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高三数学第一次模拟考试试题理新人教A版


安徽省淮南市 高三第一次模拟考试数学(理科)试卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) .

z?
1.复数 A. 2i

4 ? 3i 2 ? i 的虚部为
B. ? 2i C. ?2 D. 2

A ? {x ? N
2 集合 A.8 B. 4

3 ? 1}, B ? {x ? N log2 ( x ? 1) ? 1}, x 则集合 A ? B 的子集个数为
D. 2

C. 3

3. 设 A,B 为两个不相等的集合,条件 p: x ? ( A ? B) , 条件 q: x ? ( A ? B) ,则 p 是 q的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知一个空间几何体的三视图如图所示, 且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上, 则球的表面积是 28 28 7 49 ? ? ? ? A. 3 B. 3 C. 9 D. 9

? 5. 将函数 y= cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 再向右平移 4 个
单位,所得函数图象的一条对称轴方程是 A. x ? ?

x?
B.

?
2
R C.

x?

?
3
D.

x?

?
4

6. 已 知 定 义 域 为

的 偶 函 数 y ? f ( x) 满 足

f (2 ? x) ? f ( x), 且 当

0 ? x ? 1, f ( x) ? s i n x 2 ,

?

) ? f (2015 ) 的值为 则 f (2014
A.1 B.-1 C. 2 D.-2

1

1 y ? ( )x 2 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是 7. 设函数 y ? x 与
1 3

1 ( ,1) A. 2

1 1 ( , ) B. 3 2

1 1 ( , ) C. 4 3

1 (0, ) 4 D.

8.

已 知

A,B,C

OC ? a2 OA ? a12 OB , 则 三 点 共 线 , {an }为等差数列,且

a3 ? a15 ? a11的 值 为
1 C. 2 ?
D.

A. 1

B. -1

1 2

x ? D ,使得 | f ( x0 ) ? g ( x0 ) |? 1 ,则称 x0 是 9. .对于函数 f ( x), g ( x) 和区间 D ,如果存在 0
函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 D 上的“亲密点” 。现给出四对函数: ① f ( x) ? x , g ( x) ? 2 x ? 2 ; ② f ( x) ?
2

x , g ( x) ? x ? 2 ;

x ③ f ( x) ? e , g ( x) ? x ? 1 ; ④ f ( x) ? ln x, g ( x) ? x

则在区间 (0, ??) 上存在唯一“亲密点”的是 A. ①③ B.③④
2 2

C. ①④

D.②④

10.已知圆 M: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2, 四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E、 F 分别为 边 AB、AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范围是 A. [ ? 5 2 ,5 2 ] B.[ ? 5,5 ] C.[ ? 10 2 ,10 2 ] D.[ ? 10,10 ]

二、填空题: (本大题共 5 小题,5 每小题 5 分,共 25 分)

已知f ( x) ? a sin x ? bx3 ? 6(a, b为常数) , 且f (log2 3) ? ?2, 则f (log1 3) ?
11.
2

12. 已知 z ? 2 x ? y ,其中实数 x, y 满足 的值是

? y?x ? ?x ? y ? 2 ? x?a ?

,且 z 的最大值是最小值的 2 倍,则 a

sin A ? cos A tan C 的范围 13.已知Δ ABC 三条边 a,b,c 成公比大于 1 的等比数列,则 sin B ? cos B tan C
y2 ? x 2 ? 1一个焦点 2 3 14. 已知双曲线 与抛物线 x ? ay ( a >0)的焦点 F 重合,O 为原点,点
2

P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 AF ? 4 ,则 PA ? PO 的最小值为
15.设异面直线 a,b 所成角为 ? ,点 P 为空间一点(P 不在直线 a,b 上) ,有以下命题 ①过点 P 存在唯一平面与异面直线 a,b 都平行

??
②若

? , 2 则过点 P 且与 a,b 都垂直的直线有且仅有 1 条. ? ? , 3 则过点 P 且与 a,b 都成 3 直线有且仅有 3 条.

??
③若

? ? ? ? ?( , ) 3 2 . ④若过点 P 且与 a,b 都成 3 直线有且仅有 4 条,则 ? ? ? ? ?( , ) 6 3 . ⑤若过点 P 且与 a,b 都成 3 直线有且仅有 2 条,则
其中正确命题的序号是_________(请填上所有正确命题的序号)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题 12 分)

已知函数 f ( x) ? 3 sin

x x x cos ? cos 2 4 4 4

2 cos( ? ? ? ) 3 (Ⅰ)若 f (? ) ? 1 ,求 的值;
(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求 f ( A) 的取值范围。

17. (本小题 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、 y, 恒有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x>0 时, 有 f(x)<0。 (Ⅰ)求证:f(x)为奇函数且在 R 上是减函数;

1 4 正数x, y满足 ? ? 1, 且f ( x) ? f ( y) ? f (1 ? m) ? 0恒成立, x y (Ⅱ)若
求 m 的范围。

3

18. (本小题 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , A1 B ? 平面 ABC,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (Ⅰ)若 P 为棱 B1C1 的中点,求出二面角 平面角的余弦值. (Ⅱ)证明:平面 ABC 与平面 ACC1 A1 一定不垂直
C1 B1 A1

P ? AB ? A1 的

C B

A

19. (本小题 13 分)

F,F 已知椭圆 C 中心在原点 O,对称轴为坐标轴,焦点 1 2 在 x 轴上,离心率
3 A(1, ) 2 。 点
(Ⅰ)椭圆 C 的标准方程.

e?

