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数学:1.2.1《排列》PPT课件(新人教A版-选修2-3)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-3

1.2.1《排列》

教学目标
? 理解排列、排列数的概念,了解排列数公

式的推导 ? 教学重点: ? 理解排列、排列数的概念,了解排列数公 式的推导

分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1 种不同的方法,在第2类 办法中有m2 种不同的方法,…,在第n 类办法中有mn 种不同的方法,那 么完成这件事共有:
种不同的方法.

N=m1 +m2 + ? +mn

分步计数原理(乘法原理)

完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有m1 种不同的方法,做第2步 有m2 种不同的方法,…,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事 共有:

N=m1m2 ? mn

种不同的方法.

分类计数原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中 任何一种方法都可以完成这件事; 分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各 个步骤都完成了,这件事才算完成.

问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,
其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多 少种不同的方法?

我们把上面问题中被取的对象叫做元素.于是所提出的问题 就是从3个不同的元素中任取2个,按照一定的顺序排成一列,

求一共有多少种不同的排法.

问题2 从a、b、c、d这四个字母中,取出3个按照顺序排成
一列,共有多少种不同的排法?
解决这个问题,需分3个步骤: 第1步,先确定左边的字母,在4个字母中任取1个,有4种方法; 第2步,确定中间的字母,从余下的3个字母中去取,有3种方法; 第3步,确定右边的字母,只能从余下的2个字母中去取,有2种方法. 根据分步计数原理,共有4×3×2=24

一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一 定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列. 注意: 1.我们所研究的排列问题,是不同元素的排列,这里既没有 重复元素,也没有重复抽取相同的元素. 2.排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定顺序排列”.“一定顺序”就是与位置有关,这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志. 3.根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当这两个排列的元 素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同.也就是说,如 果两个排列所含的元素不完全一样,那么就可以肯定是不同的 排列;如果两个排列所含的元素完全一样,但摆的顺序不同, 那么也是不同的排列. 4.如果m<n,这样的排列(也就是只选一部分元素作排列), 叫做选排列;如果m=n,这样的排列(也就是取出所有元素 作排列),叫做全排列.

【总结提炼】 排列问题,是取出m个元素后,还要按一 定的顺序排成一列,取出同样的m个元素,只 要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种不

同的方法(两个不同的排列).
由排列的定义可知,排列与元素的顺序有 关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排 列问题.当元素较少时,可以根据排列的意义 写出所有的排列.

练习1.在A、B、C、D四位候选人中,选举正、副班长各一 人,共有几种不同的选法?写出所有可能的选举结果.
AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC

练习2.写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的所有排列.
解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列,共20个. 若把这题改为:写出从5个元素.a,b,c,d,e中任取4个 元素的所有排列,结果如何呢? 方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”.

研究一个排列问题,往往只需知道所有排列的个数而无需一一 写出所有的排列,那么能否不通过一一写出所有的排列而直接 “得”出所有排列的个数呢?这一节课我们将来共同探讨这个 问题:排列数及其公式.

1.排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作

A

m n

注意区别“一个排列”与“排列数”的不同: “一个排列”是指“从n个不同元素中,任取m个元素按 照一定的顺序排成一列”,不是数; “排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排 列的个数”,是一个数.因此符号只代表排列数,而不表示 具体的排列.


2.排列数公式

A =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)
这里m、n ? N * 且m<n,这个公式叫做排列数公式.它有以 下三个特点: (1)第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1. (2)最后一个因数是n-m+1. (3)共有m个因数. 当m=n时

m n

A =n(n-1)(n-2)? 3 ? 2 ? 1
n n

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n! 表示。

A ? n!
n n

例1. 计算 (1) A3

16

(2)A6
6

(3)A6

4

解:(1) A3

16

? 16 ? 15 ? 14 ? 3360

6 (2) A6 ? 6! ? 720

(3)

A64 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360

m An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)

n(n-1)(n-2)?(n-m+1)(n-m)? 2 ? 1 = (n-m)? 2 ? 1 n! m ? An = 规定0!=1 (n-m)!

例2.解方程

A

3 2x

? 100Ax

2

解:原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。 例3.证明:A m

=A +mA n+1
。 。

m n

m-1 n

n! n! 证明:右边 ? ?m? (n ? m )! (n ? m ? 1)! n !? (n ? m ? 1) ? n !? m (n ? 1)n ! ? ? (n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)! (n ? 1)! ? ? Anm?1 ? 左 [(n ? 1) ? m ]!

n! A = (n-m)!
m n

1.全排列数(阶乘)
1! ? 1,2! ? 2,3! ? 6,4 ! ? 24,5! ? 120,6! ? 720,7! ? 5040 ?

2.阶乘变形

(1)2? 1!=2!,3? 2!=3!?(n+1) n!=(n+1)! ?

(2)1!+1? 1!=2!,2!+2? !=3!? n!+n? =(n+1)! 2 n!
2! 3! (n+1)! (3) =1!, =2!? =n ! 2 3 n+1
(4)2!-1!=1!,3!-2!=2? ?(n+1)!-n!=n? 2! n!

1 1 1 1 1 2 1 1 n (5) - = , - = ,? = 1! 2! 2! 2! 3! 3! n! (n+1)! (n+1)!

例3:求证:1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1 分析:n· n!=(n+1)!-n!

左=(!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!) 2 + ? +[(n+1)! n! - ]


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