100测评网人教版高中数学必修三单元测试(10)双曲线及答案

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（10）双 曲 线
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1．θ 是第三象限角，方程 x2+y 2sinθ =cosθ 表示的曲线是 A．焦点在 x 轴上的椭圆 C．焦点在 x 轴上的双曲线 B．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的双曲线 （ ） （ ）

2．“ab<0”是“方程 ax2+by 2 =c 表示双曲线”的 A．必要不充分条件 C．充要条件 B．充分不必要条件 D．非充分非必要条件

3．一动圆与两圆：x2+y 2=1 和 x2+y 2-8x+12=0 都外切，则动圆心的轨迹为 A．抛物线 支 D．椭圆 B．圆

（

） C ．双曲线的一

4．双曲线虚半轴长为 5 ，焦距为 6，则双曲线离心率是 A．

（

）

5 3

B．

3 5

C．

3 2

D．

2 3
（ ）

5．过点 P（2，-2）且与

x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是 2

y2 x2 ? ?1 A． 2 4
C．

x2 y2 ? ?1 B． 4 2
D．

y2 x2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 2 4
）

6．双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上一点 P 到右准线距离为 18，则点 P 到右焦点距离为（ 16 9
B．

A．

45 2
2

58 5

C．

29 2

D．

32 5

y2 7．过双曲线 x =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若|AB|=4，这样的直线 2
有 A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 （ ） （ ）

8．双曲线 3x2-y 2=3 的渐近线方程是

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A．y =±3x

B．y =±

1 x 3

C．y =± 3 x

D．y =±

3 x 3

9．双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为 （ ） A． 3 B．

6 2

C．

6 3

D．

3 3

2 2 10．设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 （0<a<b）的半焦距为 c，直线 l 过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线 a b

l 的距离为

3 c，则双曲线的离心率为 4
B． 3 C． 2

（

）

A．2

D．

2 3 3

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 11．

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线，则实数 t 的取值范围是 4 ? t t ?1
x2 y2 ? ? ?1 的准线方程是 16 9

．

12．双曲线

． ．

13．焦点为 F1（-4，0）和 F2（4，0），离心率为 2 的双曲线的方程是

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距 14．设圆过双曲线 9 16
离是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分） 15．已知双曲线与椭圆 ．

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点，且以 y ? ? x 为渐近线，求双曲线方程．(12 分) 3 49 24

16．双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，两准线间距离为 中点的横坐标是 ?

9 1 ，并且与直线 y ? ( x ? 4) 相交所得弦的 2 3

2 ，求这个双曲线方程．(12 分) 3

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17．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其 中 A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点， 已知 AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高 20m．建立坐标系并写出该双曲线方程．(12 分)

C' A'

18m 14m

C A 20m

B'

22m

B

18．F1、F2 是 双曲线

y2 x2 ? ? 1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且 MF 1 ? MF 2 ? 32 ，求三角形△ 9 16

F1MF2 的面积．（12 分）

19．一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸，在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒，已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒 1 千米）求 A、P 两地的距 离．(14 分)

20．如图，已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|，点 E 分有向线段 AC 所成的比为

? ??

8 ，双曲线过 C、D、E 三 11

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测，有效提高学习成绩. 点，且以 A、B 为焦点．求双曲线的离心率．(14 分)

D E A

C B

参考答案
一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 A 7 C 8 C 9 B 10 A

二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 11．t>4 或 t<1 12．y=

?

