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100测评网人教版高中数学必修三单元测试(10)双曲线及答案


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(10)双 曲 线
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.θ 是第三象限角,方程 x2+y 2sinθ =cosθ 表示的曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 ( ) ( )

2.“ab<0”是“方程 ax2+by 2 =c 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.非充分非必要条件

3.一动圆与两圆:x2+y 2=1 和 x2+y 2-8x+12=0 都外切,则动圆心的轨迹为 A.抛物线 支 D.椭圆 B.圆



) C .双曲线的一

4.双曲线虚半轴长为 5 ,焦距为 6,则双曲线离心率是 A.





5 3

B.

3 5

C.

3 2

D.

2 3
( )

5.过点 P(2,-2)且与

x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是 2

y2 x2 ? ?1 A. 2 4
C.

x2 y2 ? ?1 B. 4 2
D.

y2 x2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 2 4


6.双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上一点 P 到右准线距离为 18,则点 P 到右焦点距离为( 16 9
B.

A.

45 2
2

58 5

C.

29 2

D.

32 5

y2 7.过双曲线 x =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线 2
有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 ( ) ( )

8.双曲线 3x2-y 2=3 的渐近线方程是

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A.y =±3x

B.y =±

1 x 3

C.y =± 3 x

D.y =±

3 x 3

9.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3

2 2 10.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线 a b

l 的距离为

3 c,则双曲线的离心率为 4
B. 3 C. 2





A.2

D.

2 3 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 t 的取值范围是 4 ? t t ?1
x2 y2 ? ? ?1 的准线方程是 16 9



12.双曲线

. .

13.焦点为 F1(-4,0)和 F2(4,0),离心率为 2 的双曲线的方程是

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距 14.设圆过双曲线 9 16
离是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知双曲线与椭圆 .

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程.(12 分) 3 49 24

16.双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,两准线间距离为 中点的横坐标是 ?

9 1 ,并且与直线 y ? ( x ? 4) 相交所得弦的 2 3

2 ,求这个双曲线方程.(12 分) 3

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17.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其 中 A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点, 已知 AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高 20m.建立坐标系并写出该双曲线方程.(12 分)

C' A'

18m 14m

C A 20m

B'

22m

B

18.F1、F2 是 双曲线

y2 x2 ? ? 1的两个焦点,M 是双曲线上一点,且 MF 1 ? MF 2 ? 32 ,求三角形△ 9 16

F1MF2 的面积.(12 分)

19.一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸,在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒,已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米, P 为爆炸地点,(该信号的传播速度为每秒 1 千米)求 A、P 两地的距 离.(14 分)

20.如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为

? ??

8 ,双曲线过 C、D、E 三 11

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 点,且以 A、B 为焦点.求双曲线的离心率.(14 分)

D E A

C B

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 A 7 C 8 C 9 B 10 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.t>4 或 t<1 12.y=

?

9 5

13.

x2 y2 ? ?1 4 12

14.

16 3

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.(12 分) [解析]:由椭圆

x2 y2 ? ?1? c ? 5. 49 24
2 ? ?a ? 9 故所求双曲线方程为 x 2 y 2 ?? 2 ? ?1 9 16 ? ?b ? 16

设双曲线方程为

4 ?b x2 y2 ? ?? ,则 ? ? 1 3 ?a a2 b2 2 ? 2

?a ? b ? 25

16.(12 分) [解析]:设双曲线方程为
2

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a>0,b>0),

9 9 a 9 9 2 2 2 ∵两准线间距离为 ,∴ 2 ? = ,得 a ? c, b ? c ? c 4 4 c 2 2
? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ∵双曲线与直线相交,由方程组 ? a ? 1 ? y ? ( x ? 4) ? 3 ?
得 (b 2



?

a2 2 8 2 16 ) x ? a x ? (b 2 ? )a 2 ? 0 , 9 9 9

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a2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ? 由题意可知 b ? 9 2
2

8 2 a 2 2 2 9 ? ? ? 7a ? 9b 2 a 3 2(b 2 ? ) 9
x2 y2 ? ? 1. 9 7



联立①②解得: a 2 ? 9 , b 2 ? 7

所以双曲线方程为

17.(12 分) [解析]:(I)如图建立直角坐标系 xOy,AA′在 x 轴上,AA′的中点为坐标原点 O,CC′与 BB′平行于

x2 y2 x 轴. 设双曲线方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a2 b2
则 a ? 1 AA? ? 7. 又设 B(11,y1),C(9,y2),因为点 B、C 在双曲线上, 2 所以有 11 ? 2
2

C'

y

C

A'

O

A

x

7

y12 ? 1, b2




B'
由题意知

B

2 92 y2 ? ? 1, 72 b2

y2 ? y1 ? 20.



由①、②、③得 y1 ? ?12, y2 ? 8, b ? 7 2.

故双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 49 98

18.(12 分) [解析]:由题意可得双曲线的两个焦点是 F1(0,-5)、F2(0,5), 由双曲线定义得: MF1 ? MF2 ? 6 ,联立
2

得 MF 1 ? MF 2 ? 32

2 2 1 MF1 + MF2 =100= F1 F2 , 所以△F1MF2 是直角三角形,从而其面积为 S= MF1 ? MF 2 ? 16 2

19.(14 分) [解析]:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 则 A(3,0)、B(-3,0)

? | PB | ? | PA |? 4 ? 1 ? 6

?a ? 2, b ? 5, c ? 3

? P是双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上的一点 4 5

∵P 在 A 的东偏北 60°方向,∴ k AP ? tan60? ? 3 .

∴线段 AP 所在的直线方程为 y ? 3( x ? 3)

y

P

? x2 y 2 ?1 ? ? 4 5 解方程组 ? ? ? y ? 3 ( x ? 3) ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
即 P 点的坐标为(8, 5

?x ? 8 , 得? y ? 5 3 ?

B

O

A x

3)
c 2

∴A、P 两地的距离为 AP ?

(3 ? 8) 2 ? (0 ? 5 3 ) 2 =10(千米).

20.(14 分) [解析]:如图,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系,则 CD⊥Oy. 由题意可设 A (-c,0),C( ,h),B(c,0),其中 c 为双曲线的半焦距,c

?

定比分点公式,得点 E 的坐标为

xE ?

?c?

8 c 8 ? 0? ?h 8 11 2 ? ? 7 c , 11 yE ? ? h. 8 8 19 19 1? 1? 11 11

1 AB 2 y D E A O

,h 是梯形的高.



C B x

设双曲线的方程为

c x2 y2 ? 2 ? 1 ,由离心率 e ? . 2 a a b

由点 C、E 在双曲线上,得

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?1 c 2 h2 ① ? ? ? 1, h2 1 c2 ? c2 ?4 a2 b2 由①得 ,代入②得 ? ? ? 1 ?9 ? 2 2 b2 4 a 2 a2 49 c 64 h ? ? ? ? ? 1. ② ? ? 361 a 2 361 b 2

所以离心率 e ?

c2 ?3 a2

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