江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题13_空间的平行与垂直问题

专题 13：空间的平行与垂直问题 班级 一、前测训练 1．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 D、E 是棱 CC1，AB 的中点，求证：DE∥平面 AB1C1． A 提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法” ：取 AB1 的中点 F，证四边形 C1DEF 是平行四边形． 1 “中心投影法”延长 BD 与 B1C1 交于 M，利用三角线中位线证 DE∥AM． E , 法二：用面面平行的性质 D 3 取 BB1 中点 G，证平面 DEG∥平面 AB1C1． C , 5 B D1 2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， (1)求证：平面 A1BD∥平面 B1D1C (2)若 E，F 分别是 A1A，C1C 的中点，求证：平面 EB1D1∥平面 BDF． 提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明 BD∥B1D1，A1B∥D1C． (2)证明 BD∥B1D1，BF∥D1E． 【变式】在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 A1A 的中点．点 F 在棱 CC1 上，使得平面 EB1D1∥平面 BDF． 求证：点 F 为棱 CC1 的中点． A1 A1 姓名 D B1 C1 B1 C1 F· C E· D A B 3．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为棱 CC1 的中点，AC 交 BD 于 O，求证：A1O⊥平面 MBD D1 提示：用线面垂直的判定定理： 证 BD⊥平面 AA1C1C，从而得出 BD⊥A1O； 在矩形 AA1C1C 中，用平几知识证明 A1O⊥OM； A1 B1 C1 M C D A O B 4．在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，所有棱长均相等，D 为 BB1 的中点，求证：A1B⊥C D． 分析：要证明 A1B⊥C D，只要证明 A1B 与 CD 所在的平面垂直，或 CD 与 A1B 所在的平面垂直， 但都没有现成的平面， 构造经过 CD 的平面与直线 A1B 垂直， 或经过 A1B 的平面与 直线 CD 垂直． 方法 1：取 AB 的中点 E，连 CE，证 A1B⊥平面 CDE； 方法 2：取 B1C1 的中点 F，连 BF，证 CD⊥平面 A1BF． A B D C A1 B1 C1 【变式】在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， D 为 BB1 的中点， A1B⊥CD，求证：AA1＝AB． 5．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PB＝PD，且 E，F 分别是 BC， CD 的中点． 求证：平面 PEF⊥平面 PAC． 提示：设 EF 与 AC 交于点 O，证 EF⊥AC，EF⊥OP， 从而得出 EF⊥平面 PAC． D A P F B E C 【变式】如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，PB＝PD，且 E，F 分别是 BC， CD 的中点，若平面 PEF⊥平面 PAC，求证：四边形 ABCD 是菱形． 6．如图，已知 VB⊥平面 ABC，侧面 VAB⊥侧面 VAC，求证：△VAC 是直角三角形． 提示：过 B 作 BD⊥VA，垂足为 D， V 由侧面 VAB⊥侧面 VAC，得出 BD⊥侧面 VAC，从面 BD⊥AC， 由 VB⊥平面 ABC，得 AC⊥VB，从而 AC⊥平面 VAB． 所以 AC⊥VA． B A C 7． （1）设 P，A，B，C 是球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA＝PB＝1，PC＝2，则球 O 的表面积是________． (2)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝1，BC＝2，AC＝ 5，AA1＝3，M 为线段 B1B 上的一动点， 则当 AM＋MC1 最小时，△AMC1 的面积为________． 答案 ： （1）6π；(2) 3 二、方法联想 1. 线线平行 （1）证明线线平行 方法 1：利用中位线； 方法 2：利用平行四边形； 方法 3：利用平行线段成比例； 方法 4：利用平行公理； F C E D 方法 5：利用线面平行性质定理； 方法 6：利用线面垂直性质定理； 方法 7：利用面面平行． （2）已知线线平行，可得线面平行 【变式 1】如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 为平行四边形，求证：EF∥BC． (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行) 2．线面平行 ① P M （1）证明线面平行 P① 方法 1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻 ② ③ ③ ② N A 找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面 M B N ④ 或 外寻找一点 P；②连接 PA 交平面 α 于点 M；③连 ④ 接 PA 交平面 α 于点 N，④连接 MN 即为要找的平 N M A B 行线． 方法 2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内 平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点 A、B 构造两平行直线 和平面 α 相交于 M、N；②连接 MN 即为要找的平行线． 方法 3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过 A 做 AC 平 行于平面 α 内一条直线 A’C’；②连结 BC；③平面 ABC 即为所要 找的平行平面． A ① M A ① A’ C’ C ② ② N B B ① （2）已知线面平行 方法 1 可得线线平行，过直线 l 做平面 β 交已知平面 α 于直线 m，则 l∥m． 方法 2 可得面面平行 α l m 2 【变式】 （1）如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D、E 是棱 CC1，AB 的上的点，且 AE＝ AB， 3 CD 若 DE∥平面 AB1C1，求 的值． DC1 D P （已知线面，转化为线线平行） （2）E，P，G，H 分别是四面体的棱 ABCD 的棱 AB、CD、CA、CB 的中点， G 求证：PE∥平面 PGH． A E （通过面面的平行证明线面平行） H B 3．面面平行