9 5

13．

x2 y2 ? ?1 4 12

14．

16 3

三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分） 15．(12 分) [解析]：由椭圆

x2 y2 ? ?1? c ? 5． 49 24
2 ? ?a ? 9 故所求双曲线方程为 x 2 y 2 ?? 2 ? ?1 9 16 ? ?b ? 16

设双曲线方程为

4 ?b x2 y2 ? ?? ，则 ? ? 1 3 ?a a2 b2 2 ? 2

?a ? b ? 25

16．(12 分) [解析]：设双曲线方程为
2

x2 y2 ? ?1 a2 b2

（a>0，b>0），

9 9 a 9 9 2 2 2 ∵两准线间距离为 ，∴ 2 ? = ，得 a ? c， b ? c ? c 4 4 c 2 2
? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ∵双曲线与直线相交，由方程组 ? a ? 1 ? y ? ( x ? 4) ? 3 ?
得 (b 2

①

?

a2 2 8 2 16 ) x ? a x ? (b 2 ? )a 2 ? 0 ， 9 9 9

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a2 ? 0 ，且 x1 ? x2 ? ? 由题意可知 b ? 9 2
2

8 2 a 2 2 2 9 ? ? ? 7a ? 9b 2 a 3 2(b 2 ? ) 9
x2 y2 ? ? 1． 9 7

②

联立①②解得： a 2 ? 9 ， b 2 ? 7

所以双曲线方程为

17．(12 分) [解析]：（I）如图建立直角坐标系 xOy，AA′在 x 轴上，AA′的中点为坐标原点 O，CC′与 BB′平行于

x2 y2 x 轴． 设双曲线方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a2 b2
则 a ? 1 AA? ? 7. 又设 B（11，y1），C（9，y2），因为点 B、C 在双曲线上， 2 所以有 11 ? 2
2

C'

y

C

A'

O

A

x

7

y12 ? 1, b2
②

①

B'
由题意知

B

2 92 y2 ? ? 1, 72 b2

y2 ? y1 ? 20.

③

由①、②、③得 y1 ? ?12, y2 ? 8, b ? 7 2.

故双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 49 98

18．（12 分） [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是 F1（0，-5）、F2（0，5）， 由双曲线定义得： MF1 ? MF2 ? 6 ，联立
2

得 MF 1 ? MF 2 ? 32

2 2 1 MF1 + MF2 =100= F1 F2 ， 所以△F1MF2 是直角三角形，从而其面积为 S= MF1 ? MF 2 ? 16 2

19．(14 分) [解析]：以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系， 则 A（3，0）、B（－3，0）

? | PB | ? | PA |? 4 ? 1 ? 6

?a ? 2, b ? 5, c ? 3

? P是双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上的一点 4 5

∵P 在 A 的东偏北 60°方向，∴ k AP ? tan60? ? 3 ．

∴线段 AP 所在的直线方程为 y ? 3( x ? 3)

y

P

? x2 y 2 ?1 ? ? 4 5 解方程组 ? ? ? y ? 3 ( x ? 3) ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
即 P 点的坐标为（8， 5

?x ? 8 ， 得? y ? 5 3 ?

B

O

A x

3）
c 2

∴A、P 两地的距离为 AP ?

(3 ? 8) 2 ? (0 ? 5 3 ) 2 =10（千米）．

20．(14 分) [解析]：如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系，则 CD⊥Oy． 由题意可设 A （-c，0），C（ ，h），B（c，0），其中 c 为双曲线的半焦距，c

?

定比分点公式，得点 E 的坐标为

xE ?

?c?

8 c 8 ? 0? ?h 8 11 2 ? ? 7 c ， 11 yE ? ? h． 8 8 19 19 1? 1? 11 11

1 AB 2 y D E A O

，h 是梯形的高．

由

C B x

设双曲线的方程为

c x2 y2 ? 2 ? 1 ，由离心率 e ? ． 2 a a b

由点 C、E 在双曲线上，得

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?1 c 2 h2 ① ? ? ? 1, h2 1 c2 ? c2 ?4 a2 b2 由①得 ，代入②得 ? ? ? 1 ?9 ? 2 2 b2 4 a 2 a2 49 c 64 h ? ? ? ? ? 1. ② ? ? 361 a 2 361 b 2

所以离心率 e ?

c2 ?3 a2

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