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3不等式的解法-教师

三 ZHI 学校

高中数学组

不等式(3)

打稿教师:常晓梅

知识聚焦

37. 解分式不等式
1

f ( x) ? a ?a ? 0?的一般步骤是什么? g( x)

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 ) 2 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开始 3 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a ? 1或0 ? a ? 1讨论
4 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。 )

经典例题

例 1.解下列不等式 (1) ( x ? 2)( x 2 ? x ? 2)( x 2 ? x ? 3) ? 0
? ??, ? 2? ? ?1, 2? ? ?

(2)

4 x 2 ? 20 x ? 18 ?3 x2 ? 5x ? 4

? ??, 2? ? ?3, ?? ? ? ?

(3)解不等式 ( x ? 5)( x ? 2)( x ?1)( x ? 4) ? ?80

? ?1 ? 41 ? ? ?1 ? 41 ? ,3? ? ?4, ??? 2 2 ? ? ? ? ? ?
? 1? 例 2. 已 知 关 于 x 的 不 等 式 a x2 ? b x? c?0 的 解 集 为 ? x x ? ?2, 或x ? ? , 求 关 于 x 的 不 等 式 2? ?

ax2 ? 2bx ? 4c ? 0 的解集。

解: (?1, 4)

例 3.解关于 x 的不等式 a( x ? ab) ? b( x ? ab)
ab(a ? b) , ??) a ?b ab(a ? b) ②当a-b<0,即a<b时,解集( ? ?, ) a ?b ③当a-b=0,即a=b时,若a=b ? 0时,解集为? ①当a-b>0,即a>b时,解集( 若a=b ? 0时,解集为R

解:

例 4.若不等式

x 2 ? 8 x ? 20 ? 0 对一切 x 恒成立,求实数 m 的范围.? mx 2 ? mx ? 1
1

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解: ?4 ? m ? 0

例 5.解不等式 (1)解不等式: 2
2 x 2 ?3 x ?1

1 x 2 ? 2 x ?5 ?( ) 2

(2) log3 (3x ? 1) ? log 3 (3x? 2 ? 9) ? 3

4 4 (??, ? ) ? ( , ??) 3 3

0 ? x ? log3 4

(3) log x ?3 ( x ? 1) ? 2 无解

例 6.已知函数 y ? log 1 ( x ? 2) 的定义域是 A,不等式 log 1 (4a x ? 1) ? log 1 (a x ? 5) (0 ? a ? 1) 的解集为 B,求
2
2 2

A? B
? 解: A : x x ? ? 2? , B : ? x log a 2 ? x ? log a ?

?

1? ? 4?
1? ? 4?

0 讨论: 当 log a 2 ? ?2时,? a ?

? 2 1 1 , log a 2 ? log a 2 , 2 ? 2 , A ? B ? B ? ? x log a 2 ? x ? log a 2 a a ?

当a>

2 1 时,A ? B ? (?2, log a ) 2 4

例 7.解关于 x 的不等式 log a ( x 2 ? x ? 2) ? log a (ax ? 2)(a ? 0, a ? 1)

解: 当a>1时,x ?(1+a,+?), 当0<a<1时,x>2或x<-1

基础演练

1.不等式

x?5 ? 2 的解集是( ( x ? 1) 2
? 1 ? (B) ? ? ,3? ? 2 ?

)D
?1 ? (C) ? ,1? ? ?1,3? ?2 ? ? 1 ? (D) ? ? ,1? ? ?1,3? ? 2 ?

1? ? (A) ? ?3, ? 2? ?

2

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? x ? 2, x? 0 2.已知函数 f ( x) ? ? ?? x ? 2, x ? 0

,则不等式 f ( x) ? x 2 的解集为( (C) ? ?2,1? (D) ? ?1, 2?

)A

(A) ? ?1,1?

(B) ? ?2, 2?

