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椭圆(复习课)


1、掌握椭圆的定义、标准方
程和几何性质。

2、了解椭圆的简单应用。
3、初步学会用坐标法研究几何 问题。

一.椭圆的定义
1.椭圆的第一定义: P F1 F2

{ P | PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 }
在椭圆的定义中,要特别注意:

PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2
当 PF1 ? PF2 时 动点的轨迹是线段 ? 2,a ? F1F2

F1F2

2a ? F1F2 当 PF1 ? PF2 ? 时 ,动点的轨迹不存在 .

2. 椭圆的第二定义:

Md

N

? ? MF ? ? F ? e(0 ? e ? 1)? ?M d ? ? ? ? 其中F:焦点, d : 动点M到准线的距离, e : 离心率

作用: 1)解决与焦半径有关的问题 2)当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离, 焦点弦长等有关问题时,常利用椭圆的第二定 义,将问题转化为点到准线的距离来研究.

二.椭圆的方程
1. 椭圆的标准方程:
x2 y2 (1)焦点在x轴上:a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) y2 x2 (2)焦点在y轴上: a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0)

2.一般方程形式: mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)

三 椭圆的几何性质
焦点位置 标准方程 交点在x轴上
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

交点在y轴上
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b









? b ? x ? b,?a ? y ? a ? a ? x ? a,?b ? y ? b
F1(-c,0) F2(c,0) (±a,0) (0,±b) F1(0,-c) F2(0,c) (0,±a) (±b,0)

焦点坐标 顶点坐标

标准方程 准线方程 对称性 离心率 abc关系

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a2 x?? c
c e ? (0 ? e ? 1) a

2

2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a2 y?? c
c e ? (0 ? e ? 1) a

关于x轴,y轴,原点都对称

a ?b ?c
2 2

2

a ?b ?c
2 2

2

例1.

椭圆

x2 y2 + ?1 100 64

上一点它右焦点距离

等于3,求它到相应准线距离。 y 解:有已知得:a=10,b=8,c=6 由椭圆第二定义有:
| PF2 | c 3 ?e? ? | PN | a 5

P F2

N

F1

x

PF2 3 所以: PN ? 3 ? 3 ? 5 5 5

第二定义的运用

第二定义的运用

x2 y2 5 1.椭圆 25+ 9 ? 1上有一点P,它到右准线的距离为2 ,

那么它到左焦点的距离 为( A )
A. 8

25 B. 6

9 C. 2
y

15 D. 8
P
F1 F2

| PF2 | 4 ? | PN | 5
|PF2|+|PF1|=10

N
x

y x + ? 1 的焦点,P在椭圆上, 例2 F1、F2是椭圆 12 3 且∠F1PF2= 90° ,求三角形F1PF2的面积. y P 解:设︱PF1︱=m, ︱PF2︱=n m n
由椭圆定义得: m+n = 2a = 4 3
F1 F2

2

2

x



又因三角形F1PF2为直角三角形得:
m2+n2=(2c)2=36 ②

给①式平方得:m2+2mn+n2 = 48
③- ①得:mn=6 1 所以S = m n = 3 2



第一定义的运用

第一定义的运用
2.

x2 y2 F1、F2是椭圆 + ?1 100 64

的焦点,P在

椭圆上,且∠F1PF2= 60° ,求三角形

F1PF2的面积.
y

P
F2 x

F1

?

例3 已知椭圆的对称轴是 坐标轴,O为坐标原点, F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴是6, 2 且cos∠OFA= ,求椭圆方程。 3 2 解:因为椭圆的长轴6,cos∠OFA= 所以:点A是短轴的端点,

3

所以:|OF | =c, | AF | =a=3

A F O

c 2 所以: ? 3 3

所以:c=2,b2=5

x y y x ? ? 1或 ? ?1 则椭圆方程为: 9 5 9 5

2

2

2

2

几何性质的应用
1 已知椭圆的对称轴是 坐标轴,O为坐标原点,F是 一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴是26,且 sin∠OFA= 12 ,求椭圆方程和离心率。

13

A

x y y x ? ? 1或 ? ?1 169 144 169 144

2

2

2

2

F

O

(2012国高考卷)设椭圆的两个焦点
分别为F1F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于

点P,若三角形F1PF2位等腰三角形,则椭圆的
离心率为(D )
A
2 2

B

2 ?1 2

P F2
F2

C 2? 2

D

2 ?1

练习册:
106页 3,4


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