1 2 ,且经过

1 OP (Ⅱ)已知 P、Q 是椭圆 C 上的两点,若 OP ? OQ ,求证: 1
(Ⅲ)当
2

?

1 OQ
2

为定值

OP

2

?

1 OQ
2

为(Ⅱ)所求定值时,试探究 OP ? OQ 是否成立?并说明理由.

20. (本小题 13 分)

1,0)处切线方程为 y ? x ?1 已知函数 f ( x) ? ax ln x ? b(a, b为常数)在(
(Ⅰ)试求 a, b 的值. (Ⅱ)若方程 f ( x) = m 有两不等实数根,求 m 的范围.
/ (Ⅲ) g ( x) ? f ( x), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )为y ? g ( x)曲线上不同两点 ,

4

k ? g ?(
记直线 AB 的斜率为 k,证明:

x1 ? x 2 ) 2 .

21. (本小题 13 分)

已知数列

{an } 满 足

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ?

n a n ?1 * {b } 2 ( n? N ),数列 n 为等比数列,

a1 ? b1 ? 2, a2 ? b2
(I)求{

an }、{ bn }的 通项公式。 bk 和 bk ?1 之间插入 ak 个 2,得到一个新数列{ cn }。设 Tn 是数列

(II)若对每个正整数 k,在 {

cn }的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m.

安徽省淮南市 高三第一次模拟考试数学(理科)试卷答案

(Ⅱ)由 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C

2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A, cos B ?


1 2
5

? B ? (0, ? ),? B ?

?
3

, A ? (0,

2? ) 3 …………………………………9 分

A ? 1 ? )? 2 6 2 ? A ? ? 1 A ? ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 6 2 6 2 2 2 6 ? f ( A) ? sin(
3 ? f ( A) ? (1, ) 2 …………………………………………..12 分
17、 (Ⅰ )证明:令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? 0 ………………..1 分 又 f ( x) ? f (? x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 0

? f ( x) 为奇函数……………………………………..3 分
任取 x1 ? x2 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ………………….5 分

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 为奇函数且在 R 上是减函数……………………6 分 (Ⅱ)解:由 f ( x) ? f ( y) ? ? f (1 ? m) ? f (m ? 1) 又( Ⅰ)得知: f ( x ? y) ? f (m ? 1) 恒成立 从而 m ? 1 ? x ? y 恒成立………………………..9 分

1 4 y 4x y 4x x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? 5 ? ? ? 5?2 ? ?9 x y x y x y ∵
∴ m ? 1 ? 9 ∴ m ? 10 . ........................12 分 18. (Ⅰ) 解:以 A 为原点建立空间直角坐标系(如图) ,
C1 P A1 z

A(0,0,0), B(0,2,0), C (2,0,0), A1 (0,2,2) B1 (0,4,2), C1 (2,2,2), P(1,3,2)
…… 2 分
x C B A

n ? x, y, z ? , 设平面 P ? AB ? A1 的法向量为 1 ?
? ?n1 AP ? 0 ? ?n1 AB ? 0 , 则?
令 z ?1 故

?x ? 3 y ? 2z ? 0 ? 2y ? 0 即?
0, 1? n1 ? ? ?2,
… …4 分

y

6

平面 ABA1 的法向量

n2 =(1,0, 0) ,且二面角平面角为锐角………………..5 分
?? 2 2 5 ? 5 5
2 5

cos n1 , n2 ?


n1 n2 n1 n2

P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 5 . 故二面角

…………7 分

1CC1 垂直………………………………8 分 (Ⅱ)证明:假设平面 ABC 与平面 AA
1C1 交线为 AC 因为 AB ? AC ,平面 ABC 与 平面 ACA

1C1 ,AB ? AA 1 ……………………………………10 分 所以 A B ? 平面 ACA

又 A1 B ? 平面 ABC, A1 B ? AB 故矛盾,从而假设错误,原命题正确
1C1 一定不垂直………………………..............12 分 即平面 ABC 与平面 ACA 1C1 法向量不垂直。 注:本题也可运用空间坐标计算平面 ABC 与平面 ACA

3 x2 y 2 A(1, ) ? 2 ?1 2 2 代入椭圆方程, b 19(Ⅰ)解:由题意: 设椭圆方程为 a (a>b>0),把点 e?
把离心率

1 2 用 a , c 表示及 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2, b ? 3 ,

x2 y2 ? ?1 3 故椭圆方程; 4 …………………… ………………..4 分

1
(Ⅱ)证明:①若 P、Q 分别为长轴和短轴的端点,则 ②若 P、Q 都不为长轴和短轴的端点, 设 OP: y ? kx; 那么 OQ:

OP

2

?