3. 若使不等式 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 和 x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 同时成立的 x 的值使关于 x 的不等式 2 x2 ? 9 x ? a ? 0 也成立, 则( )C (A) a ? 9 (B) a ? 9 (C) a ? 9 (D) 0 ? a ? 9 )D

4.当不等式 2 ? x 2 ? px ? 10 ? 6 中恰好有一个解时,实数 p 的值是( (A)2 (B)-2 (C)2 或-2 (D)4 或-4

5.已知不等式 log x (2 x 2 ? 1) ? log x 3x ? 0 成立,则实数 x 的取值范围(
1 (A) (0, ) 3 1 (B) (0, ) 2 1 (C) ( ,1) 3 1 1 (D) ( , ) 3 2

)D

6. 不等式 log a ?1 (2 x ? 1) ? log a ?1 ( x ? 1) 成立的充要条件是( (A) a ? 2, x ? 1 7.若 log 2 a (B) a ? 1, x ? 1 (C) a ? 2, x ? 2 )C

)A (D) a ? 1, x ? 2

1 ? a2 ? 0 ,则 a 的取值范围( 1? a

1 (A) ( , ??) 2

(B) (1, ??)

1 (C) ( ,1) 2

1 (D) (0, ) 2

8.设 0 ? a ? 1,函数 f ( x) ? log a (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围( (A) (??,0) (B) (0, ??) (C) (??, log a 3) (D) (log a 3, ??) )C (D) x ? y ? 0

)C

9.若 (log 2 3) x ? (log5 3) x ? (log 2 3) ? y ? (log5 3) ? y ,则( (A) x ? y ? 0 (B) x ? y ? 0 (C) x ? y ? 0

1 10.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 x ? [0, ??) 上是增函数且 f ( ) ? 0 ,满足不等式 f (log 1 x) ? 0 的 x 的取值 3 8

范围是( )C 1 (A) ( ,1) ? (2, ??) 2

1 (B) (0, ) 2

1 (C) (0, ) ? (2, ??) 2

(D) (2, ??)

1 1 11. 若方程: x 2 ? (log 2 a ? 4) x ? log 2 2 a ? 1 ? 0 有两个不相同的负根,则 a 的范围 (0, ) ? (4, 4 2) 4 4

12.(1)不等式 2 x

2

?2 x?4

?

1 的解集为 ? ?3,1? 2

3

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(2)不等式 (lg 20)2cos x ? 1( x ? (0, ? ) 的解集为 (0, ) 2 (3)不等式 log3 ( x ? 1) ? log9 (2 x ? 1) 的解集为 1, 2 ? 2 ? ? (4)不等式 log x
5 ? ?1 的解集为 3
?3 ? ? ,1? ?5 ?

?

?

(5)不等式 4

log 1 ( x ? 2)
3

1 ? log 1 x ? ( ) 3 的解集为 2
2

(2,4) 有最大值,则不等式 log a ( x 2 ? 5 x ? 7) ? 0 的解集为 (2,3)

(6)设 a>0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? a lg( x

? 2 x ? 3)

13.关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 对于 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围
1 解: (??, ? ) 3

14.解关于 x 的不等式 解: ( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0

x?a ? 0( a?R ) x ? a2

讨论: 当a 2 ? a时,a>1或a>0 解集为(a,a 2 )
当a 2 ? a时,a=1或a=0 解集为? 当a 2 ? a时,0<a<1 解集为(a 2 ,a)

15.k 为何值时,对一切 x ? R ,不等式 解: ?2 3 ? k ? ?
1 4

3x 2 ? 2kx ? 4 ? 0 恒成立。 k ? x ? x2

能力提升

1. 解关于 x 的不等式

x 23 x ? 2 x ?m ( 2 ? ? 2 x )

解: 当m ? 0时,22 x ? 1 ? 0, x ? (??, 0)
当0<m ? 1时,m<22 x ? 1, log 4 m ? x ? 0

4

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当m ? 1时,(22 x ? 1)2 ? 0, ?
当m>1时,1<22 x ? m, 0 ? x ? log 4 m

2. 满足 3 ? x ? x ? 1 的 x 的集合为 A;满足 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的 x 的集合为 B。 1? 若A ? B, 求a的取值范围;
2? 若A ? B, 求a的取值范围;

解: 1? 2?

a?2 1? a ? 2

个性天地

1.函数 y ? log a x ,当 x ? (2, ??) 时,恒有 y ? 1 ,求 a 的取值范围 解:
?1 ) ? 2 , 1 ? ( 1?, 2 ?

1 1 2.方程 a sin 2 x ? cos x ? ? a ? 0, (0 ? a ? 2, 0 ? x ? ? ) 有相异两实根,求 a 的取值范围 2 2

解: 1 ? a ? 2

9

3.解不等式: x loga x

x2 ? 2 a

? 解: a ? 1时,a 4 , ?? ? ? 0, a ? ? ? 0 ? a ? 1时,a 4 , a

?

?

?

5


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