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43_第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

栏目索引 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的 方程 总纲目录 栏目索引 总纲目录 教材研读 1.直线的倾斜角 2.直线的斜率 3.直线方程的五种形式 考点突破 考点一 考点二 直线的倾斜角与斜率 求直线方程 考点三 直线方程的综合问题 教材研读 栏目索引 教材研读 1.直线的倾斜角 (1)定义 ? (2)范围:直线的倾斜角α的取值范围是⑥ [0,π) . 教材研读 栏目索引 2.直线的斜率 教材研读 栏目索引 3.直线方程的五种形式 教材研读 栏目索引 3 x-y+a=0的倾斜角为? ( B ) 1.直线? A.30° B.60° C.150° D.120° 答案 B 设直线的倾斜角为α,则tan α=?3, ∵α∈[0,π),∴α=? =60°. 3 ? 教材研读 栏目索引 2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为? ( A ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案 A 由题意知? =1(m≠-2),解得m=1. 4?m m?2 教材研读 栏目索引 3.如果A· C<0,且B· C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过? ( C ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 A x-? C. 答案 C 由Ax+By+C=0(B≠0),得y=-? B B ∵A· C<0,B· C<0,∴A· B>0,-? <0,-? >0, ∴直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,故选C. A B C B 教材研读 栏目索引 4.(2018北京东城期中,11)过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段 弧,当其中的劣弧最短时,直线的方程是 x-2y+3=0 . 答案 x-2y+3=0 解析 由条件知M点在圆内,故当劣弧最短时,过点M与圆心的直线与直 线l垂直,设圆心为O,则O(2,0),∴kOM=? =-2,∴所求直线的斜率k=? , 1 ∴所求直线的方程为y-2=? (x-1),即x-2y+3=0. 2 2?0 1? 2 1 2 教材研读 栏目索引 5.若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值为 -2或1 . 答案 -2或1 解析 由题意可知a≠0. 当x=0时,y=a+2. 当y=0时,x=? . ∴? =a+2, 解得a=-2或a=1. a?2 a a?2 a 考点突破 栏目索引 考点突破 考点一 直线的倾斜角与斜率 ) 典例1 (1)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的范围是? ( A.[0,π) ? ?? C.? ? 0, ? 0, ? ∪? ? ,? ? B.? ? ? ? 4 ? ?4 ? ? ?? ?3 ? ? ? ? ?? ? 0, ? ∪? ,? ? D.? ? ? ? 4? ? 4? ?2 ? (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,?3 )为端点的线段有公共点,则直 线l的斜率的取值范围为 . 考点突破 栏目索引 答案 (1)B (2)(-∞,-?3 ]∪[1,+∞) 解析 (1)设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α, 又sin α∈[-1,1],θ∈[0,π), 3? 所以0≤θ≤? 或?≤θ<π. 4 4 1? 0 3 ? 0=-? 3, (2)如图,∵kAP=? =1,kBP=? 2 ?1 ? ∴直线l的斜率k∈(-∞,-?3]∪[1,+∞). 0 ?1 ? 考点突破 栏目索引 易错警示 由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围 ? ? ? ?? ? 0, ?和? , ? ? 上的 求倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在? ? ? ? 2? ?2 ? 单调性求解.应注意任何直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.当 倾斜角为? 时,直线的斜率不存在. 2 ? 考点突破 栏目索引 1-1 若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1, -1),则直线l的斜率为? ( 1 A.? 3 3 C.-? 2 1 B.-? 3 2 D.? 3 B) 答案 B 由直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,可设P(x1,1), Q(7,y1),结合线段PQ的中点坐标为(1,-1),可得x1=-5,y1=-3, 即直线l上有两点P(-5,1), 1? 3 1. Q(7,-3),可得直线l的斜率k=? =-? ?5 ? 7 3 考点突破 栏目索引 1-2 若将本例(2)中的“P(1,0)”改为“P(-1,0)”,则直线l的斜率的取 值范围是什么? 解析 ∵P(-1,0),A(2,1),B(0,? 3), 3?0 1? 0 1 ∴kAP=? =? ,kBP= =?3 . 0 ? (?1) 2 ? (?1) 3 ? ?1 ? , 3 如图,可知直线l的斜率的取值范围为? . ? ? ?3 ? ? 考点突破 栏目索引 考点二 求直线方程 典例2 根据所给条件求直线的方程: 10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为? ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5. 考点突破 栏目索引 解析 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,则sin α=? (0<α<π). 1 3 10 从而cos α=±? ,则斜率k=tan α=±? . 3 10 1 故所求直线方程为y=±? (x+4), 3 10 10 即x+3y+4=0或x-3y+4=0. x y (2)由题设知截距不为0,设直线方程为? + ? a 12 ? a=1, ?3 4 又直线过点(-3,4),所以?+? =1,解得a=-4或a=9. a 12 ?

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