1 OQ
2

?

7 12

...... .............5 分

y??

1 x.P ( xP , yP ), Q( xQ , yQ ) k

? x2 y 2 ?1 ? ? , 3 ?4 12 12k 2 2 2 xP ? 2 , yP ? 2 ? y ? kx 4k ? 3 4k ? 3 联立方程 ? 解得

7

? x2 y2 ? ?1 ? ?4 3 ? 12k 2 12 2 2 ? y??1x xQ ? 2 , yQ ? 2 ; k ,解得 ? 3k ? 4 3k ? 4 ...............................7 分 同理联立方程 ?
7k 2 ? 7 7 ? 2 12k ? 12 12

?

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

1 12 12k 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

1 12k 2 12 ? 2 2 3k ? 4 3k ? 4

?

1
综合①②可知

OP

2

?

1 OQ
2

7 为定值 12 ..........................................................9 分

1
(Ⅲ) 解: 对于 C 上的任 意两点 P、 Q,当
2 xP ?

OP

2

?

1 OQ
2

?

7 12

时,设

OP : y ? k1x, OQ : y ? k2 x,

易得

2 1 1 7 12k12 12k2 12 12 2 2 2 ? ? , y ? ; x ? , y ? , 2 2 P Q Q 2 2 2 2 12 OQ 4k1 ? 3 4k1 ? 3 4k2 ? 3 4k2 ? 3 由 OP 得

2 4k12 ? 3 4k2 ?3 7 ? ? , 2 2 12k1 ? 12 12k2 ? 12 12



2 2 2 2 8k12k2 ? 7k12 ? 7k2 ? 6 ? 7(k12k2 ? k12 ? k2 ? 1), 亦即 k1k2 ? ?1, ………………..12 分

1
所以当

OP

2

?

7 OQ 为定值 12 时, OP ? OQ 不一定成立………………………..13 分
2

1

(Ⅲ)证明:由 g ( x) ? 1 ? ln x , y1 ? 1 ? ln x1 ,

k?
从而

ln x2 ? ln x1 ln x2 ? ln x1 2 , ? x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? x2 即证:
8

ln x2 ? ln x1 ?
即证:

2( x2 ? x1 ) x2 ? x1

x2 ?1 x2 x1 ln ?2 x2 x x1 2(t ? 1) ?1 t ? 2 ? (1,??), ln t ? x1 x1 t ? 1 ……………………10 分 即证: ,令 即证:

? (t ) ? lnt ?


2(t ? 1) (t ? 1) t ?1

? ' (t ) ? ? 2

1 t

(t ? 1) ? (t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 ? 4t (t ? 1) 2 ? ? ? ? ?0 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) t (t ? 1) (t ? 1) 2

? (t ) ? ? (1) ? 0 ∴ ? (t )在(1,??)单增,
ln t ?
从而

2(t ? 1) t ? 1 ∴原式得证………………………………….13 分

21、解(Ⅰ)由

a1 ? a 2 ? ... ? a n ?

n a n ?1 2 ……①得[

a1 ? a 2 ? ... ? a n ?1 ?

n ?1 an 2 ……②

①-②得:

an ?

n n ?1 a n ?1 ? an , nan?1 ? (n ? 1)an 2 2

(n ? 2) ………………2 分

an?1 n ? 1 a2 1 ? (n ? 2), ?2 a1 ? a 2 , a n a2 ? 4 , a1 2 ∴ n 又当 也满足 a n?1 n ? 1 a a 2 a3 2 3 n ? (n ? N ? ) ? ...... n ? ? ...... ?n a n a a a 1 2 n ? 1 n 1 2 n ? 1 ∴ ,从而 ……….4 分


an ? 2n, b1 ? 2, b2 ? a1 ? 4, bn ? 2 n ………………6 分

9

从而

cm?1 必是数列 {bn } 中的某一项 bk ?1 ,则

Tm ?
=

b1 ?2 ? 2 ? b2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? b3 ? ? ? bk ? 2 ? 2 ?? ?2 ? ? ?? ? ?? ? ?? ?
a11 a2 ak

2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2k ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak )
(2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 2 ,................................ ...................11 分

? 2(2k ? 1) ? 2 ?



2cm?1 ? 2bk ?1 ? 2 ? 2 k ?1
k ?1

所以 2
2

? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1) ,因为 2k ? 1(k ? N ? ) 为奇数,

而 k ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解. 即当 m ? 3 时,

Tm ? 2cm?1 .综上所述,满足题意得正数仅有 m ? 2 .....................13 分

10


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