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解析几何 存在性问题(含答案)


解析几何——存在性问题
1、已知椭圆 C1 :

x2 y 2 6 ,过 C1 的左焦点 F ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 1 的直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 2 a b 3

C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? r 2 (r ? 0) 截得的弦长为 2 2 .
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? (不必求出点的坐标);若不存在,说明理由. (1)因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2,0) …1 分 [ 解 ]: ∴ c ? 2 ,又∵ e ?
c 6 ,∴ ? a 3

a2 PF2 ,若存在,指出有几个这样的点 b2

a 2 ? 6 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2

∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 :

x2 y2 ? ? 1 .…4分 6 2

(2)存在点 P,满足 PF1 ?

a2 PF2 b2

∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?
2 2

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x ? y ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2
2 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 .…………8分 设圆 C2 上存在点 P( x, y) ,满足 PF1 ? 则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 2) 2 ? y 2 , 整理得 ( x ? ) ? y ?
2 2

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 ,且 F1 , F2 的坐标为 F1 (?2,0), F2 (2,0) , b2

5 2

9 5 3 ,它表示圆心在 C ( , 0) ,半径是 的圆。 4 2 2

∴ CC2 ? (3 ? )2 ? (3 ? 0)2 ? 故有 2 ?

5 2

37 ………………12分 2

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

a2 PF1 ? 2 PF2 C b ∴圆 2 上存在两个不同点 P ,满足 .………14分

1/9

2、平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 ? :

x2 y2 6 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,焦点为 F1 、F2 ,直线 l : 2 3 a b x ? y ? 2 ? 0 经过焦点 F2 ,并与 ? 相交于 A 、 B 两点.
⑴求 ? 的方程; ⑵在 ? 上是否存在 C 、 D 两点,满足 CD // AB , F1C ? F1 D ?若存在,求直线 CD 的方程;若不存在,

说明理由. [解]:依题意 F2 (2 , 0) , c ? 2 ……2 分,由 e ?

c 6 得 a ? 6 ……3 分 ? a 3 x2 y2 ? 1 ……4 分 b ? a 2 ? c 2 ? 2 ,椭圆 ? 的方程为 ? 6 2 ⑵ (方法一) 若存在满足条件的直线 CD ,∵ CD // AB ,∴ kCD ? k AB ? ?1 ,设直线 CD 的方程为 y ? ? x ? m ……5 分
由?
? x2 y2 ? ? 1 ……6 分,得 x 2 2 ?6 ? y ? ?x ? m ?

? 3(? x ? m) 2 ? 6 ? 0 ……7 分

4 x 2 ? 6mx ? (3m 2 ? 6) ? 0 , ? ? (?6m) 2 ? 4 ? 4 ? (3m 2 ? 6) ? 96 ? 12m2 ? 0 (*)
3m 3m 2 ? 6 , x1 x 2 ? ……9 分 2 4 1 由已知 F1C ? F1 D ,若线段 CD 的中点为 E ,则 F1 E ? CD , k F1E ? ? ? 1 ………10 分 k CD m 3m m 4 ? 1 ,解得 m ? ?4 ……13 分 , ) ,由 k F1E ? F1 (?2 , 0) , E ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 即 E ( 3m 4 4 2 2 ?2 4 m ? ?4 时, 96 ? 12m 2 ? ?96 ? 0 ,与(*)矛盾,∴不存在满足条件的直线 CD ……14 分 (方法二)假设存在 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,线段 CD 的中点为 E ( x0 , y0 ) ,
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 则 x0 ?

x1 ? x 2 , 2

y0 ?

y1 ? y 2 y ? y2 , 1 ? ?1 ……5 分 2 x1 ? x2

? x1 2 y1 2 ? ?1 ? 1 1 ? 6 2 由? 两式相减得: ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ……7 分, 2 2 6 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2 ? 6 1 1 代入、化简得: x 0 ? y 0 ? 0 由已知 F1C ? F1 D ,则 F1 E ? CD , k F1E ? ? ? 1 ……9 分 3 k CD y0 由 k F1E ? ? 1 得, y0 ? x0 ? 2 , 由①②解得 x0 ? ?3, y0 ? ?1 ,即 E(?3,?1) ……11 分 x0 ? 2
? x2 y2 ?1 ? ? 2 直线 CD 的方程为: y ? ?( x ? 4) , 联立 ? 6 得 4 x ? 24x ? 42 ? 0 ……13 分 2 ? y ? ?x ? 4 ?
∵ ? ? 24 ? 4 ? 4 ? 42 ? ?96 ? 0 ,方程(组)无解,∴不存在满足条件的直线 CD ……14 分
2

