 答案 B

(3) 如 图 阴 影 部 分 表 示 的 区 域 可 用 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 为
?x＋y－1≥0， ? _______________ ?x－2y＋2≥0 。

解析 两直线方程分别为 x－2y＋2＝0 与 x＋y－1＝0。 由(0,0)点在直线 x－2y＋2＝0 右下方可知 x－2y＋2≥0， 又 (0,0) 点 在 直 线 x ＋ y － 1 ＝ 0 左 下 方 可 知 x ＋ y － 1≥0 ， 即
?x＋y－1≥0， ? 为阴影部分所表示的可行域。 x － 2 y ＋ 2 ≥ 0 ?

考点二 求目标函数的最值
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重

形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗
透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致。

角度一：求线性目标函数的最值 x＋2y≥0， ? ? 1．(2015· 福建卷)若变量 x，y 满足约束条件?x－y≤0， 则 z＝2x ? ?x－2y＋2≥0， －y 的最小值等于( 5 A．－2 3 C．－2 ) B．－2 D．2

解析 画出可行域，如图阴影部分所示。 目标函数化为 y＝2x－z，平移后在点 A 处 取得最小值，
?x＋2y＝0， 1 由? 得 A－1，2， ?x－2y＋2＝0，

1 5 所以 zmin＝2×(－1)－2＝－2。 答案 A

x＋2≥0， ? ? 2．(2015· 天津卷)设变量 x，y 满足约束条件?x－y＋3≥0， 则目标 ? ?2x＋y－3≤0， 函数 z＝x＋6y 的最大值为( A．3 C．18 )

B．4 D．40

解析

画出题中约束条件满足的可行域，

1 z 如图中阴影所示， 将目标函数化为 y＝－6x＋6， 结合图像可知， 当目标函数线平移到过点 A(0,3) 时，z 取得最大值，最大值为 18。故选 C。 答案 C

角度二：求非线性目标函数的最值 x－1≥0， ? ? y 3． (2015· 新课标全国卷Ⅰ)若 x， y 满足约束条件?x－y≤0， 则x的 ? ?x＋y－4≤0，

3 最大值为________ 。
解析 画出约束条件对应的平面区域(如图)， 点A为

y－0 y (1,3)，要使x最大，则 最大，即过点(x，y)，(0,0)两点 x－0 3－0 y 的直线斜率最大， 由图形知当该直线过点 A 时， ＝ xmax 1－0 ＝3。

x＋y≤2， ? ? 4．(2015· 郑州质检)设实数 x，y 满足不等式组?y－x≤2， 则 x2＋y2 ? ?y≥1， 的取值范围是( A．[1,2] C．[ 2，2] ) B．[1,4] D．[2,4]

解析

如图所示，不等式组表示的平面区域是△ ABC的内部( 含边

界)， x2＋y2表示的是此区域内的点 (x，y)到原点距离的平方。从图中可 知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值 为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]。

答案 B

x－y＋2≥0， ? ? 5．实数 x，y 满足不等式组?2x－y－5≤0， 则 z＝|x＋2y－4|的最大 ? ?x＋y－4≥0，

21 值为________ 。
解析 解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示。 |x＋2y－4| z＝|x＋2y－4|＝ · 5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线 x＋ 5
?x－y＋2＝0， 2y－4＝0 的距离的 5倍。 由? 得 B 点坐标为(7,9)， 显然点 B 2 x － y － 5 ＝ 0 ， ?

到直线 x＋2y－4＝0 的距离最大，此时 zmax＝21。

解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显 然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于zmax＝x＋2y－4，即转化为一般 的线性规划问题。显然当直线经过点 B 时，目标函数取得最大值， zmax ＝ 21。

角度三：求线性规划中的参数 x－y≥0， ? ? 6．(2015· 山东卷)已知 x，y 满足约束条件?x＋y≤2， 若 z＝ax＋y 的 ? ?y≥0。 最大值为 4，则 a＝( A．3 C．－2 ) B．2 D．－3

解析 由约束条件画出可行域，如图阴影部分所示。

线性目标函数 z＝ax＋y，即 y＝－ax＋z。 设直线 l0：ax＋y＝0。 当－a≥1，即 a≤－1 时，l0 过 O(0,0)时，z 取得 最大值，zmax＝0＋0＝0，不合题意； 当 0≤－a<1，即－1<a≤0 时，l0 过 B(1,1)时，z 取得最大值，zmax＝ a＋1＝4，∴a＝3(舍去)；

