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2015年秋季新洲三中、黄梅五中高二年级期中联考数学(理)测试答案


2015 年秋季新洲三中、黄梅五中高二年级期中联考 数学(理)试题答案
(时间:120 分钟 总分:150 分 命题:彭志军 审题:张汉周)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答 案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 B 8 A 9 A 10 D 11 B 12 B

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、

??16,0?
( 21 , 2) 3

14、

88

15、

16、

2 5

三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分)
17、解: (1)① s ? s ? 1 /(n * (n ? 1)) (2)由已知条件得: ② n>2015 …………(4 分)

1 1 1 1 1 1 + + + +技 + + 1? 2 2 创 3 3 4 4? 5 2014创 2015 2015 2016 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - + - + - + - +技 + + 1 2 2 3 3 4 4 5 2014 2015 2015 2016 1 =12016 2015 = 2016 s=

18、解:若 p 真,则有 9-m>2m>0,即 0<m<3.若 q 真,则有 m>0,

b m ?3 ? 5 2 且 e =1+ 2=1+ ∈ ? , 2 ? ,即 <m<5. a 5 ?2 ? 2
2

若 p、q 中有且只有一个为真命题,则 p、q 一真一假.…………(4 分) ①若 p 真、q 假, 5 5 则 0<m<3,且 m≥5 或 m≤ ,即 0<m≤ ;…………(6 分) 2 2 5 ②若 p 假、q 真,则 m≥3 或 m≤0,且 <m<5,即 3≤m<5.……………………(8 分) 2

5 故所求 m 的范围为:0<m≤ 或 3≤m<5.…………………………………………(10 分) 2 19、解: (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

4 .设圆 C 的方程是 t2

2 4 4 ( x ? t ) 2 ? ( y ? ) 2 ? t 2 ? 2 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t t t , ? S ?OAB ? 1 1 4 OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值.…………(5 分) 2 2 t

? OM (2)

? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN . ? k MN ? ?2,? k oc ?
1 2 1 x , ? ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 …………(7 分) 2 t 2

1 , 2

? 直线 OC

的方程是 y ?

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) ,OC ?

5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离

d?

9 5

? 5 ,圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点. …………(9 分)
当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ?

5 ,此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的

距离 d

?

9 5

? 5

圆 C 与直线 ,

y ? ?2 x ? 4 不相交,? t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 …………(12 分)
20、解:本题可通过建立空间坐标系求解.以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得

A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
→ → → → (1)证明:易得B1C1=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是B1C1·CE=0, ∴B1C1⊥CE.……………………………………………………………………………(5 分) → (2)B1C=(1,-2,-1).设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z), → ? ?m·B C=0, 则? → ? ?m·CE=0,
1

?x-2y-z=0, ? 即? ?-x+y-z=0. ?

消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为 m=(-3,-2,1).

→ 由(1),B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1,故B1C1=(1,0,-1)为平面 CEC1 的一 → 2 7 21 个法向量. 于是 cos 〈m, B1C1〉 = = =- , 从而 sin 〈m, B1C1〉 = , → 7 7 14× 2 |m|·|B1C1| → →

m·B1C1

-4

故二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

21 .…………………………………………(12 分) 7
y P O x

21、解: (1)由已知条件,设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px 点 P(1,2)在抛物线上

? 22 ? 2 p ?1 ,得
故所求抛物线的方程是

. . . . . . . . . . . (2 分) …………..(3 分)

A B

准线方程是 x ? ?1 ……………………………..(4 分) (2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB 则 k PA ?

y1 ? 2 y ?2 ( x1 ? 1) , k PB ? 2 ( x2 ? 1) ………………….(5 分) x1 ? 2 x2 ? 1

PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 ? k PA ? ?k PB ……………………………………….(6 分) 由 A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 )在抛物线上,得

y1 ? 4 x1
? y1 ? 2

2

(1)

y2 ? 4x2

2

(2)………………………………….(8 分)

1 2 1 2 y1 ? 1 y2 ? 1 4 4 ? y1 ? 2 ? ?( y 2 ? 2) …………………………………(10 分) ? y1 ? y 2 ? ?4
由(1)-(2)得直线 AB 的斜率

??

y2 ? 2

k AB ?

y 2 ? y1 4 4 ? ? ? ? ?1( x1 ? x2 ) ……………..(12 分) x2 ? x1 y1 ? y 2 4

22、解: (1)椭圆的方程为

y2 x2 ? ? 1 ………………………………………………(4 分) 4 3

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ………………………………(5 分) y2 ? ? 1 ? 3 ? 4 1 由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 4 2 32k 64k 2 ? 12 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ? 2 ①………………(6 分) , x1 x2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 3 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ??? ? ???? 64 k 2 ? 12 32k 2 87 2 ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ? …… (8 分) 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ??? ? ???? 1 87 87 87 13 ∵ 0 ≤ k 2 ? ,∴ ? ,∴ OA ? OB ?[?4, ) ≤? 2 ?? 4 3 4 4 4k ? 3 ??? ? ???? 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) . ……………………………………………………… (9 分) 4

(3)证:∵B、E 两点关于 x 轴对称,∴E(x2,-y2) y ? y2 y ( x ? x2 ) 直线 AE 的方程为 y ? y1 ? 1 ………(11 分) ( x ? x1 ) ,令 y = 0 得: x ? x1 ? 1 1 x1 ? x2 y1 ? y2 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) 又 y1 ? k ( x1 ? 4),y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ? 1 2 x1 ? x2 ? 8 由将①代入得:x = 1,∴直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0).…………………………(14 分)


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