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江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题13_空间的平行与垂直问题

专题 13:空间的平行与垂直问题 班级 一、前测训练 1.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 D、E 是棱 CC1,AB 的中点,求证:DE∥平面 AB1C1. A 提示:法一:用线面平行的判定定理来证: “平行投影法” :取 AB1 的中点 F,证四边形 C1DEF 是平行四边形. 1 “中心投影法”延长 BD 与 B1C1 交于 M,利用三角线中位线证 DE∥AM. E , 法二:用面面平行的性质 D 3 取 BB1 中点 G,证平面 DEG∥平面 AB1C1. C , 5 B D1 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C (2)若 E,F 分别是 A1A,C1C 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 BDF. 提示:(1)用面面平行的判定定理证: 证明 BD∥B1D1,A1B∥D1C. (2)证明 BD∥B1D1,BF∥D1E. 【变式】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1A 的中点.点 F 在棱 CC1 上,使得平面 EB1D1∥平面 BDF. 求证:点 F 为棱 CC1 的中点. A1 A1 姓名 D B1 C1 B1 C1 F· C E· D A B 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为棱 CC1 的中点,AC 交 BD 于 O,求证:A1O⊥平面 MBD D1 提示:用线面垂直的判定定理: 证 BD⊥平面 AA1C1C,从而得出 BD⊥A1O; 在矩形 AA1C1C 中,用平几知识证明 A1O⊥OM; A1 B1 C1 M C D A O B 4.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,所有棱长均相等,D 为 BB1 的中点,求证:A1B⊥C D. 分析:要证明 A1B⊥C D,只要证明 A1B 与 CD 所在的平面垂直,或 CD 与 A1B 所在的平面垂直, 但都没有现成的平面, 构造经过 CD 的平面与直线 A1B 垂直, 或经过 A1B 的平面与 直线 CD 垂直. 方法 1:取 AB 的中点 E,连 CE,证 A1B⊥平面 CDE; 方法 2:取 B1C1 的中点 F,连 BF,证 CD⊥平面 A1BF. A B D C A1 B1 C1 【变式】在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为 BB1 的中点, A1B⊥CD,求证:AA1=AB. 5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,PB=PD,且 E,F 分别是 BC, CD 的中点. 求证:平面 PEF⊥平面 PAC. 提示:设 EF 与 AC 交于点 O,证 EF⊥AC,EF⊥OP, 从而得出 EF⊥平面 PAC. D A P F B E C 【变式】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形,PB=PD,且 E,F 分别是 BC, CD 的中点,若平面 PEF⊥平面 PAC,求证:四边形 ABCD 是菱形. 6.如图,已知 VB⊥平面 ABC,侧面 VAB⊥侧面 VAC,求证:△VAC 是直角三角形. 提示:过 B 作 BD⊥VA,垂足为 D, V 由侧面 VAB⊥侧面 VAC,得出 BD⊥侧面 VAC,从面 BD⊥AC, 由 VB⊥平面 ABC,得 AC⊥VB,从而 AC⊥平面 VAB. 所以 AC⊥VA. B A C 7. (1)设 P,A,B,C 是球 O 表面上的四个点,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=PB=1,PC=2,则球 O 的表面积是________. (2)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5,AA1=3,M 为线段 B1B 上的一动点, 则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为________. 答案 : (1)6π;(2) 3 二、方法联想 1. 线线平行 (1)证明线线平行 方法 1:利用中位线; 方法 2:利用平行四边形; 方法 3:利用平行线段成比例; 方法 4:利用平行公理; F C E D 方法 5:利用线面平行性质定理; 方法 6:利用线面垂直性质定理; 方法 7:利用面面平行. (2)已知线线平行,可得线面平行 【变式 1】如图,在五面体 ABCDEF 中,面 ABCD 为平行四边形,求证:EF∥BC. (平行公理证明线线平行,由线线平行得线面平行) 2.线面平行 ① P M (1)证明线面平行 P① 方法 1 构造三角形(中心投影法),转化为线线平行.寻 ② ③ ③ ② N A 找平面内平行直线步骤,如下图:①在直线和平面 M B N ④ 或 外寻找一点 P;②连接 PA 交平面 α 于点 M;③连 ④ 接 PA 交平面 α 于点 N,④连接 MN 即为要找的平 N M A B 行线. 方法 2:构造平行四边形(平行投影法) ,转化为线线平行.寻找平面内 平行直线步骤,如下图:①选择直线上两点 A、B 构造两平行直线 和平面 α 相交于 M、N;②连接 MN 即为要找的平行线. 方法 3:构造面面平行.构造平行平面步骤,如下图:①过 A 做 AC 平 行于平面 α 内一条直线 A’C’;②连结 BC;③平面 ABC 即为所要 找的平行平面. A ① M A ① A’ C’ C ② ② N B B ① (2)已知线面平行 方法 1 可得线线平行,过直线 l 做平面 β 交已知平面 α 于直线 m,则 l∥m. 方法 2 可得面面平行 α l m 2 【变式】 (1)如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D、E 是棱 CC1,AB 的上的点,且 AE= AB, 3 CD 若 DE∥平面 AB1C1,求 的值. DC1 D P (已知线面,转化为线线平行) (2)E,P,G,H 分别是四面体的棱 ABCD 的棱 AB、CD、CA、CB 的中点, G 求证:PE∥平面 PGH. A E (通过面面的平行证明线面平行) H B 3.面面平行

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