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江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题13_空间的平行与垂直问题

专题 13：空间的平行与垂直问题班级一、前测训练 1．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 D、E 是棱 CC1，AB 的中点，求证：DE∥平面 AB1C1． A 提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法” ：取 AB1 的中点 F，证四边形 C1DEF 是平行四边形． 1 “中心投影法”延长 BD 与 B1C1 交于 M，利用三角线中位线证 DE∥AM． E , 法二：用面面平行的性质 D 3 取 BB1 中点 G，证平面 DEG∥平面 AB1C1． C , 5 B D1 2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， (1)求证：平面 A1BD∥平面 B1D1C (2)若 E，F 分别是 A1A，C1C 的中点，求证：平面 EB1D1∥平面 BDF．提示：(1)用面面平行的判定定理证：证明 BD∥B1D1，A1B∥D1C． (2)证明 BD∥B1D1，BF∥D1E．【变式】在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 A1A 的中点．点 F 在棱 CC1 上，使得平面 EB1D1∥平面 BDF．求证：点 F 为棱 CC1 的中点． A1 A1 姓名 D B1 C1 B1 C1 F· C E· D A B 3．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为棱 CC1 的中点，AC 交 BD 于 O，求证：A1O⊥平面 MBD D1 提示：用线面垂直的判定定理：证 BD⊥平面 AA1C1C，从而得出 BD⊥A1O；在矩形 AA1C1C 中，用平几知识证明 A1O⊥OM； A1 B1 C1 M C D A O B 4．在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，所有棱长均相等，D 为 BB1 的中点，求证：A1B⊥C D．分析：要证明 A1B⊥C D，只要证明 A1B 与 CD 所在的平面垂直，或 CD 与 A1B 所在的平面垂直，但都没有现成的平面，构造经过 CD 的平面与直线 A1B 垂直，或经过 A1B 的平面与直线 CD 垂直．方法 1：取 AB 的中点 E，连 CE，证 A1B⊥平面 CDE；方法 2：取 B1C1 的中点 F，连 BF，证 CD⊥平面 A1BF． A B D C A1 B1 C1 【变式】在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， D 为 BB1 的中点， A1B⊥CD，求证：AA1＝AB． 5．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PB＝PD，且 E，F 分别是 BC， CD 的中点．求证：平面 PEF⊥平面 PAC．提示：设 EF 与 AC 交于点 O，证 EF⊥AC，EF⊥OP，从而得出 EF⊥平面 PAC． D A P F B E C 【变式】如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，PB＝PD，且 E，F 分别是 BC， CD 的中点，若平面 PEF⊥平面 PAC，求证：四边形 ABCD 是菱形． 6．如图，已知 VB⊥平面 ABC，侧面 VAB⊥侧面 VAC，求证：△VAC 是直角三角形．提示：过 B 作 BD⊥VA，垂足为 D， V 由侧面 VAB⊥侧面 VAC，得出 BD⊥侧面 VAC，从面 BD⊥AC，由 VB⊥平面 ABC，得 AC⊥VB，从而 AC⊥平面 VAB．所以 AC⊥VA． B A C 7．（1）设 P，A，B，C 是球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA＝PB＝1，PC＝2，则球 O 的表面积是________． (2)

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