2/9

3 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 M (1,?3)、N (5,1),

若点 C 满足

OC ? tOM ? (1 ? t )ON (t ? R), 点 C 的轨迹与抛物线: y 2 ? 4x 交于 A、B 两点.
(1)求证: OA ? OB ; (2)在 x 轴上是否存在一点 P(m,0), 使得过点 P 直线交抛物线于 D、E 两点,并以该弦 DE 为直径的圆都过 原点, 若存在,请求出 m 的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)由 OC ? tOM ? (1 ? t )ON(t ? R) 知点 C 的轨迹是 M、N 两点所在的直线, 故点 C 的轨迹方程是 y ? 3 ? 由?

1 ? (?3) ? ( x ? 1) , 即 y ? x ? 4 4

?y ? x ? 4 ? y ? 4x
2

? ( x ? 4)2 ? 4x ? x2 ? 12x ? 16 ? 0

? x1 x2 ? 16 , x1 ? x2 ? 12

? yy ? ( x1 ? 4)(x2 ? 4) ? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? ?16 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 故 OA ? OB. ………..6 分
(2)法一:存在点 P(4,0), 满足条件。 证明如下:由题意知:弦所在的直线的斜率不为零, 设弦所在的直线方程为: x ? ky ? 4 代入 y 2 ? x 得 y 2 ? 4ky ?16 ? 0

? y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? ?16 ,

y y y y2 16 16 ? ? ?1 kOA ? kOB ? x1 ? x2 ? 1 2 ? 2 ? 1 2 y1 y2 y1 y2 ? 16 4 4

? OA ? OB , 故以 AB 为直径的圆都过原点 ............10 分
法二:若存在这样的点 P 满足条件,设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) . 则有 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得 y1 y 2 ? ?16, 又 PD ? ( x1 ? m, y1 ), PE ? ( x2 ? m, y2 ), 由 D、P、E 三点共线可得 ( x1 ? m, y1 ) ? y2 ? ( x2 ? m, y2 ) ? y1 ? (m ? 4)( y1 ? y2 ) ? 0 当 y1 ? ? y2 时, m ? 4, 此时 P(4,0), 可验证当 P(4,0) 且 y1 ? y2 时也符合条件, 所以存在点 P(4,0) 满足条件. 设弦 AB 的中点为 M ( x, y) 则x?

1 1 ( x1 ? x2 ) , y ? ( y1 ? y2 ) 2 2

x1 ? x2 ? ky1 ? 4 ? ky2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 8 ? k ? (4k ) ? 8 ? 4k 2 ? 8
? x ? 2k 2 ? 4 2 ∴弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为: ? ,消去 k 得 y ? 2 x ? 8. ? y ? 2k

3/9

x2 C : ? y 2 ? 1(a ? 1) 4、如图(6) ,设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 2 a uuu r uuu r 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程;
(2)若动直线 l1 , l2 均与椭圆 C 相切,且 l1 // l2 ,试探究在 x 轴上是否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之 积恒为 1?若存在,请求出点 B 坐标; 若不存在,请说明理由. 解: (1)设 P( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y) , F2 P ? ( x ? c, y) -------------1 分

a2 ?1 2 PF1 ? PF2 ? x ? y ? c ? x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a? -----------------2 分 2 a uuu r uuu r 2 2 由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a ? 2 ,-------------------3 分
2 2 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .---------------------------------------------4 分 2

(2)①当直线 l1 , l2 斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m, y ? kx ? n --------------------5 分 把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4mkx ? 2m2 ? 2 ? 0 ∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 ,化简得

m 2 ? 1 ? 2k 2
2 2

同理, n ? 1 ? 2k ------------------------------------8 分
2 2

∴ m ? n ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意,∴ m ? ?n -----------------------9 分 设在 x 轴上存在点 B(t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m2 |? k 2 ? 1 ,--------------------------------------10 分 2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k ? m 代入并去绝对值整理,
2 2

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ?1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立
2 则 t ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ;----------------------------------------------------------------------12 分

②当直线 l1 , l2 斜率不存在时,其方程为 x ?