当－1<－a<0 时，即 0<a<1 时，l0 过 B(1,1)时，z 取得最大值，zmax 3 ＝2a＋1＝4，∴a＝2(舍去)； 当－a≤－1，即 a≥1 时，l0 过 A(2,0)时，z 取得最大值，zmax＝2a＋ 0＝4，∴a＝2。 综上，a＝2 符合题意。 答案 B

x＋y－2≤0， ? ? 7．x，y 满足约束条件?x－2y－2≤0， 若 z＝y－ax 取得最大值的最 ? ?2x－y＋2≥0。 优解不唯一，则实数 a 的值为( 1 A.2或－1 C．2 或 1 )

1 B．2 或2 D．2 或－1

解析

画出x，y的约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由

z＝y－ax得y＝ax＋z，当直线y＝ax与直线2x－y＋2＝0或直线x＋y－2＝0 平行时，符合题意，则a＝2或－1。

答案 D

【规律方法】 求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求。 【规律方法】 (1) (1) 求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求。 其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义。 其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义。 (2) 常见的目标函数有：①截距型：形如 z＝ axax ＋＋ byby 。求这类目标函数的 (2) 常见的目标函数有：①截距型：形如 z＝ 。求这类目标函数的 aa z z 最值常将函数 z ＝ ax ＋ by 转化为直线的斜截式： y ＝－ ＋ 最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－ x＋ bxb b，通过求直线的 b，通过求直线的 z z 2 2 2 2 截距 的最值间接求出 z 的最值；②距离型：形如 z ＝ ( x － a ) ＋ ( y － b ) 截距 的最值间接求出 z 的最值；②距离型：形如 z ＝ ( x － a ) ＋ ( y － b；③ ) ；③ bb y－ bb y－ 斜率型：形如 z＝ 。。 斜率型：形如 z＝ x－ a x－a

(3)由目标函数的最值求参数。求解线性规划中含参问题的基本方法有

两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优
解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值 范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满

足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。

考点三

线性规划的实际应用
某客运公司用 A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长

【例 2】

途客运业务，每车每天往返一次。A，B两种车辆的载客量分别为36人和60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆。公司拟组建 一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求B型车不多于 A型车7 辆。若每天要 以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成

本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

【解】 设配备 A 型客车 x 辆，配备 B 型 客车 y 辆，营运成本为 z，则线性约束条件为

?x＋y≤21， ?y－x≤7， ? ?36x＋60y≥900， ?x、y∈N，
目标函数为 z＝1 600x＋2 400y。 画出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有 最小值 zmin＝36 800(元)。 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆。

【规律方法】 求解线性规划应用题的注意点 (1)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围， 特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等。 (2)对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的 一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶 点。

变式训练2

(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两

种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。 如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获

得最大利润为(

)
甲 A(吨) B(吨) 3 1 乙 2 2 B．16万元 D．18万元 原料限额 12 8

A.12万元 C．17万元

解析 设该企业每天生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利 z 元。

?3x＋2y≤12， ?x＋2y≤8， 则由题意知? ?x≥0， ?y≥0，
＝3x＋4y。

利润函数 z

画出可行域如图所示，当直线 3x＋4y－z ＝0 过点 B 时，目标函数取得最大值。
?3x＋2y＝12， ?x＝2， 由? 解得? ?x＋2y＝8， ?y＝3。

故利润函数的最大值为 z＝3×2＋4×3＝18(万元)。故选 D。 答案 D

S

思想方法

感悟提升

⊙1种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法

(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式
含有等号，把直线画成实线。 (2) 特殊点定域，即在直线 Ax＋ By＋ C＝0 的同一侧取一个特殊点 (x0 ，

y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的
这一侧，否则就表示直线的另一侧。特别地，当C≠0时，常把原点作为测 试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。

⊙1个步骤——利用线性规划求最值的步骤

(1)在平面直角坐标系内作出可行域。
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形。 (3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解。

(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

⊙2 个注意点——求线性目标函数最值应注意的问题 求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直 a z z 线的斜截式：y＝－bx＋b，通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值， 应注意以下两点： z z (1)若 b>0，则截距b取最大值时，z 取最大值；截距b取最小值时，z 取 最小值。 z z (2)若 b<0，则截距b取最大值时，z 取最小值；截距b取最小值时，z 取 最大值。