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海淀区高三年级第二学期期中数学(文科)练习及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(文科) 2018.4 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将答题纸交回。 第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合 A ? {0, a}, B ? {x | ? 1 ? x ? 2} ,且 A ? B ,则 a 可以是 (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2)已知向量 a ? (1, 2), b ? (?1, 0) ,则 a +2b ? (A) (?1, 2) (B) (?1, 4) (C) (1, 2) (D) (1, 4) (3)下列函数满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 的是 (A) f ( x) ? x (C) f ( x) ? (B) f ( x) ? ln x 1 x ?1 (D) f ( x) ? x cos x (4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 2 (B)6 (C) 8 (D)10 (5) 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上任意一点到焦点的 2 距离恒大于 1,则 p 的取值范围是 (A) p ? 1 (B) p ? 1 (C) p ? 2 (D) p ? 2 (6)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,若四边形 ABCD 及其内部的点组成的集合记为 M , P( x, y ) 为 M 中任意一点,则 y ? x 的最大值为 (A) 1 (C) ?1 (B) 2 (D) ?2 (7)已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,则“ Sn ? nan 对 n ? 2 恒成立”是“数列 ?an ? 为 递增数列”的 (A) 充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B) 必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (8) 已知直线 l : y ? k ( x ? 4) 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 相交于 A ,B 两点,M 是线段 AB 中 点,则 M 到直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 的距离的最大值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)复数 2i ? ____. 1? i x2 ? y 2 ? 1的一个顶点,则 C 的离心率为 2 a . (10)已知点 (2, 0) 是双曲线 C : (11)在 ?ABC 中,若 c ? 2, a ? 3, ?A ? ? 6 ,则 sin C ? , cos 2C ? . (12)某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是____. 3 1 1 1 1 主视图 左视图 俯视图 (13)已知函数 f ( x) ? 1 ? cos x, 给出下列结论: x 2 ; ? ① f ( x ) 在 (0, ) 上是减函数;② f ( x ) 在 (0, ?? 上的最小值为 ③ f ( x ) 在 (0, 2?) 上至少有两个零点. ? 2 其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号) (14)将标号为 1,2,……,20 的 20 张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片.把每 列标号最小的卡片选出,将这些卡片中标号最大的数设为 a ;把每行标号最大的卡片选出, 将这些卡片中标号最小的数设为 b . 甲同学认为 a 有可能比 b 大, 乙同学认为 a 和 b 有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的 同学是___________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a5 = a2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)试判断是否存在正整数 n ,使得 {an } 的前 n 项和 Sn 为 1 8 5 ?若存在,求出 n 的值;若不存在,说明理由. 2 (16) (本小题 13 分) ?( x ? ? 函 数 f ( x) ? 3 s i n ? )(? ? 0 ? , |? | 的 部 ) 分图 2 象如图所示,其中 x0 是函数 f ( x ) 的零点. (Ⅰ)写出 ? , ? 及 x0 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? ? , 0] 上的最大值和最小值. 2 (17) (本小题 13 分) 流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的 繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于 65% 或小于 40% 时,病毒繁殖滋生较快,当 空气相对湿度在 45% 55% 时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的 空气月平均相对湿度共 300 个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便, 将空气相对湿度在 a % : b% 时记为区间 [ a,b) . 组号 分组 1 2 3 4 5 6 7 8 [15, 25) [25,35) [35, 45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95) 频数 2 3 15 30 50 75 120 5 (Ⅰ)求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率; (Ⅱ)从区间 [15,35) 的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于 [25,35) 的概率; (Ⅲ) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 试估计样本中空气月平均相对 湿度的平均数在第几组(只需写出结论). (18) (本小题 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 E ? ABCD 中 , AD // BC , AD ? AB ? AE