2 和 x ? ? 2 ,---------------------------13 分

定点 (?1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ?1)( 2 ? 1) ? 1 ; 定点 (1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ?1) ? 1 ; 综上所述,满足题意的定点 B 为 (?1, 0) 或 (1, 0) --------------------------------------------14 分

4/9

5、已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F 1 ? ?1,0 ? 、 F 2 ?1,0? ,且经过定点 ? ? 1, ? , 2 a b ? 2? ? ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 上的动点,以点 ? 为圆心, ?F2 为半径作圆 ? .

?1? 求椭圆 C 的方程; ? 2 ? 若圆 ? 与 y 轴有两个不同交点,求点 ? 横坐标 x0 的取值范围; ? 3? 是否存在定圆 ? ,使得圆 ? 与圆 ? 恒相切?若存在,求出定圆 ? 的方程;若不存在,请说明理由.
解: ?1? 由椭圆定义得 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,……………………………………… 1 分

?3? 即 2a ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ?2?
2

2

3? 5 3 ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 4 , ……………………… 2 分 2 2 ?2?
2

2

∴ a ? 2 ,又 c ? 1 , ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .……………………………………… 3 分 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………4 分 4 3

? 2 ? 圆心 M ( x0 , y0 ) 到 y 轴距离 d ?

x0 ,圆 M 的半径 r ?

? x0 ?1?
2

2

2 , ? y0

若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,则有 r ? d ,即

? x0 ?1?

2 ? y0 ? x0 ,

2 化简得 y0 ? 2x0 ? 1 ? 0 .…………………… …………………………… 6 分

3 2 x0 ,代入以上不等式得: 4 4 2 3x0 ? 8x0 ?16 ? 0 ,解得: ?4 ? x0 ? . ……………………………………… 8 分 3 4 4 又 ?2 ? x0 ? 2 ,∴ ?2 ? x0 ? ,即点 M 横坐标的取值范围是 [ ?2, ) . ……9 分 3 3
2 点 M 在椭圆 C 上,∴ y0 ? 3 ?

? 3? 存在定圆 N : ? x ? 1?

2

? y 2 ? 16 与圆 M 恒相切, 其中定圆 N 的圆心为椭圆的左焦点 F 半径为椭圆 C 的 1,

长轴长 4. ……………………12 分 ∵由椭圆定义知, MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 4 ,即 MF 1 ? 4 ? MF 2 , ∴圆 N 与圆 M 恒内切. …………………………………………………………… 14 分

5/9

6、已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过 点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程;

?

?

P ? 若存在,指出这样的点 P 有几个(不必求出点 P 的 (2) 是否存在满足 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
坐标); 若不存在,说明理由. (1)椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 B ( x1 ,

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

………3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4

BA ? (2 ? x1 ,3 ?
……4 分

1 2 x1 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, (∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得:2 (x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 .

①……5 分

由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

……6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x12 . ② 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
③ ……………8 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

设点 P( x, y) ,由②③得: 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 1 x ? x12 ? 2 x ? x2 ,而 x1 ? x 2 ,则 x ? ( x1 ? x 2 ) . 2 2 4 2 4

………9 分

1 x1 x 2 ,则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 4
………11 分

得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上,………12 分 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ………13 分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) ,由 x2 ? 4 y ,即 y ?

…………14 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

……4 分

6/9

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 . 2 2 2

……5 分

∵ y1 ?

x x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 .∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上, ∴ y 0 ? 1 x0 ? y1 . ①…6 分 4 2 2 x2 x0 ? y 2 . ② 2
综合①、 ②得, 点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ?

同理, y 0 ?

x x0 ? y . 2

∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的,∴直线 L 的方程为 y 0 ? ∵点 A(2,3) 在直线 L 上,

x x0 ? y , ………9 分 2

∴ y0 ? x0 ? 3 .∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . ……11 分

P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,12 分 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ……13 分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

……14分

?

?

由?

? ? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

……4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

………5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 .…7 分 2 2 2
x2 1 2 x ? x2 . 2 4

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x y ? 1 x? ? 2 由? ? ? y ? x2 x ? ? ? 2

1 2 ? x ? x2 x1 , x ? 1 ? 2k , ? 4 2 解得 ? ∴ P ? 2k , 2k ? 3 ? . ? x1 x2 1 2 ? x , y ? ? 2k ? 3. ? 4 2 ? 4
x2 y2 ? ? 1 上. 16 12

……10 分

P 在椭圆 C1 : ∵ PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 , ∴点

……11 分

? 2k ? ∴
16

2

?

