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(10)双 曲 线
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.θ 是第三象限角,方程 x2+y 2sinθ =cosθ 表示的曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 ( ) ( )
2.“ab<0”是“方程 ax2+by 2 =c 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.非充分非必要条件
3.一动圆与两圆:x2+y 2=1 和 x2+y 2-8x+12=0 都外切,则动圆心的轨迹为 A.抛物线 支 D.椭圆 B.圆
(
) C .双曲线的一
4.双曲线虚半轴长为 5 ,焦距为 6,则双曲线离心率是 A.
(
)
5 3
B.
3 5
C.
3 2
D.
2 3
( )
5.过点 P(2,-2)且与
x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是 2
y2 x2 ? ?1 A. 2 4
C.
x2 y2 ? ?1 B. 4 2
D.
y2 x2 ? ?1 4 2
x2 y2 ? ?1 2 4
)
6.双曲线
x2 y2 ? ? 1 右支上一点 P 到右准线距离为 18,则点 P 到右焦点距离为( 16 9
B.
A.
45 2
2
58 5
C.
29 2
D.
32 5
y2 7.过双曲线 x =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线 2
有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 ( ) ( )
8.双曲线 3x2-y 2=3 的渐近线方程是
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A.y =±3x
B.y =±
1 x 3
C.y =± 3 x
D.y =±
3 x 3
9.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 B.
6 2
C.
6 3
D.
3 3
2 2 10.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线 a b
l 的距离为
3 c,则双曲线的离心率为 4
B. 3 C. 2
(
)
A.2
D.
2 3 3
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 t 的取值范围是 4 ? t t ?1
x2 y2 ? ? ?1 的准线方程是 16 9
.
12.双曲线
. .
13.焦点为 F1(-4,0)和 F2(4,0),离心率为 2 的双曲线的方程是
x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距 14.设圆过双曲线 9 16
离是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知双曲线与椭圆 .
x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程.(12 分) 3 49 24
16.双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,两准线间距离为 中点的横坐标是 ?
9 1 ,并且与直线 y ? ( x ? 4) 相交所得弦的 2 3
2 ,求这个双曲线方程.(12 分) 3
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17.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其 中 A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点, 已知 AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高 20m.建立坐标系并写出该双曲线方程.(12 分)
C' A'
18m 14m
C A 20m
B'
22m
B
18.F1、F2 是 双曲线
y2 x2 ? ? 1的两个焦点,M 是双曲线上一点,且 MF 1 ? MF 2 ? 32 ,求三角形△ 9 16
F1MF2 的面积.(12 分)
19.一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸,在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒,已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米, P 为爆炸地点,(该信号的传播速度为每秒 1 千米)求 A、P 两地的距 离.(14 分)
20.如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为
? ??
8 ,双曲线过 C、D、E 三 11
欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 点,且以 A、B 为焦点.求双曲线的离心率.(14 分)
D E A
C B
参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 A 7 C 8 C 9 B 10 A
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.t>4 或 t<1 12.y=
?
9 5
13.
x2 y2 ? ?1 4 12
14.
16 3
三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.(12 分) [解析]:由椭圆
x2 y2 ? ?1? c ? 5. 49 24
2 ? ?a ? 9 故所求双曲线方程为 x 2 y 2 ?? 2 ? ?1 9 16 ? ?b ? 16
设双曲线方程为
4 ?b x2 y2 ? ?? ,则 ? ? 1 3 ?a a2 b2 2 ? 2
?a ? b ? 25
16.(12 分) [解析]:设双曲线方程为
2
x2 y2 ? ?1 a2 b2
(a>0,b>0),
9 9 a 9 9 2 2 2 ∵两准线间距离为 ,∴ 2 ? = ,得 a ? c, b ? c ? c 4 4 c 2 2
? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ∵双曲线与直线相交,由方程组 ? a ? 1 ? y ? ( x ? 4) ? 3 ?
得 (b 2
①
?
a2 2 8 2 16 ) x ? a x ? (b 2 ? )a 2 ? 0 , 9 9 9
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a2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ? 由题意可知 b ? 9 2
2
8 2 a 2 2 2 9 ? ? ? 7a ? 9b 2 a 3 2(b 2 ? ) 9
x2 y2 ? ? 1. 9 7
②
联立①②解得: a 2 ? 9 , b 2 ? 7
所以双曲线方程为
17.(12 分) [解析]:(I)如图建立直角坐标系 xOy,AA′在 x 轴上,AA′的中点为坐标原点 O,CC′与 BB′平行于
x2 y2 x 轴. 设双曲线方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a2 b2
则 a ? 1 AA? ? 7. 又设 B(11,y1),C(9,y2),因为点 B、C 在双曲线上, 2 所以有 11 ? 2
2
C'
y
C
A'
O
A
x
7
y12 ? 1, b2
②
①
B'
由题意知
B
2 92 y2 ? ? 1, 72 b2
y2 ? y1 ? 20.
③
由①、②、③得 y1 ? ?12, y2 ? 8, b ? 7 2.
故双曲线方程为
x2 y2 ? ? 1. 49 98
18.(12 分) [解析]:由题意可得双曲线的两个焦点是 F1(0,-5)、F2(0,5), 由双曲线定义得: MF1 ? MF2 ? 6 ,联立
2
得 MF 1 ? MF 2 ? 32
2 2 1 MF1 + MF2 =100= F1 F2 , 所以△F1MF2 是直角三角形,从而其面积为 S= MF1 ? MF 2 ? 16 2
19.(14 分) [解析]:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 则 A(3,0)、B(-3,0)
? | PB | ? | PA |? 4 ? 1 ? 6
?a ? 2, b ? 5, c ? 3
? P是双曲线
x2 y2 ? ? 1 右支上的一点 4 5
∵P 在 A 的东偏北 60°方向,∴ k AP ? tan60? ? 3 .
∴线段 AP 所在的直线方程为 y ? 3( x ? 3)
y
P
? x2 y 2 ?1 ? ? 4 5 解方程组 ? ? ? y ? 3 ( x ? 3) ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
即 P 点的坐标为(8, 5
?x ? 8 , 得? y ? 5 3 ?
B
O
A x
3)
c 2
∴A、P 两地的距离为 AP ?
(3 ? 8) 2 ? (0 ? 5 3 ) 2 =10(千米).
20.(14 分) [解析]:如图,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系,则 CD⊥Oy. 由题意可设 A (-c,0),C( ,h),B(c,0),其中 c 为双曲线的半焦距,c
?
定比分点公式,得点 E 的坐标为
xE ?
?c?
8 c 8 ? 0? ?h 8 11 2 ? ? 7 c , 11 yE ? ? h. 8 8 19 19 1? 1? 11 11
1 AB 2 y D E A O
,h 是梯形的高.
由
C B x
设双曲线的方程为
c x2 y2 ? 2 ? 1 ,由离心率 e ? . 2 a a b
由点 C、E 在双曲线上,得
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?1 c 2 h2 ① ? ? ? 1, h2 1 c2 ? c2 ?4 a2 b2 由①得 ,代入②得 ? ? ? 1 ?9 ? 2 2 b2 4 a 2 a2 49 c 64 h ? ? ? ? ? 1. ② ? ? 361 a 2 361 b 2
所以离心率 e ?
c2 ?3 a2
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