? 2k

? 3? 12

2

2 2 ? 1 化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*) 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ? ?3? ? 228 ? 0 ,

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个.

………14 分

7/9

C 经过点 P(4 2, 2 7) . 7、已知双曲线 C 的焦点分别为 F 1 (?2 2,0), F 2 (2 2,0) ,且双曲线
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,若点 A 在双曲线 C 上,点 B 在直线 x ?

2 上,且 OA ? OB ? 0 ,是否存在以点

O 为圆心的定圆恒与直线 AB 相切?若存在,求出该圆的方程,若不存在,请说明理由. [解]: (1)解法一:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为 ∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上, ∴ 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 | ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1.(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
∴ a ? 2 ---3 分

(6 2) 2 ? (2 7) 2 ? (2 2) 2 ? (2 7) 2 ? 4
2

x2 y 2 ? ? 1. ---------------4 分 4 4 x2 y 2 解法二:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为 2 ? 2 ? 1.(a ? 0, b ? 0) -------1 分 a b ∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上, 32 28 2 2 ∴ 2 ? 2 ? 1 , -----------------------① 又 b ? 8 ? a ,----------------② a b 4 2 2 ②代入①去分母整理得: a ? 68a ? 32 ? 8 ? 0 ,又 a ? c ,解得 a 2 ? 4, b ? 4 -------3 分
又 c ? 2 2 ,∴ b ? c ? a ? 4 ,∴所求双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. ----------------------4 分 4 4 (2) 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , ( 2, t ) ,其中 x0 ? 2 或 x0 ? ?2 .-----------------5 分 y ?t 当 y0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? t ? 0 ( x ? 2) , x0 ? 2
∴所求双曲线 C 的方程为 即 ( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? tx0 ? 2 y0 ? 0 -------------------------------------------6 分 若存在以点 O 为圆心的定圆与 AB 相切,则点 O 到直线 AB 的距离必为定值, 设圆心 O 到直线 AB 的距离为 d ,则 d ?

| tx0 ? 2 y0 | ( y0 ? t )2 ? ( x0 ? 2) 2
∴t ? ?

.----------------------7 分

∵ OA ? OB ? 0 , ∴ 2x0 ? ty0 ? 0 ,∵ y0 ? 0
2 2 又 x0 ? y0 ?4, 故
2 2 x0 |? ? 2 y0 | y0

2 x0 ,-----------8 分 y0
2 y0 ?2 | y0 ? 2 --------11 分 2 y0 ?2 2| | y0

2 2| ?

d?

2 y0 ?2 | y0

2 2|
=

2 y0 ?2 | y0

2 2| ?

2 x0 2 2 2 ( y0 ? ) ? x0 ? 2 2 x0 ?2 y0
2 2

4 2 2 y0 ? 8 y0 ?8 2 2 y0

2 2( y0 ? 2) 2 2 y0

此时直线 AB 与圆 x ? y ? 4 相切,-----------------------------------------------12 分

t2 4 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理得 t ? 2t ? 8 ? 0 , 2 2 2 即 (t ? 4)(t ? 2) ? 0 ,解得 t ? ?2 , 2 2 此时直线 AB: y ? ?2 .也与圆 x ? y ? 4 也相切.----------------------------------13 分 2 2 综上得存在定圆 x ? y ? 4 与直线 AB 相切.--------------------------------------14 分
当 y0 ? t 时, x0 ? ?

8/9

8、椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) , F1 , F2 分别为椭圆的左右焦点,且 | F1F2 |? 2 。 2 a b 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆交于 P ,PF 1, P 2 两点( P 1在P 2 的左侧) 1 1和 P 2 F2 都是圆的切线且 PF 1 1 ?P 2F 2 ?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由。

9/9


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强化解析几何存在性问题.doc
强化解析几何存在性问题 - 探究存在性问题 例1. 已知椭圆 C: 3 x2 y
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高中数学知识点《解析几何》《圆》精选强化试题【1】(含答案考点及解析)_数学_...解析几何》圆锥曲线》双曲线 【解析】 试题分析:存在性问题常先假设存在,如果...
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专题52 圆锥曲线存在性问题-备考2019年高考数学解答题专练系列含答案_高三数学_...在椭圆 上, 所以 所以 ,, 【点睛】 解决解析几何中探索性问题的方法 存在性...
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